资源简介

2.5.1直线与圆的位置关系
课标解读
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．
2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．
3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．
学情分析：
学习过点到直线的距离公式，学习过一元二次方程根的个数与判别式的关系；
学习过联立两直线方程求解判断两直线的位置关系；
混淆圆外一点和圆上一点的切线方程
建立弦长公式和韦达定理之间的关系
重难点
重点：判断直线与圆的位置关系
难点：直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题
温故导新：
“海上生明月，天涯共此时。”，表达了诗人望月怀人的深厚情谊。在海天交于一线的天际,一轮明月慢慢升起,先是探出半个圆圆的小脑袋,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现着迷人的风采.
这个过程中,月亮看作一个圆,海天交线看作一条直线,月出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切和相离.
在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系，前面我们学习了直线的方程，圆的方程，已经用方程研究两条直线的位置关系，下面我们未必用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程通过定量计算研究直线与圆的位置关系。
用笔思考
探究1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片，结合初中平面几何知识，思考：直线与圆有哪些位置关系？
提示　相交、相切与相离.
探究2 如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
提示　转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解．
探究3 如何利用圆心到直线的距离与半径的关系判断直线与圆的位置关系
探究4从圆上一点引圆的切线有几条？从圆外呢？求切线方程的关键要素是什么？
提示　1条，2条，切线上的一点和切线斜率.
探究5 当直线与圆相交时，你能推导用交点坐标表示弦长的方法吗？
主动讲解：
如何利用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系？
讨论从圆上或圆外一点能引几条切线？怎么求相应的切线方程？
双师导学：
知识梳理一、直线与圆的三种位置关系
位置关系 交点个数
相交 有 公共点
相切 只有 公共点
相离 公共点
2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝
代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
知识梳理二、 圆的切线方程
(1)点在圆上时
求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
(2)点在圆外时
①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．
②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
例2 （1）求过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程.
求过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线的方程.
知识梳理三、求直线与圆相交时的弦长有三种方法
①交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式 |AB|＝求解.
②弦长公式：
如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝ |y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0).
③几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2＋d2＝r2，即|AB|＝2.
通常采用几何法较为简便.
例3 (1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|.
(2)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．
聚焦核心：
1.直线与圆的位置关系
2.圆的切线方程
2.圆的弦长公式
强化反馈：
1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是(　　)
A.过圆心 B.相切
C.相离 D.相交但不过圆心
2.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值是(　　)
A.0或2 B.2 C. D.或2
3.经过点M(2,1)作圆x2+y2=5的切线,则切线的方程为　　　　　.
4.直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=　　　　　.
5．如图所示,一座圆拱（圆的一部分）桥,当水面在图位置m时,拱顶离水面2 m,水面宽 12 m,当水面下降1 m后,水面宽多少米
D
【解析】圆心(1,-1)到直线3x+4y+12=0的距离d=2.【解析】∵直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,∴圆心O(0,0)到直线的距离,解得m=2(舍去0).故选B.
3. 2x+y-5=0
【解析】易知点M在圆上,所以M为切点,切点和圆心连线斜率k=,
则切线斜率为-2,切线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.
4. 2
【解析】圆的方程可化为x2+(y+1)2=4,故圆心C(0,-1),半径r=2,
圆心到直线y=x+1的距离d=,
所以弦长|AB|=2=2=2.
5．解：以圆拱拱顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建立直角坐标系,
设圆心为C,水面所在弦的端点为A、B,则由已知得A(6,-2).
设圆的半径为r,则C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.①
将点A的坐标为(6,-2)代入方程①,解得r=10.
∴圆的方程为x2+(y+10)2=100.②
当水面下降1米后,可设点A′的坐标为(x0,-3)(x0＞3),
将A′的坐标(x0,-3)代入方程②,求得.
∴水面下降1米后,水面宽为

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