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高中物理必修二素养提升学案
第五章 抛体运动
章末整合提升
【知识网络】
【要点突破】
专题一　　运动的合成与分解
1．合运动与两个分运动的关系
(1)利用运动的合成或分解，可以简化复杂运动，是分析曲线运动的方法和手段．
合运动是物体的实际运动，与分运动具有等效性和等时性，这是合成和分解运动的基本依据．合运动与分运动满足平行四边形定则．
(2)合理地分解运动
分解运动时，不仅要遵从分解法则，还要注意各分运动的实际意义及效果，按照效果将运动进行分解．
2．船渡河运动的分解
v1为水流速度，v2为船相对静水的速度，θ为v2与v1的夹角，d为河宽．
(1)沿水流方向：船的运动是速度为v1＋v2cosθ的匀速直线运动．
(2)沿垂直河岸方向：船的运动是速度为v2sinθ的匀速直线运动．
(3)船垂直河岸渡河时：渡河位移最小，有lmin＝d.在水流方向上有v1＋v2cosθ＝0，即船头指向上游，满足cosθ＝－.
(4)船头垂直河岸渡河时：渡河时间最短，有tmin＝.
[例1]　如图所示，有一只小船正在过河，河宽d＝300 m，小船在静水中的速度v2＝3 m/s，水的流速v1＝1 m/s.小船以下列条件过河时，求过河的时间．
(1)以最短的时间过河；
(2)以最短的位移过河．
[解析]　(1)当小船的船头方向垂直于河岸时，即船在静水中的速度v2的方向垂直于河岸时，过河时间最短，则
最短时间tmin＝＝ s＝100 s.
(2)因为v2＝3 m/s>v1＝1 m/s，所以当小船的合速度方向垂直于河岸时，过河位移最短．此时合速度方向如图所示，则过河时间t＝＝≈106.1 s.
[答案]　(1)100 s　(2)106.1 s
[例2]　在光滑水平面上，一个质量为2 kg的物体从静止开始运动，在前5 s内受到一个沿正东方向、大小为4 N的水平恒力作用；从第5 s末到第15 s末改受正北方向、大小为2 N的水平恒力作用．求物体在15 s内的位移和15 s末的速度．
[解析]　如图所示，物体在前5 s内由坐标原点开始沿正东方向做初速度为0的匀加速直线运动，其加速度
a1＝＝ m/s2＝2 m/s2.
5 s内物体沿正东方向的位移
x1＝a1t＝×2×52 m＝25 m.
5 s末物体的速度v1＝a1t1＝2×5 m/s＝10 m/s，方向向正东．
5 s末物体改受正北方向的外力F2，则物体同时参与了两个方向的运动，合运动为曲线运动．物体在正东方向做匀速直线运动，5 s末到15 s末沿正东方向的位移
x1′＝v1t2＝10×10 m＝100 m.
5 s后物体沿正北方向分运动的加速度
a2＝＝ m/s2＝1 m/s2，
5 s末到15 s末物体沿正北方向的位移y＝a2t＝50 m.
15 s末物体沿正北方向的分速度v2＝a2t2＝10 m/s.
根据平行四边形定则可知，物体在15 s内的位移
l＝≈135 m，
方向为东偏北θ角，tanθ＝＝.
物体在15 s末的速度v＝＝10 m/s，
方向为东偏北α角，由tanα＝＝1，得α＝45°.
[答案]　物体15 s内的位移为135 m，方向为东偏北θ角，且tanθ＝　15 s末的速度为10 m/s，方向为东偏北45°角
总结提能 本题中物体的运动分为两个阶段，前5 s内沿正东方向做初速度为0的匀加速直线运动，后10 s内物体同时参与了两个方向(正东和正北)的运动．根据运动的合成与分解的方法，分别求出两个方向上的分位移和分速度，然后利用矢量运算法则求解即可．
（3）绳（杆）端速度分解
把绳（杆）端的实际速度分解为沿绳子的分速度和垂直绳子的分速度。
（4）．关联速度问题
用绳、杆相牵连的物体在运动过程中的速度通常不同，但两物体沿绳或杆方向的分速度大小相等。
关联速度问题的解题步骤
①确定合速度：牵连物端点的速度(即所连接物体的实际速度)是合速度。
②分解合速度：按平行四边形定则进行分解，作好矢量图。合运动所产生的实际效果：一方面产生使绳或杆伸缩的效果；另一方面产生使绳或杆转动的效果。两个分速度的方向：沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向。
常见的模型如图所示：
③沿绳或杆方向的分速度大小相等，列方程求解。例如：v＝v∥(图甲)；v∥＝v∥′(图乙、丙)。
专题二　　平抛运动的解题方法
平抛运动是典型的匀变速曲线运动，它的动力学特征是：水平方向有初速度而不受外力，竖直方向只受重力而无初速度．因此抓住了平抛运动的这个初始条件，也就抓住了它的解题关键．现将常见的几种解题方法介绍如下：
(1)利用平抛运动的时间特点解题
平抛运动可分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，只要抛出的时间相同，下落的高度和竖直分速度就相同．
(2)利用平抛运动的轨迹解题
平抛运动的轨迹是一条抛物线，已知抛物线上的任意一段，就可求出初速度和抛出点，其他物理量也就迎刃而解了．设如图为某小球做平抛运动的一段轨迹，在轨迹上任取两点A和B，分别过A点作竖直线，过B点作水平线，两直线相交于C点，然后过BC的中点D作垂线交轨迹于E点，过E点再作水平线交AC于F点，则小球经过AE和EB的时间相等，设为单位时间T.
由竖直方向上的匀加速直线运动得
－＝gT2，所以T＝，
由水平方向上的匀速直线运动得
v0＝＝，
由于小球从抛出点开始在竖直方向上做自由落体运动，在连续相等的时间内满足h1 ?h2 h3 …＝1 3 5 …因此，只要求出的值，就可以知道AE和EB是在哪个单位时间段内．
[例3]　在离地某一高度的同一位置处，有A、B两个小球，A球以vA＝3 m/s的速度水平向左抛出，同时B球以vB＝4 m/s的速度水平向右抛出，那么当两个小球的速度方向垂直时，它们之间的距离为多大？
[解析]　如图所示，由于两个小球是在同一高度同一时刻抛出，它们始终在同一水平位置上，且有vAy＝vBy＝gt，设vA′、vB′的方向和竖直方向的夹角分别为α和β，则
vAy＝vAcotα，vBy＝vBcotβ，且α＋β＝90°.
则vAyvBy＝v＝vAvBcotαcotβ＝vAvB.
得vAy＝，则时间t＝＝，
故距离s＝(vA＋vB)t＝≈2.47 m.
[答案]　2.47 m
[例4]　下图是某同学根据实验画出的平抛小球的运动轨迹，O为平抛的起点，在轨迹上任取三点A、B、C，测得A、B两点竖直坐标y1为5.0 cm、y2为45.0 cm，A、B两点水平间距Δx为40.0 cm.则平抛小球的初速度v0为________ m/s，若C点的竖直坐标y3为60.0 cm，则小球在C点的速度vC＝________ m/s(结果保留两位有效数字，g取10 m/s2)．
[解析]　由y＝gt2得，t1＝＝0.10 s，t2＝＝0.30 s，因此小球平抛运动的初速度为v0＝＝ m/s＝2.0 m/s. 小球在C点时竖直方向的分速度vy3＝＝ m/s＝2 m/s，因此C点速度vC＝＝4.0 m/s.
[答案]　2.0　4.0
总结提能 平抛运动在水平方向上是匀速直线运动，在竖直方向上是自由落体运动．由轨迹分析问题时要注意坐标原点是否为抛出点，即在应用竖直方向的规律时要注意使用条件．
【综合训练】
1.（2023江苏名校联考）．1949年4月，解放军“百万雄师过大江”。在某平直江段渡江时，战士所乘船只在静水中的速度为v1，江水流速为v2，若江水速度方向与江岸平行，下列说法正确的是（　　）
A．船渡江时间与v2有关
B．当v1=v2时，船能到达正对岸
C．当保持船头垂直江岸时，渡江时间最短
D．当保持船头垂直江岸时，渡江位移最小
【参考答案】C
【名师解析】船头垂直河岸渡河，船渡江时间只与v1有关，船渡江时间与v2无关，A错误；当v1＞v2时，船能到达正对岸，当v1=v2时，船不能到达正对岸，B错误；当保持船头垂直江岸时，渡江时间最短，C正确；当v1＞v2时，船头斜向上游，船能到达正对岸，渡江位移最小，但渡江时间不是最短，D错误。
2.（2023安徽合肥六中质检） 如图所示，小船以大小为、方向与上游河岸成角的速度（在静水中的速度）从处渡河，经过一段时间正好到达正对岸的处。已知河宽，则下列说法中正确的是（　　）
A. 河中水流速度为
B. 小船以最短位移渡河的时间为
C. 小船渡河的最短时间为
D. 小船以最短的时间渡河的位移是
【参考答案】CD
【名师解析】
由题意知，船头垂直河岸渡河，其渡河时间最短，船头应朝上游，与垂直河岸方向成某一夹角α，根据题意可知 α=30°
则 v1sinα=v2
解得 v2=2.5m/s
故A错误；
小船以最短位移渡河的时间为 ，B错误；
小船以最短时间渡河，船头应垂直对岸，时间为，C正确；
小船以最短时间渡河时到达对岸，沿河岸通过的位移为
x=v2t=2.5×36m=90m
通过的位移，D正确。
　
3. (2023长沙名校质检)某次英雄小伙子救人的过程，可用下图去描述：落水孩童抓住绳索停在A处，对面河岸上的小伙子从B处沿直线匀速游到A处，成功把人救起。河宽和间距如图中标注，假定河水在各处的流速均为，则（　　）
A. 小伙子如果面对垂直于河岸的方向游，是不可能到达A点的
B. 小伙子渡河的时间一定为8s
C. 小伙子在静水中游泳的速度至少应为，才能沿直线匀速游到A处
D. 只有小伙子总面对着A处游，沿直线匀速游到A处
【参考答案】C
【名师解析】
由题可知，设小伙子在静水中的游泳的速度为，小伙子的合运动方向是从B到A，作出小伙子游泳时合速度与两个分速度的关系如图所示：
当与合速度垂直时，有最小值，设AB与河岸的夹角为，根据几何关系有
即游泳时小伙子面对的方向是与合速度方向垂直，最小速度为，故C正确；
小伙子如果面对垂直于河岸的方向游，若相对于静水的速度为
此时恰好到达A点，故A错误；
只有小伙子在静水中速度垂直于河岸时，小伙子渡河的时间为
小伙子在静水中的速度不与河岸垂直时，小伙子渡河的时间不等于8s，故B错误；
若小伙子总面对着A处游，且速度一定时，由于两个匀速直线运动的合运动仍然为匀速直线运动，可知，其轨迹为一条直线，根据运动的合成可知，此时其合速度方向指向A点右侧，即到达不了A处，故D错误。
4. (2021·湖北省随州市高一月考)新冠疫情居家期间，某人为锻炼身体设计了如图所示的装置，在水平地面上竖直固定直杆A和B。将重物套在杆A上，在杆B的顶端固定一轻滑轮，绳子的一端连接重物，跨过定滑轮后另一端系在腰上。开始时，重物在水平地面上，人以恒定的速度v0向左运动，当绳子与杆A的夹角θ＝60°时重物的速度为v，加速度为a，规定向上为重物速度、加速度的正方向。下列说法正确的是(　　)
A．v＝v0 B．v＝v0
C．a>0 D．a<0
答案　C
解析　重物沿杆A向上运动，沿绳子方向的分速度等于v0，即v cos θ＝v0，所以v＝，当θ＝60°时，v＝2v0，故A、B错误；重物沿杆A向上运动，绳子与杆A的夹角θ增大，由v＝，可知重物运动的速度增大，所以重物做加速运动，a>0，故C正确，D错误。
5.　(多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。则其中可能正确的是(　　)
答案　AB
解析　小船渡河的运动可看作小船随水漂流的运动和小船沿船头运动的合运动。虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，小船合运动的速度方向就是其实际运动的方向，分析可知，实际航线可能正确的是A、B。
6. [2020·安徽江淮十校二联]如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过一根不可伸长的细绳带动小车沿水平面向右运动．若当滑轮右侧的绳与竖直方向成β角，且重物下滑的速率为v时，滑轮左侧的绳与水平方向成α角，则小车的速度为(　　)
A. B.
C. D.
【参考答案】．D　
【名师解析】将速度v车和v按运动效果分解如图1、图2所示，由图2知沿绳方向v1＝vcos β，同理由图1知v3＝v车cos α，因为绳不可伸长，故沿绳方向速度大小相等，v1＝v3，所以v车cos α＝vcos β，所以v车＝，故D正确．
7．(2023山东泰安名校联考)如图所示,顶角θ=60°、光滑V字形轨道AOB固定在竖直平面内,且AO竖直。一水平杆与轨道交于M、N两点,已知杆自由下落且始终保持水平,经时间t速度由6 m/s增大到14 m/s(杆未触地),则在0.5t时,触点N沿倾斜轨道运动的速度大小为(g取10 m/s2)(　　)
A.10 m/s B.17 m/s
C.20 m/s D.28 m/s
【参考答案】C
【名师解析】　杆自由下落,由运动学公式有v=v0+gt,则t== s=0.8 s;则在0.5t时,杆的下落速度v'=v0+g·=6 m/s+10×0.4 m/s=10 m/s;根据运动的分解,杆下落的速度可分解成如图所示的两分运动,触点N沿倾斜轨道运动的速度大小v″== m/s=20 m/s,故C正确,A、B、D错误。
8. (2023陕西宝鸡名校联考)如图10所示，水平光滑长杆上套有一物块Q，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的轻绳一端连接Q，另一端悬挂一物块P。设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小。现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动下列说法正确的是(　　)
A.当θ＝60°时，P、Q的速度之比是∶2
B.当θ＝90°时，Q的速度最大
C.当θ＝90°时，Q的速度为零
D.当θ向90°增大的过程中Q的合力一直增大
【参考答案】B
【名师解析】　P、Q用同一根绳连接，则Q沿绳子方向的速度与P的速度大小相等，则当θ＝60°时，Q的速度vQcos 60°＝vP，解得＝，故选项A错误；当θ＝90°时，即Q到达O点正下方，垂直Q运动方向上的分速度为0，即vP＝0，此时Q的速度最大，故选项B正确，C错误；当θ向90°增大的过程中Q的合力逐渐减小，当θ＝90°时，Q的速度最大，加速度为零，合力为零，故选项D错误。
9　如图所示为某公园的喷水装置，若水从喷水口中水平喷出，忽略空气阻力及水之间的相互作用，下列说法中正确的是(　　)
A．喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入池中的时间越短
B．喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越近
C．喷水速度一定，喷水口高度越高，水喷得越近
D．喷水口高度一定，无论喷水速度多大，水从喷出到落入池中的时间都相等
答案　D
解析　由题意可将水从喷水口中水平喷出后的运动看成平抛运动，竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速直线运动，则竖直方向有：h＝gt2，得t＝，可知水从喷出到落入池中的时间由喷水口高度决定，与喷水速度无关，所以喷水口高度一定，水从喷出到落入池中的时间一定，故A错误，D正确。水平方向有：x＝v0t＝v0 ，则知喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越远；喷水速度一定，喷水口高度越高，水喷得越远，故B、C错误。
10　如图所示，某次球与墙壁上A点碰撞后水平弹离，恰好垂直落在球拍上的B点。已知球拍与水平方向的夹角θ＝60°，A、B两点间的高度差h＝1 m，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则球刚要落到球拍上时速度的大小为(　　)
A．2 m/s B．2 m/s
C．4 m/s D． m/s
答案　C
解析　球的运动示意图如图所示，由题意知球在空中做平抛运动，根据h＝gt2，得时间t＝＝ s＝ s，球刚要落到球拍上时竖直分速度vy＝gt＝10× m/s＝2 m/s，根据平行四边形定则知，速度的大小v＝＝4 m/s，故C正确，A、B、D错误。
11　如图所示，墙壁上落着两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖A与竖直墙壁成53°，飞镖B与竖直墙壁成37°，两者相距为d。假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
答案　d
解析　飞镖与墙壁的夹角为平抛运动物体速度与墙壁所成的角，由于水平位移相同，故速度反向延长线必交于水平位移上的同一点。将两只飞镖的速度反向延长与初速度的延长线交于一点C，作出如图所示情景图。设总的水平距离为x，CD＝，BD＝CD·cot 37°，AD＝CD·cot 53°，且BD－AD＝d，联立解得x＝d。
12. （2022南京金陵中学4月模拟）如图所示，、两点在同一竖直线上，现同时分别在、两点抛出两个小球甲、乙，甲球的速度大小为，方向水平向右，乙球的速度大小为，方向与水平方向的夹角为斜向右上方，两球在点（未画出）相碰。已知碰前瞬间乙球速度方向水平，则下列判断正确的是（　　）
A. 、两点竖直方向的距离大于、两点竖直方向的距离
B. 甲、乙两球相碰前瞬间甲球的速率与乙球速率相等
C. 甲、乙两球自抛出至相碰前瞬间速度变化不相等
D. 甲、乙两球抛出时的速度大小与之比为
【参考答案】D
【名师解析】
两球在运动过程中的加速度都为重力加速度，两球同时抛出到相碰，两球运动的时间相同，根据
可知甲、乙两球自抛出至相碰前瞬间速度变化相等，C错误；
由题意可知甲、乙两球自抛出至相碰前瞬间，两球在水平方向通过的水平位移相等，则有
可得
D正确；
已知碰前瞬间乙球速度方向水平，可知从抛出到相碰所用时间为
两球相碰前瞬间乙球的速率为
甲球的速率为
B错误；
、两点竖直方向的距离为
、两点竖直方向的距离为
可知、两点竖直方向的距离等于、两点竖直方向的距离，A错误。
14.（2023山东济南重点高中质检） 从某一高度处水平抛出一物体，它落地时速度是50 m/s，方向与水平方向成53°角。（不计空气阻力，g取10 m/s2，cos 53°=0.6，sin 53°=0.8）求：
(1)抛出点的高度和水平射程；
(2)抛出后3 s末的速度；
(3)抛出后3 s内的位移。
【答案】(1)80 m，120 m；(2)30 m/s，与水平方向的夹角为45°；
(3)45 m，与水平方向的夹角的正切值为
【解析】
(1)设落地时竖直方向的速度为vy，水平速度为v0，则有
抛出点的高度为
水平射程
(2)设抛出后3 s末的速度为v3，则竖直方向的分速度
抛出后3 s末的速度
设速度方向与水平方向的夹角为α，则
故
(3)3 s内物体的水平位移
竖直方向位移
故物体在3 s内的位移
设位移方向与水平方向的夹角为θ，则
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