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高中物理必修一素养提升学案
第五章 抛体运动
专题强化2 平抛运动的临界和极值问题
【专题问题解读】
1.临界点的确定
（1）若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点.
（2）若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点.
（3）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点.
2.求解平抛运动临界问题的一般思路
（1）找出临界状态对应的临界条件.
（2）分解速度或位移.
（3）若有必要，画出临界轨迹.
【典例精析】
【典例1】如图所示，蜘蛛在水平地面与竖直墙壁之间结网，蛛丝AB与地面之间的夹角为45°，A点到地面的距离为1m，已知重力加速度g取10m/s2，空气阻力不计.若蜘蛛从竖直墙上距地面0.8m的C点以水平速度v0跳出，要到达蛛丝AB，水平速度v0至少为（　B　）
A.1m/s B.2m/s
C.2.5m/s D.m/s
解析　水平速度v0最小时，设经过时间t蜘蛛到达蛛丝，由题意有v0t＝gt2＋0.2 m，v0＝vy＝gt，解得t＝0.2 s，v0＝2 m/s，故B正确.
【典例2】.如图所示，排球比赛中，某运动员在距网水平距离为4.8m、距地面3.2m高处将排球沿垂直网的方向以16m/s的速度水平击出.已知网高为2.24m，排球场地长为18m，重力加速度g取10m/s2，可将排球视为质点，下列判断正确的是（　B　）
A.球不能过网
B.球落在对方场地内
C.球落在对方场地端线上
D.球落在对方场地端线之外
解析　设击球位置离地高度为h1，网高为h2，运动员击球时离网的水平距离为x1，排球场地长为L，若排球的击出速度为v1时刚好过网，则根据平抛运动规律有h1－h2＝g，v1＝，由以上两式代入数据解得v1≈11 m/s，由于排球的初速度v＝16 m/s＞v1，因此排球可以过网，故A错误；排球以v＝16 m/s的速度水平飞出做平抛运动的水平位移为x＝vt＝v＝12.8 m＜＋x1，因此排球将落到对方场地内，故B正确，C、D错误.
【针对性训练】
1. （2024山东潍坊1月质检）第19届杭州亚运会，中国女排第九次摘得亚运会金牌。在某次训练中，运动员从底线中点正上方高处将球以的速度水平击出，球恰好擦着球网上沿进入对方场内，已知排球场长，宽，球网高，不计空气及擦网时的阻力，g取，则该运动员击球速度不可能超过（ ）
A. 22.5m/s B.
C. D.
【参考答案】B
【名师解析】
根据平抛规律有
，
解得，球从水平击出到擦网的时间和球运动的总时间分别为
，
当运动员击出的球擦网的速度达到最大时，球恰好到对方场内的边界处，如下图所示
设球击出的速度方向与球场中线的夹角为，则有
由题意可知，其中
，
联立解得
故选B。
2．（2024河南漯河高中质检）如图所示，一个电影替身演员准备跑过一个屋顶，然后水平跳跃离开屋顶，并在下一栋建筑物的屋顶上着地。如果他在屋顶跑动的最大速度是4.5m/s，那么下列关于他能否安全跳过去的说法正确的是（不计空气阻力，重力加速度大小为g）（　　）
A．他安全跳过去是可能的
B．他安全跳过去是不可能的
C．如果要安全跳过去，他在屋顶水平跳跃的速度应不小于6.2m/s
D．如果要安全跳过去，他在屋顶水平跳跃的速度最小为4.5m/s
【参考答案】BC
【名师解析】由
x=v0t
联立可得
将h=5m、x=6.2m代入上式，解得安全跳过去的最小水平速度
故选BC。
3 如图1所示，某运动员在乒乓球训练中，从左侧球台中心处，将球沿垂直于球网的方向水平击出，球恰好通过球网的上沿落到右侧边缘，设乒乓球的运动为平抛运动，下列判断正确的是(　　)
图1
A.击球点的高度与球网的高度之比为3∶2
B.击球点的高度与球网的高度之比为9∶8
C.若仅使击出的乒乓球的速度在水平面内顺时针(从上往下看)转动一个角度，则乒乓球落在球网的右侧
D.若仅使击出的乒乓球的速度在水平面内顺时针(从上往下看)转动一个角度，则乒乓球落在球网的左侧
答案　BD
解析　从击球点到球网，有x＝v0t1，h1＝gt，从击球点到右侧边缘，有3x＝v0t2，h2＝gt，击球点的高度与球网的高度之比为＝，故A错误，B正确；乒乓球的速度在水平面内顺时针(从上往下看)转动一个角度，由空间位置关系可知，转动后乒乓球要想过网，乒乓球到达网的高度时水平位移需要增大，若球抛出的初速度大小不变，从击球点抛出运动到球网高度时，球的水平位移不变，未能过网，则乒乓球落在球网的左侧，故C错误，D正确。
4 .(2024·广东茂名高三期中)如图6，长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝2|AD|＝2|AA1|，将可视为质点的小球从顶点A在∠BAD所在范围内(包括边界)分别沿不同方向水平抛出，落点都在A1B1C1D1范围内(包括边界)。不计空气阻力，则小球(　　)
图6
A.抛出速度最大时落在B1点
B.抛出速度最小时落在D1点
C.落在B1D1中点的速度与落在D1点的速度相等
D.从抛出到落在B1D1线段上任何一点所需的时间都相等
答案　D
解析　设AA1高度为h，由h＝gt2得t＝，则从抛出到落在B1D1线段上任何一点所需的时间都相等，D正确；设平抛的水平位移为x，抛出速度v0＝，落在C1点水平位移最大，因此抛出速度最大时落在C1点，A错误；水平位移小于A1D1时，比落在D1点抛出速度更小，落在A1点的抛出速度最小，B错误；由v＝2gh得，落在B1D1中点的竖直方向分速度与落在D1点的竖直方向分速度均为vy＝，落在B1D1中点时水平位移大于落在D1点时的水平位移，可知落在B1D1中点的水平分速度大于落在D1点的水平速度，由v＝eq \r(v＋v)得，落在B1D1中点的速度大于落在D1点的速度，C错误。
5.(多选)如图所示，足球球门宽为L，一个球员在球门线中点正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P点)，球员顶球点O距地面的高度为h。足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A.足球位移的大小为
B.足球位移的大小为
C.足球刚落到P点的速度大小为
D.足球刚落到P点的速度大小为
答案　BC
解析　足球在水平方向的位移为x＝，足球位移的大小为l＝＝，A错误，B正确；足球运动的时间为t＝，则足球的水平速度为vx＝，竖直方向速度为vy＝gt，可得足球刚落到P点的速度大小为vP＝eq \r(v＋v)＝＝，C正确，D错误。
6. （2024重庆乌江新高考协作体一模）如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球（视为质点），某次乒乓球与墙壁上的P点碰撞后水平弹离，恰好垂直落在球拍上的Q点。取重力加速度大小g=10m/s2，不计空气阻力。若球拍与水平方向的夹角为，乒乓球落到球拍前瞬间的速度大小为4m/s，则P、Q两点的高度差为（　　）
A. 0.1m B. 0.2m C. 0.4m D. 0.8m
【参考答案】C
【名师解析】由几何关系得，乒乓球落到球拍前瞬间的竖直分速度大小为
又因为，解得，C正确。
7. （2024安徽阜阳重点高中3月质检）如图所示，P处能持续水平向右发射初速度不同的小球。高度为L的挡板AB竖直放置，离O点的水平距离为4L。挡板上端A与P点的高度差为，可通过改变发球点P的竖直位置调整A、P两点的竖直高度差，重力加速度为g。
（1）当时，调节初速度使小球能够击中挡板AB，求发射小球的初速度取值范围；
（2）当竖直高度调整为多大时，小球击中A点时的速度取得最小值？并求出该最小值的大小。
【答案】（1）；（2），
【解析】
（1）设微粒平抛初速度为恰好打在探测屏A点，则有：
解得：
设微粒平抛初速度为恰好打在探测屏B点，则有：
解得：
综上可知：使小球能够击中挡板AB的初速度应满足
（2）从P点到A点满足
解得：
故知：
由数学知识可得当时，即时有最小值
可知击中A点最小速度
8．（2024天津重点中学质检）如图所示，一个半径为R的圆盘浮在水面上，圆盘表面保持水平且与水平道路AB的高度差为h，C为圆盘边缘上一点。先将一小球从B点水平向右抛出，初速度 v0的方向与圆盘半径OC在同一竖直平面内。 已知圆盘的圆心O与B点之间的水平距离为2R，重力加速度为g，不计空气阻力，小球可看做质点。
（1）若小球正好落在圆盘的圆心O处，求此次平抛小球的初速度v0；
（2）若小球要能落在圆盘上，求小球初速度的范围；
（3）若小球从B点以最大初速度抛出的同时，圆盘绕过其圆心O的竖直轴以角速度ω匀速转动，要使小球落到C点，求圆盘转动的角速度ω。
（4）关键环节分析：上述（3）的解题关键是什么？
【解析】. （1）小球从从B点到圆盘做平抛运动，竖直方向上有
………………（2分）
解得
此时小球正好落在圆心O，水平方向上有
………………（2分）
解得
………………（2分）
（2）初速度最小时，小球刚好落在圆盘左侧边缘，由水平方向小球做匀速直线运动可得
………………（2分）
解得
初速度最大时，小球刚好落在圆盘右侧边缘由水平方向小球做匀速直线运动可得
………………（2分）
解得
综合可得，小球要能落在圆盘上，小球初速度的范围为
………………（2分）
（3）C点随圆盘一起以角速度ω匀速转动，要使小球落到C点，必须满足
………………（2分）
即
联立解得
………………（1分）
（4）平抛运动与圆周运动的时间相等 ………………（2分）
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