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2024年秋季期期中适应性训练
九年级数学
（全卷共三大题，共4页，满分为120分，考试时间：120分钟）
注意事项：
1．本考卷分试题卷和答题卡两部分．请将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
2．选择题每小题选出答案后，考生用2B铅笔把答题卡上对应题目的选项标号涂黑．
3．非选择题，考生用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案涂在答题卡相应的位置上．
1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，， B．3，6， C．，，1 D．3，6，1
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰梯形 B．矩形 C．等边三角形 D．平行四边形
3．抛物线的开口方向是（ ）
A．向左 B．向右 C．向上 D．向下
4．下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
5．二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，把绕着点顺时针旋转得到，点的对应点落在边上，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．平分
C． D．
7．已知抛物线与轴交于点，，则关于的方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．风力发电非常环保，风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，那么的值可能是（ ）
A．45 B．60 C．90 D．120
9．若将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
10．为确保经济困难学生顺利完成学业，某校成立“情暖校园”爱心基金会，去年上半年发给每个经济困难的学生600元，今年上半年发给了800元，设每半年发给的资金金额的平均增长率为，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
12．二次函数的图像如下图所示，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．点关于原点对称的点的坐标为______．
14．如图，四个二次函数的图芜中，分别对应的是：①；②；③；④；则、、、的大小关系为______．
15．若1是关于的方程的一个根，则的值是______．
16．若函数是二次函数，则的值为______．
17．已知、是方程的两个实数根，则的值为______．
18．在等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，．则下列四个结论：①；②是等边三角形；③；④的周长是9．其中正确的结论是______（把你认为正确结论的序号都填上．）
三、解答题：本大题共8小题，满分共72分．将解答过程写在答题卡的相应位置上，作图或添辅助线先用铅笔画完，再用水性笔描黑．
19．（6分）解方程：．
20．（6分）已知二次函数（是常数）．
（1）若该二次函数的图像与轴有两个不同的交点，求的取值范围；
（2）若该二次函数的图象与轴的其中一个交点坐标为，求一元二次方程的解．
21．（10分）已知，在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上．
（1）画出绕点逆时针方向旋转得到的；
（2）画出向下平移4个单位长度得到的；
（3）的面积是______．
22．（10分）【探究发现】观察下列一组方程：①；②；③；④；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．
（1）【解决问题】若也是“连根一元二次方程”，写出的值，并解这个一元二次方程；
（2）【举一反三】请写出第个方程和它的根．
23．（10分）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求线段的长；
（2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标．
24．（10分）【综合与实践】
依托“中国陶瓷名城”名片，玉林北流打造了一批国内外有影响力的知名陶瓷品牌．北流某陶瓷公司以每只60元的价格销售一种成本价为40元的文化纪念杯，每星期可售出100只．后来经过市场调查发现，每只杯子的售价每降低1元，则平均每星期可多卖出10只．若该公司销售这种文化纪念杯要想平均每星期获利2240元，请回答：
（1）每只杯应降价多少元？
（2）在平均每星期获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该公司应该按原售价的几折出售？
25．（本题满分10分）【综合与实践】
【问题情况】2024年10月12日，2024-2025赛季CBA“战火重燃”，辽宁队以123比112战胜了浙江队取得了揭幕战的胜利，小浩看了这场比赛，对投篮产生了兴趣．通过查询资料，他发现投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图1）．
【收集数据】建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度（单位：m）与它和投篮者的水平距离（单位：m）近似满足二次函数关系．已知篮筐中心距离地面的竖直高度是3m，小浩记录了学校篮球队队员小宇两次定点投篮训练的数据．
（1）第一次训练时，小宇投出的篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离 0 1 2 3 4 …
竖直高度 2.0 3.0 3.6 3.8 3.6 …
【建立模型】
①在图2的平面直角坐标系中，描出以上表中各组数据为坐标的点，并用平滑的曲线连接这些点．
②结合表中数据或所画图缘，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是______m，并求与满足的函数解析式．
（3）已知此次定点投篮训练小宇距篮筐中心的水平距离为5m，则小宇这次投篮练习是否成功？请说明理由．
【拓展应用】
（2）第二次定点投篮训练时，小宇出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．若投篮成功，求此时小宇距篮筐中心的水平距离______5m．（填“”“”或“”）
26．（10分）
（1）【探究证明】在中，，，直线经过点，且于点，于点，当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：．
（2）【发现探究】当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）【解决问题】当直线绕点旋转到图3的位置时，若，，则的长为______．
2024年秋季期期中适应性训练
九年级数学参考答案及评分意见
一、选择题（每题3分，共36分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B D D A C B D A C C D
二、填空题（每题2分，共12分）
13． 14． 15． 16． 17．10 18．①②
（注：第18题选一个且正确得1分，多选或错选得0分）
三、解答题（8小题共72分）提示：其它解法合理正确的，请对照评分标准酌情给分．
19．解：因式分解，得
于是得或，
，．
20．解：（1）二次函数的图象与轴有两个不同的交点，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
，即，解得；
（2）二次函数的图象与轴的其中一个交点坐标为，
，解得，
一元二次方程为，解得或3．
21．解：（1）如下图所示，即为所求；
（2）如下图所示，即为所求；
（3）3.5．
22．解：（1）根据题意，得，
原方程为，
即，
解得，．
第个方程为，
即．
解得，（为正整数）．
23．解：（1）抛物线的解析式为，
，，
．
（2）如图，连接，点与点关于直线对称，
，
当点、、共线时，为最小值，
即为的最小值．
由（1）可知，，，
易得直线的解析式为，
对称轴为直线，且当时，，
当的值最小时，点的坐标为．
24．解：（1）设每只杯子降价元，根据题意，可列方程：
，
整理得到：，
解得，．
所以每只杯子应降价4元或6元．
（2）因为要保持每星期获利不变，且尽可能利于顾客，因为该公司应使价格尽量低，因此应降价6元．
所以有，所以应按原价的九折出售．
25．解：（1）①如图，即为所求．
②3.8；
设与满足的函数解析式为，
把点代入，得．
解得．
故与满足的函数解析式为．
（3）成功．
理由：当时，．
解得，．
故小宇距篮筐中心的水平距离为5m时，篮球的运行轨迹经过篮筐中心，即这一次投篮练习是成功的．
（2）．
提示：把点代入，得．
解得．
此时与满足的函数解析式为．
当时，．
解得，（不合题意，舍去）．
由，可知要使投篮成功，小宇距篮筐中心的水平距离．
26．（1）证明：，，
，
，
，，
，
在和中，，
；
，，
，；
（2）解：（1）中的结论不成立，结论为：．
理由如下：
，．
又于点，于，，
，
．
在和中，，
；
，，
，即．
（3）6．

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