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人教九上数学同步精品课件
人教版九年级上册
人教版九（上）数学精简课堂课件
第二十四章 圆
24.1.2 垂直于弦的直径
随堂演练
获取新知
情景导入
例题讲解
知识回顾
课堂小结
24.1 圆的有关性质
情景导入
　　如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)是 37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径(精确到 0.1 m)．
获取新知
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？
通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
●O
知识点一：垂径定理及其推论
问题：如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧 为什么
·
O
A
B
C
D
E
线段: AE=BE
弧: AC=BC, AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，根据前面的说理，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．
⌒
⌒
⌒
⌒
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
推导格式：
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
·
O
A
B
C
D
E
归纳总结
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
例题讲解
例1 如图，⊙O的弦AB＝8 cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2 cm，求半径OC的长．
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
∴ ．
设OC=x cm，则OD=(x-2) cm.
根据勾股定理，得
解得 x=5.
即半径OC的长为5 cm.
x2=42+(x-2)2，
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一下，得到的命题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；
④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧．
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
思考探索
获取新知
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
·
O
A
B
C
D
E
⌒
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
⌒
（2）由垂径定理可得AC =BC， AD=BD.
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⌒
⌒
⌒
解：（1）连接AO，BO，则AO=BO.
∵AE=BE，∴OE⊥AB，
∴CD⊥AB.
证明举例
⌒
⌒
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论
推导格式：
∵ CD是直径，AE=BE，
∴ CD⊥AB,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
·
O
A
B
C
D
E
你还有其他的结论吗？你发现了什么？

归纳总结
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
垂径定理的本质是:
知二得三
（1）一条直线过圆心
（2）这条直线垂直于弦
（3）这条直线平分弦（不是直径）
（4）这条直线平分弦（不是直径）所对的优弧
（5）这条直线平分弦（不是直径）所对的劣弧
例题讲解
例2 已知：⊙O中弦AB∥CD.
求证：AC＝BD.
⌒
⌒
.
M
C
D
A
B
O
N
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）.
∴AM－CM＝BM－DM.
∴AC＝BD.
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例3 赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
解得R≈27.3(m).
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
∴ AD= AB=18.5m，
OD=OC-CD=R-7.23.
∵ OA = AD + OD ,
2
2
2
18.5 + (R-7.23)
即R =
2
2
2
1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是 （ ）
A.∠COE=∠DOE
B.CE=DE
C.OE=AE
D.BD=BC
⌒
⌒
·
O
A
B
E
C
D
C
随堂演练
2.如图，AB是⊙O的弦，AB的长为8，P是⊙O上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为___
4
理由：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD.
解：AC=BD
3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
O
.
A
C
D
B
E
4. 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,求AB的长.
·
O
A
B
E
解：连接OA，∵ OE⊥AB
∴
∴ AB=2AE=16 cm.
课堂小结
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:（“知二推三”）
①过圆心;
②垂直于弦;
③平分弦（不是直径）;
④平分弦所对的优弧;
⑤平分弦所对的劣弧.
满足其中两个条件就可以推出其它三个结论
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：
连半径;作弦心距
谢谢
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