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柳州市2025届高三第一次模拟考试
数学
(考试时间120分钟满分150分)
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的，
1.已知复数之=1+i,则的虚部为(
A合
B.2
c.-
D.
2.对于非零向量a,b,"a+方=0"是"a∥的().
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
.已知双曲线C羊-=1的一条渐近线方程为y=2x,则m=
A.1
B.2
C.8
D.16
4.若过点(23,0)与圆x2+y2=4相切的两条直线的夹角为a,则cosa=（).
A号
B.2
5
c为
D.号
5.
在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是(-5,0)，(5,0)，直线AM,BM相交于点
M,且它们的斜率之积是号，则点M的轨迹方程为(
A.
x2
9y2
25-100
=1(x≠±5)
B.
3y2
25-100=1(x≠±5)
C.
=1(x≠士5)
D.
9x2
25-100
25100=1(x≠±5)
6.设函数fx)=cos(az+Xw>0),已知fx)=-1,fx2)=1,且|-x2的最小值为平，
则w=().
A.1
B.2
C.3
D.4
柳州市2025届高三第一次模拟考试数学第1页（共4页)
7.已知正四棱台ABCD-ABC,D,的体积为7,5，AB=2,A,B1=1,则AA1与底面
3
ABCD所成角的正切值为().
A.3
B.3
C.23
D.4
8.设函数f(xr)=xlnx-(a+b)lnx,若fx)≥0，则5“+5的最小值为().
A.1
B.2
C.5
D.25
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知随机变量X服从正态分布，即X~N(3,9),则().
A.E(X)=27
B.:DX)=9
C.P(X≥8)>PX≤-1)
D.PX≤1)+PX≤5)=1
10.过抛物线E:y2=2p(p>0)的焦点F作倾斜角为6的直线交E于A,B两点，经过点A
和原点O的直线交抛物线的准线于点D,则下列说法正确的是().
A.BD∥OF
B.OA⊥OB
C.以AF为直径的圆与y轴相切
D.IAFIBFI=
sin2
11.我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)
为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称图形的充要
条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数。已知f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为g(x),若
函数y=f(x+1)-1是奇函数，函数y=gx+2)为偶函数，则(
A.f1)=1
B.g1)=1
2024
C.y=f(x+2)-1为奇函数
D.
f=1012
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12已知+2z-1-0则x+
1日.在（是+写产的展开式中，常数项为
第14题图
14.如图，在4×4的格子中，有一只蚂蚁从A点爬到B点，每次只能向右或向上移动一格，则
从A点爬到B点的所有路径总数为
,若蚂蚁只在下三角形（对角线AB及以下的部分
所围成的三角形)行走，则从A点到B点的所有总路径数为
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参考答案
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A B C A D C D
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求. 全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分.
9. BD 10. ACD 11. BCD
9 10 11
选 2个
选 1个 选 1个 选 1个
选 2个 （AC 或 选 3个 选 2个（BC 选 3 个
（B或 （A或C （B或C
（BD) CD 或 （ACD) 或 CD 或 BD) （BCD）
D） 或 D） 或 D）
AD）
3分 6 分 2分 4分 6分 2分 4分 6分
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分．）
12．6 13．70 14． 70 14
四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
2 6
15.(13 分）(1)A ; (2) 2 2
3 3
3 sin A cos A 2 3 1解：（1）由 得， sin A cos A 1，即 sin(A ) 1,
2 2 6
由于 A (0, ) A 5 2 ( , ) , A A
6 6 6 6 2 3
(2) 由题设条件和正弦定理
2bsinC c sin 2B 2 sin B sinC 2sinC sin B cosB
又 B,C (0, ) ,则 sin B sinC 2 0,进而 cosB ，得到 B
2 4
C A B 于是
12
{#{QQABIYqAogAIABBAAQhCEQWwCAMQkgACAQgGRBAEIAAAiBFABCA=}#}
sinC sin(A B) sin AcosB cos Asin B 6 2
4
a b c 2 b c
由正弦定理得
sin A sin B sinC sin 2 sin sin
3 4 12
b 2 6解得 ,c 2 6
3 3
故△ ABC 2 2 6的周长为
3
16.（15 分）(1)证明见解析；(2) 2 5
5
解：（1） PO 平面 ABC,BA BC，故以 B为坐标原点，BA为 x轴正方向，BC为 y轴正

方向，与OP同向的方向为 z轴正方向建立空间直角坐标系.

设 OP x，故 B 0,0,0 , A 2,0,0 ，O 1, 3,0 ,P 1, 3, x ,D 0,
2 3 ,0
3 ，
2 3

AD 2, ,0 ， BO 1, 3,0 ,BP 1, 3, x3 .

AD BO 2 2 0, AD BP 2 2 0 .
故 AD BO, AD BP， BP BO B,BP,BO 平面 BOP， AD 平面 BOP
（2） 圆锥 PO的侧面积 S 2π PA 8π, PA 4， OP x 42 22 2 3，

（3）由（1）可AD知 ， 2,
2 3 ,0
3 为平面BOP的法向量，

设平面 ABP的法向量为m a,b,c ，而 BA 2,0,0 ，BP 1, 3, 2 3 ，

故 ，令 c 1得m 0,2, 1 ， m BA 2a 0

m

BP a 3b 2 3c 0
2 2 3 m AD 0 2 0 1 则 cos 2 2
2 3
02 02 22 1 2
3
所以二面角O BP A的正弦值为2 5 .
5
{#{QQABIYqAogAIABBAAQhCEQWwCAMQkgACAQgGRBAEIAAAiBFABCA=}#}
17.（15 分）解：（1）当 a 1时，则 f (x) x ln x 1 f (x) 1 1 ，
x
可得 f (1) 0, f (1) 0，即切点坐标为 (1,0)，切线斜率为 k 0
所以切线方程为 y 0
（1） f (x)定义域为 (0, )，且 f (x) a 1
x
若 a 0，则 f (x) 0对任意 x (0, )恒成立.
所以 f (x)在 (0, )上单调递减，无极值，不合题意
若 a 0，令 f (x) 1 0，解得 x ，令 f (x) 0 x 1 ，解得
a a
可知 f (x)在 (0, 1 ) 1上单调递减， ( , )上单调递增
a a
1 1
则 f (x)有极小值 f ( ) 1 ln a a a ，无极大值
f (1 ) 1 1 1由题意可得： ln a 0, 1 ln a 0a a 即 a
g(a) 1 ln a 1令 (a 0)a
g (a) 1 1 0
a a2
g(a)在 (0, )上单调递增
又 g(1) 1
1
，不等式1 ln a 0等价于 g(a) g(1)，解得 a 1又 a 0a ，
综上 a的取值范围是0 a 1.
2
18.（17 分）解：由题意知 a 2,b 1 E : x y2，椭圆 1 设 P(t,2)，
2
(1).当 t 0 1时，设直线 PA : y x 1 2，代人 x 2y2 2得
t
t 2 2 x2 4 x 0 x 4t y t
2 2 4t t 2 2
2 ， A 2 ，从而 A 2 ,点 A( 2 , 2 )t t t 2 t 2 t 2 t 2
3
设直线 PB : y x 1 2代人 x 2y2 2得
t
t 2 18 2 2x2 122 x 0 x
12t t 18 12t t 18
B 2 ,从而 y ，点 B( , )t t t 18 B t 2 18 t 2 18 t 2 18
{#{QQABIYqAogAIABBAAQhCEQWwCAMQkgACAQgGRBAEIAAAiBFABCA=}#}
由对称性知，定点在 y轴上，设为G(0,m)
2
m t 2 m t
2 18
2 2
由 k AG kBG，即 t 2 t 184t 12t ，化简得

t 2 2 t 2 18
m(4t 2 24) 2t 2 12 m 1 所以直线 AB过定点 (0, 1)
2 2
当 t 0时，直线 AB也恒过定点 (0, 1)
2 .
1
综上，直线 AB也恒过定点 (0, )
2 .
（2）可知四边形的面积为
S 1 | ST || x x |
2 A B
| x 4t 12tA xB | | 2 2 |t 2 t 18
16 | t
3 6t
4 2 |t 20t 36
| t 6 |
16 t
| t 2 36 20 |
t 2
| t 6 |
16 t
| (t 6 )2 8 |
t
令m | t 6 | 2 6 ，当且仅当 t 6 时等号成立
t
S 16m 16
m2

8 m 8
m
y x 8而 在 (2 2, )上单调递增，而m 2 6，从而当m 2 6 时，四边形 ASBT 面
x
16 2 6
积有最大值 S 6
(2 6)2 8 .
19.（17 分）解：由折线图中数据和附注中参考数据得
7 2 7
t 4, (ti t) 28, (yi y)2 0.72
i 1 i 1
{#{QQABIYqAogAIABBAAQhCEQWwCAMQkgACAQgGRBAEIAAAiBFABCA=}#}
7 7 7
(ti t)(yi y) ti yi t yi 68.35 4 16.17 3.67
i 1 i 1 i 1
r 3.67 0.9632
0.72 2 2.646
因为 y与 t的相关系数近似为 0.9632，说明 y与 t的相关程度相当高，从而可以用线性回归
模型拟合 y与 t的关系。
1 2 1 1 1 2 7
（2）依题意得， Pn Pn 1 Pn 2 (n 3)，其中 P3 3 1
,P
3 2
,
3 3 3 9
则P P 2n n 1 (P3 n 1
Pn 2 )(n 3)
{P P } P 4 2 n n 1 是以首项为 2 P1 ,公比为 的等比数列9 3
P P 4 ( 2 )n 2故 n n 1 (n 2)成立9 3
则有 Pn Pn 1 Pn 2 Pn 3 P2 P1
4
[( 2 )0 2 ( ) ( 2 )2 2 ( )n 2 ]
9 3 3 3 3
1 ( 2 )n 14
3
9 1 2 ( )
3
4 4 ( 2 )n 1
15 15 3
P P 4 4 2 n 1 1n 1 ( ) ，又 P 15 15 3 1 3
P 1 4 4 2 3 2 2n ( )
n 1 ( )n
3 15 15 3 5 5 3
（3）当 n为偶数时，
P 3 2 2n ( )
n
， 单调递减，最大值为 P 7 32 ,n ,Pn 5 5 3 9 5
当 n为奇数时，
P 3 2 2n ( )
n 1 3
，单调递增，最小值为 P ,n ,P
5 5 3 1 3 n 5
{P } 7 1所以数列 n 的最大值为 ，最小值为9 3 .
{#{QQABIYqAogAIABBAAQhCEQWwCAMQkgACAQgGRBAEIAAAiBFABCA=}#}

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