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3.4 一元一次方程的应用
第1课时 和、差、倍、分问题
一.学习目标
1.会分析和、差、倍、分问题中量与量之间的关系，寻找等量关系，列出一元一次方程解简单的应用题.
2.通过列方程解决实际问题的过程,体会一元一次方程与实际生活的密切联系,加强数学建模思想的应用意识.
二.自主预习
1．某校七年级1班共有学生48人，其中女生人数比男生人数的多3人，则这个班有女生（　　）
A．22人 B．23人 C．24人 D．25人
2．哥哥今年的年龄是弟弟的2倍，弟弟说：“六年前，我们俩的年龄和为15岁”，若用x表示哥哥今年的年龄，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
三.探究新知
探究一：和、差、倍、分问题
问题1 情景导入这道题目的相等关系是什么？
问题2 可以怎样设未知数？
问题3 在这个问题中，全价票的票款一共是多少元？半价票的票款一共是多少元？
问题4 怎样求出全价票和半价票各售出多少张？
小结
1.本题解题的关键在于根据已知条件确定两者的数量关系，即“全价票款+半价票款=总票款”然后列出方程解题．
2. 运用一元一次方程模型解决实际问题的步骤：
探究二 ：例题讲解
例 某房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个， 如果椅子腿数与凳子腿数的和为60，试问，有几张椅子和几把凳子？
小结
列方程解应用题的一般步骤如下.
设：即设出未知数（注意带单位），可直接设，即问什么设什么，也可间接设.
列：即列出方程，这是解题的关键，而列方程的关键是找到相等关系，把相等关系两边的量用数或含字母的代数式给表示出来就得到了方程.
解：即求出方程的解.
验：此时要注意验证其结果是否为方程的解且是否符合实际意义.
答：即回答题中问题.
四.运用新知
1．盒子里有三种颜色的球共200个．黄球个数与红球个数的比是2：3．红球个数与白球个数的比是2：5，那么盒子里的红球有 　 　个．
2．一个两位数，个位数比十位数字大4，而且这个两位数比它的数字之和的3倍大2，则这个两位数是 　 　．
3．小远在文具店买了一盒24色马克笔和一种黑色中性笔6根，共用了27元．已知他买一盒马克笔的钱比6根黑色中性笔的钱多3元．求该文具店中这种黑色中性笔的单价．
4．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大4，把个位上的数字和十位上的数字对调，新的两位数与原两位数之和为110，求原两位数是多少．
五.达标测试
1．小明出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是小明年龄的3倍，现在父亲的年龄是（　 　）
A．50岁 B．46岁 C．44岁 D．42岁
2.甲乙两人的年龄和是33岁，甲比乙大3岁，则甲的年龄是 岁.
3.某工厂去年的总产值是545万元，比5年前产值的10倍还多18万元，那么5年前这个厂的年产值是 万元.
4.某县举行七年级数学知识抢答竞赛，甲学校的代表参加比赛，比赛采取双循环赛制，共比赛22场（胜一场得2分，负一场得1分），最终甲学校以总分40分获得第一名，那么甲学校的胜场数为 　 　．
5.甲、乙、丙三队合修一条公路，计划出280人，如果甲队人数是乙队人数的一半，丙队人数是乙队人数的2倍，那么三队各出多少人？
参考答案：
1.D 2.18 3.52.7 4.18
5.解：设乙队出x人，则甲队出人，丙队出2x人.
依题意得x+＋2x＝280，
解方程得x＝80，＝40，2x＝160.
答：甲队出40人，乙队出80人，丙队出160人.
3.4 一元一次方程的应用
第2课时 工程问题与行程问题
一.学习目标
1.掌握工程问题和行程问题中有关量的基本关系式,并会寻求相等关系列方程求解.
2.通过列方程解决实际问题的过程,体会一元一次方程与实际生活的密切联系,加强数学建模思想的应用意识.
二.自主预习
1．已知某座桥长800米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过共用了1分钟，这列火车完全在桥上的时间为40秒，则火车的速度是（　　）
A．20米/秒 B．18米/秒 C．16米/秒 D．15米/秒
2．制造一批零件，按计划18天可以完成它的．如果工作4天后，工作效率提高了，那么完成这批零件的一半，一共需要　 天．
【自主归纳】
1.行程问题中的常用关系式：
（1）速度×时间=路程；路程÷速度=时间；路程÷时间=速度;
（2）速度和×时间=路程和；
（3）速度差×时间=路程差.
2.工程问题中的常用关系式：
（1）工作总量÷工作效率=工作时间
（2）工作总量÷工作效率和=合作时间
三.探究新知
探究一：行程问题
为进一步感悟雷锋胸怀祖国，服务人民的爱国精神，星期日早晨，小楠和小华分别骑自行车从家里同时出发去参观雷锋纪念馆，已知他俩的家到雷锋纪念馆的路程相等，并且小楠每小时骑10km，他在上午10时到达，小华每小时骑15km，他在上午9时30分到达，他俩的家到雷锋纯念馆的路程是多少？
问题1 这个问题中涉及哪些量？它们有什么数量关系？
问题2 本题的等量关系是什么？
问题3 这个题可以如何列方程？
探究二：工程问题
一份工作,甲单独做需要m天完成,乙单独做需要 n天完成.求甲乙合作完成这份工作需要多少天
问题1 若把工作总量设为1,则甲、乙的工作效率(一天完成的工作量)分别是多少？
问题2 若甲、乙合作x天，则甲、乙的工作量各是多少？甲乙合作的工作量是多少？
问题3 题目中的等量关系是什么？
问题4 你将如何得出问题的答案？
小结：解决工程问题的基本思路：
1. 三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.
它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间.
2. 相等关系：工作总量=各部分工作量之和.
(1) 按工作时间，工作总量=各时间段的工作量之和；
(2) 按工作者，工作总量=各工作者的工作量之和.
3. 通常在没有具体数值的情况下，把工作总量看作1.
探究三:例题讲解
例1 甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，甲的速度为360米/分，乙的速度是240米/分．
(1)两人同时同地同向跑，问第一次相遇时，两人一共跑了多少圈？
(2)两人同时同地反向跑，问几秒后两人第一次相遇？
例2、刺绣是我国民间传统手工艺之一.我国刺锈主要有湘绣、苏绣、蜀绣、粤绣四大类.若刺绣一件作品，甲单独绣需要15天才能完成，乙单独绣需要12天才能完成，现在甲先单独绣1天,接着乙又单独绣4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣，试问：再合绣多少天可以完成这件作品？
四.运用新知
1.一项工程甲单独做20天可以完成,乙单独做 30天可以完成.现在两个人合作,但是乙中途因事离开几天,从开工后14天把这项工作做完,则乙中途离开了( )
A.10天 B.9天 C.7天 D.5天
2.甲乙两人跑步，从同一地点出发，沿直线同向而行，甲的速度为10km/h，乙的速度为8km/h，乙先出发小时，问甲出发 　　小时，两人相距2km．
3.一辆卡车从A地出发匀速开往B地，速度为40千米/时，卡车出发两小时后，一辆出租车从B地出发匀速开往A地，卡车出发6小时，两车同时到达各自的目的地（到达目的地后两车都停止行驶）．
解答下列问题：
（1）出租车的速度为 　　千米/时；
（2）用含x（行驶的时间）的代数式表示两车行驶的路程之和；
（3）当两车相距180千米时，求卡车行驶的时间．
五.达标测试
1．一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，完成这项工程共需多少天？若设完成这项工程共需x天，依题意可列方程（　 　）
A． B．
C． D．
2．一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以40km/h的速度前进，突然，6号队员以50km/h的速度独自行进，行进20km后掉转车头，仍以50km/h的速度往回骑，直到与其他队员会合，设6号队员从离队开始到与队员重新会合经过了x h，则x的值是（　 　）
A． B． C． D．
3．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，良马数日追及之”．其大意是：跑得快的马每天走240里，跑的慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马
　　天可以追上慢马．
4．甲、乙两列火车从相距60千米的两站同时出发，同向而行，甲车在后，每小时行驶70千米，乙车在前，每小时行驶50千米，则经过 　　小时后两车相距20千米．
5．制造一批零件，按计划18天可以完成它的．如果工作4天后，工作效率提高了，那么完成这批零件的一半，一共需要　　天．
6．某市今年进行煤气工程改造，甲乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程若甲队单独做需要10天完成；若乙队单独做需要15天完成．若甲乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成，问乙队还需要几天能够完成任务？
参考答案
1.D 2.D 3.20 4.2或4 5.
6.解：设甲乙两队同时施工4天后，余下的工程乙队还需要x天能够完成任务，
根据题意得：1，
解得：x＝5．
答：乙队还需要5天能够完成任务．
3.4 一元一次方程的应用
第3课时 方案问题和调配问题
一.学习目标
1.掌握用一元一次方程解决方案问题、调配问题的方法.
2.通过对具体实例的分析和对问题的解决,增强应用方程模型解决问题的意识和能力.
二.自主预习
1.在“践行垃圾分类，助力双碳目标”主题班会结束后，刘华和小燕子一起收集了一些废电池，刘华说：“我比你多收集了7节废电池．”小燕子说：“如果你给我8节废电池，那么我的废电池节数就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，那么刘华和小燕子分别收集了多少节废电池？
解：设小燕子收集了x节废电池，则刘华收集了 节废电池，
根据题意得： ，
解得： ，
所以 ．
答：刘华收集了 节废电池，小燕子收集了 节废电池．
三.探究新知
探究一：方案问题
购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况.某人打算从两款空调中选购一台，如表是这两款空调的部分基本信息.如果电价是0.5元/(kw h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低.
两款空调的部分基本信息.
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/kw h
1.5 1级 3000 640
1.5 3级 2600 800
问题1 在这个问题中，综合费用= 空调的售价 + 电费 .
选定一种空调后，售价是确定的，电费则与使用的时间有关.
设空调的使用年数是t，则1级能效空调的综合费用(单位:元)是 .3级能效空调的综合费用(单位:元)是 ，
问题2 t取何值时，两款空调的综合费用相等？
问题3 t取何值时，哪款空调综合费用较低？
探究二 ：调配问题
3月12日植树节，为贯彻“绿水青山就是金山银山”的生态理念，学校组织植树活动．已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人．现调20人去支援，使在甲处植树的人数比乙处植树人数的2倍多3人，求应调往甲处的人数．
问题1 若设应调往甲处x人，根据题意填写表格.
调配前人数 调入人数 调配后人数
甲处 23 x
乙处 17
问题2 增派人数后甲处和乙处人数的数量关系是什么？可列出怎样的等式
探究三：例题讲解
例1 现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，要求路的两端各栽1棵，并且相邻两棵树的间隔相等．
方案一：如果每隔5m栽1棵，则树苗缺21棵；
方案二：如果每隔5.5m栽1棵，则树苗正好用完．
根据以上方案，请算出原有树苗的棵数和这段路的长度．
分析观察植树示意图，想一想：
分析:
问题1 相邻两树的间隔长与应植树的棵数有什么关系？
问题2 相邻两树的间隔长、应植树棵数与路长有怎样的数量关系？
问题3 设原有树苗x棵，填写下表:
方案 间隔/m 种植的树苗数 路长/m
一 5
二 5.5 x
问题4 两种方案下路长相等吗？根据路长关系列方程求解.
答：两种方案下路长是相等的.
小结
本题解决栽树问题的栽树棵树和路长关系的运用，其中“栽树的棵数＝分得的段数+1”和“路长＝（植树棵数﹣1 ）×间隔长”，根据路的长度不变建立方程解决实际问题．
例2 甲班有45人，乙班有39人．现在需要从甲、乙班各抽调一些同学去参加“歌唱祖国”歌咏比赛．如果从甲班抽调的人数比乙班多1人，那么甲班剩余人数恰好是乙班剩余人数的2倍．请问：从甲、乙两班各抽调了多少参加歌咏比赛？
分析：本题中有如下的等量关系：
甲班抽调的人数-乙班抽调的人数=1；
抽调之后甲班剩余人数=乙班剩余人数×2.
四.运用新知
1.某车间有2个小组，甲组是乙组人数的2倍，若从甲组调12人到乙组，使甲组人数比乙组人数的一半还多3人，求原来甲乙两组人数.
2.为进一步加强学生“学党史、知党情、跟党走”的信心，培养学生的民族精神和爱国主义情怀，某学校组织开展以“观看红色电影，点燃红色初心”为主题的教育活动．电影票价格表如下：
购票张数 1至40 41至80 80以上
每张票的价格 20元 18元 免2张门票，其余每张17元
该校七年级两个班共有83名学生去看电影，其中七（1）班的学生人数超过30，但不足40．
（1）如果两个班都以班为单位单独购票，一共付了1572元．求七（2）班学生的人数；
（2）在（1）所得的班级学生人数下，如果七（1）班有7名学生因有比赛任务不能参加这次活动，请你为两个班级设计购买电影票的方案，并指出最省钱的方案．
3.植树节到了，全班45名同学分两组植树，要求甲组每人只挖5个坑不植树，乙组每人挖3个坑并植树7棵，问如何分配两组的人数，才能使挖坑的数与植树的棵数正好相等？
五.达标测试
1．某市对迎宾大道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔3米栽1棵，则树苗缺15棵；如果每隔4米栽1棵，则树苗缺1棵．则原有树苗的棵数是（　　）
A．41 B．42 C．43 D．44
2．某机械厂加工车间有33名工人，平均每名工人每天加工大齿轮5个或小齿轮15个，已知2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，应安排 　 　名工人加工大齿轮，才能刚好配套．
3．我国古代《孙子算经》记载了这样一个数学问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，五人步．问车有几何？”意思是：每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有5人无车可乘，则车有 　 　辆．
4.某班打算买一些乒乓球和乒乓球拍,现了解情况如下:甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍,乒乓球拍每副定价30元,乒乓球每盒定价5元,经洽谈后,甲店买一副球拍赠一盒乒乓球,乙店全部按定价的9折优惠.该班需球拍 5副,乒乓球若干盒(不小于5盒).问:
(1)当购买乒乓球15盒时,去哪家店购买比较优惠
(2)当购买乒乓球多少盒时,两家店的付款一样多
参考答案：
1.B 2.22 3.11
4.解:(1)甲:30×5+5×(15-5)=200(元),
乙:(30×5+5×15)×0.9=202.5(元),
因为200<202.5,
所以当购买乒乓球15盒时,去甲商店购买比较优惠.
(2)设购买x盒乒乓球时,两家店的付款一样多,
根据题意,得30×5+5(x-5)=(30×5+5x)×0.9,
解得x=20.
所以当购买乒乓球20盒时,两家店的付款一样多.

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