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2023级高二上学期数学期中考试
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知全集，集合,集合，那么=（ ）
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. C.2 D.
3．“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.若直线l：ax+by＝1（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2x2y＝0，则的最小值为（ ）
A. B.2 C. D.
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
6．已知函数，且满足，则实数的取值范围是（ ）
A. B． C． D．
7.在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8.是定义在上周期为4的函数，且，则下列说法中不正确的是（ ）
A.的值域为
B.当时，
C.图象的对称轴为直线
D.方程恰有5个实数解
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.下列命题是真命题的有（ ）
A.直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
B.直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C.平面，的法向量分别为，，则
D.平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
10.如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A.直线平面
B.三棱锥的体积为定值
C.异面直线与所成角的取值范围是
D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为
11.中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在平面上，把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.若是该双纽线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A.的最大值是
B.点的横坐标的取值范围是
C.面积的最大值为
D.的取值范围是
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425.60分的高分拿下冠军.下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的60%分位数为 .
13．已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为 .
14.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．(13分）设三角形的内角、、的对边分别为、、且．
(1)求角的大小；
(2)若，边上的高为，求三角形的周长．
16．（15分）已知圆M：，点P是直线l：上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．
(1)当切线PA的长度为时，求点P的坐标；
(2)求线段AB长度的最小值．
17．（15分）“中式八球”是受群众欢迎的台球运动项目之一.在一场“中式八球”邀请赛中，甲、乙、丙、丁4人角逐最后的冠军，本次邀请赛采取“双败淘汰制”.具体赛制如下：
首先，4人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；
接下来，“胜区”的2人对阵，胜者进入最后的决赛，“败区”的2人对阵，败者直接淘汰出局，获得第四名；
紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的2人进行最后的冠亚军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名.
现假定甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立.
(1)经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.若.
（I）求甲连胜三场获得冠军的概率；
（Ⅱ）求甲在“双败淘汰制”下获得冠军的概率；
除“双败淘汰制”外，“中式八球”也经常采用传统的“单败淘汰制”；抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.问当p满足什么条件时，“双败淘汰制”比“单败淘汰制”更利于甲在此次邀请赛中夺冠
18．（17分）如图，在四棱锥中，底面是由等边三角形和等腰三角形构成，其中为棱上一点，平面．
(1)求的值；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
19．（17分）已知函数，.
(1)求函数的最大值；
(2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值.2023级高二上学期数学期中考试答案
一、单选题：
1.C 2.C 3.A 4.C 5.A 6 .C
7.【答案】B
【详解】 如图，取的中点，连接，则，又，所以，
故，因为是边长为2的等边三角形，所以，
因为，平面，
所以平面，因为平面，所以平面平面，
设ABC和PAB的外心分别为，则分别在线段上，
且，设外接球的球心为O，连接，
在正方形中，由勾股定理得，由勾股定理得，
故，故B正确. 故选：B
8.【答案】C
【详解】根据周期性，画出的部分图象如上图所示，由图可知，选项A，D正确，C不正确；
根据周期为，当时，，故B正确.
故选：C.
二、多选题：
9.【答案】AD
10 .【答案】ABD【详解】在选项A中，∵，，，
且平面，∴平面，平面，
∴，同理，，∵，且平面，
∴直线平面，故A正确；
在选项B中，∵，平面，平面，∴平面，
∵点在线段上运动，∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，
∴三棱锥的体积为定值，故B正确；
在选项C中，∵，∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.
易知为等边三角形，当为中点时，；
当与点或重合时，直线与直线夹角为.
故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；
在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为1，则，，，，
所以，.
由A选项正确：可知是平面的一个法向量，
∴直线与平面所成角的正弦值为：，
∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确. 故选：ABD
11.【答案】ACD
【详解】设是曲线上任意一点，根据双纽线的定义得：，
整理可得曲线的方程为，
对于A，，因为，所以，
所以，即，故A正确；
对于B：整理可得：，由可得，
即，解得，故B错误；
对于C：，
令，则，所以，
所以当时，，所以面积的最大值为，故C正确；
对于D：，
当且仅当，即时取等号，
，
所以，所以的取值范围是，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：
12.【答案】75
13.【答案】
【详解】设点，有，解得，，，，结合图可知，. 故答案为：
14.【答案】9【详解】令，则．
由题意可得圆是关于点，的阿波罗尼斯圆，且，
设点坐标为，则，整理得，
由题意得该圆的方程为，即所以，解得，
所以点的坐标为，所以，当时，此时最小，最小值为，因此当时，的值最小为，故答案为：9
四、解答题:
15.【详解】（1）因为，，为的内角，所以，
因为，所以可化为：，…………2
即，即，…………4
因为，解得：，即．…………6
（2）由三角形面积公式得，
代入得：，所以，…………8
由余弦定理得，，
解得：或（舍去），…………11
所以，…………12
所以的周长为.…………13
16.【详解】（1）∵圆，∴圆M的半径，圆心，…………1
设，…………2
∵PA是圆M的一条切线，∴，∵切线PA的长度为，
∴，…………4
解得或，
∴或．…………6
（2）法一：∵以PM为直径的圆N方程为，
即，…① …………8
圆，即，…②
②﹣①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：，…………10
点M到直线AB的距离，…………11
相交弦长即：，…………13
∴当时，线段AB长度取最小值．…………15
法二：且|PA|=|PB| PM垂直平分弦AB ，
==4…………11
故求的最小值，即求的最小值，
的最小值是点M到直线OP的距离为=…………13
长度的最小值为.…………15
17.【详解】（1）记甲在第i场比赛获胜的事件为，，2，3，4，则，，
且不同对阵结果相互独立，…………1
（I）甲连胜三场获得冠军的概率为：.…………3
（Ⅱ）甲在“双败淘汰制”下获得冠军的情况有：胜胜胜、胜败胜胜、败胜胜胜，
故概率为：…………7
（2）“双败淘汰制”下甲夺冠的概率为：
.…………10
“单败淘汰制”下甲夺冠的概率为：.…………12
令得，解得：.
所以当时，“双败淘汰制”比“单败淘汰制”更利于甲在此次邀请赛中夺冠. …………15
18.【详解】（1）如图，设，连接，
由于为等边三角形，为等腰三角形，根据对称性可得为中点，…………1
所以，…………2
因为平面平面，平面平面，所以，…………4
所以．…………6
（2）因为，所以，所以，
又点为中点，所以，…………7
设，由，得，解得，所以，……8
又，，则，所以，…………9
因为，，，平面，所以平面，
如图，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，…………10
则，…………11
设平面的法向量为，
所以，则，令，得，…………13
设平面的法向量为，
所以，则，令，得，…………15
所以，…………16
所以平面与平面夹角的余弦值为．…………17
19.【详解】（1），…………2
，，…………3
当，即时，，当，即时，，
当时，的最大值为2. …………5
（2）由，得，即，，…………6
设，则当，，，…………7
，…………9
设，由题意，是当时，函数的值域的子集. …………10
①当，即时，函数在上单调递增，
则解得.…………12
②当，即时，函数在上单调递减，则不等式组无解. …………14
③当，即时，函数在上单调递减，上单调递增，
则函数的最大值是与的较大者.
令，得，令，得，均不合题意. …………16
综上所述，实数的值为.…………17

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