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因式分解一轮复习专项训练-2025年中考数学
一、单选题
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式中，分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列多项式能用完全平方公式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知a、b、c是的三边，且满足，则的形状是（ ）．
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
5．关于的代数式分解因式得，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．把多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．在学习对复杂多项式进行因式分解时，苏老师示范了如下例题：
因式分解：．
解：设，
原式
．
例题中体现的主要思想方法是（ ）
A．函数思想 B．整体思想
C．分类讨论思想 D．数形结合思想
8．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．我爱美 B．中华美 C．爱我中华 D．美我中华
二、填空题
9．在实数范围内因式分解：
10．若，，则代数式的值是 ．
11．若多项式在整数范围内可分解因式，则的值是 ．
12．已知实数a、b、x、y满足，，则的值为 ．
13．如果多项式 的一个因式是，那么另一个因式是 ．
14．若是方程组的解，则的值是 ．
15．如果一个四位自然数N各个数位的数字都不为0，把它前两位数字组成的两位数记为x，后两位数字组成的两位数记为y，规定，，当为整数时，称这个四位数为“齐心数”．则 ．若“齐心数”，（，，，a，b，c为整数），且除以7余数为1，则S最大值为 ．
三、解答题
16．将下列式子分解因式：
(1)
(2)
17．请你观察下列多项式分解因式的结果与原多项式的关系，然后回答问题：
①；
②；
③；
④．
(1)请用一个式子表示你观察到的规律：____________．
(2)请用你观察并总结出来的结论把下面各式分解因式：
①；
②．
18．一个正整数p能写成（m、n均为正整数，且），则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时．例如：，因为，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以．
(1)= ；
(2)若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y，q为“平方差数”且能被7整除，求的最小值．
19．某数学兴趣小组将如下一些关于a的多项式因式分解后，发现各因式的常数项是两个连续的整数，且与多项式的系数之间存在着某种联系：
．．．．．．
我们定义具有这种规律的多项式为“关于a的连续式”．观察上述规律，思考以下问题：
(1)请根据上述规律，再写一个“关于a的连续式”，并写出其因式分解的形式：___________；
(2)已知k为整数，多项式能否成为“关于a的连续式”？若能，请求出k的值，并将该式写成因式分解的形式；若不能，请说明理由．
20．阅读理解:
定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”．
例如： 我们称 是 的“差分式”，
解答下列问题：
(1)分式 是分式 的“ 差分式”．
(2)分式 是分式 的“差分式”．
① （含的代数式表示）；
②若 的值为正整数，为正整数，求的值．
(3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A C B D B C
1．D
【分析】本题考查因式分解的定义．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各项进行判断即可．
【详解】解：A.是单项式乘多项式的运算，不符合题意；
B.右边结果不是积的形式，不符合题意；
C.是多项式与多项式的乘法运算，不符合题意；
D.属于因式分解，符合题意．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的概念和方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A选项是多项式的乘法，不是因式分解，错误；
B选项分解时，漏项，应为 错误；
C选项分解正确；
D选项的结果没有化成整式乘积的形式，也不是因式分解，错误．
故选 C．
3．A
【分析】此题主要考查了公式法分解因式，注意．根据完全平方公式的结构特点即可得出答案．
【详解】解：A、，故此选项符合题意；
B、，无法分解因式，故此选项不合题意；
C、该多项式不是完全平方公式的结构，无法分解因式，故此选项不合题意；
D、第三项不是正数，无法分解因式，故此选项不合题意；
故选：A．
4．C
【分析】此题考查了因式分解的应用，等腰三角形的判定．利用因式分解将已知等式变形为，即可得到，由此判断三角形的形状．
【详解】解：∵，
由平方差公式得：，
∴，
∵a、b、c三边是三角形的边，
∴，
∴，即，
∴一定是等腰三角形，
故选：C．
5．B
【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解，代数式求值，负整数指数幂，根据题意可得，再利用多项式乘以多项式的计算法则把等式右边展开得到，据此求出m、n的值即可得到答案．
【详解】解：∵关于的代数式分解因式得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式求解即可．
【详解】解：．
故选：D．
7．B
【分析】本题主要考查了分解因式，对解答的过程进行分析，结合相应的思想方法进行判断即可．
【详解】解：根据分解因式的过程可知，把看做一个整体，通过多项式乘以多项式的计算法则先去括号，然后合并同类项后利用完全平方公式分解因式，体现的主要思想方法是整体思想，
故选：B．
8．C
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式分解因式，再利用平方差分解因式得到最多因式分解的结果，再根据每个因式对应的字即可得到答案．
【详解】解：
，
∴结果呈现的密码是由爱，我，中，华这四个字组成的，
∴四个选项中只有C选项符合题意，
故选：C．
9．
【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，把原式化为，再分解因式即可．
【详解】解：；
故答案为：
10．2
【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值．
【详解】解：∵，，
，
故答案为：2．
11．
【分析】本题主要考查因式分解的意义和十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．
根据十字相乘法的分解方法和特点可知：m的值应该是4的两个因数的和，从而得出m的值即可．
【详解】解：∵，
∴m的值可能为：，
故m的值可能为：．
故答案为：．
12．73
【分析】本题主要考查了完全平方式，因式分解的应用，将，这两式两边平方后相加，最经过提取公因式，左边可得，至此问题解决．
【详解】解：由题意得，，①
，②
式两边同平方得：，③
式两边同平方得：，④
得，
，
，
故答案为：73．
13．
【分析】本题考查了提取多项式公因式；关键在于能够找到公因式并正确的提取公因式．该多项式提取，即可求解．
【详解】解：
，
∴一个因式是，另一个因式是，
故答案为：．
14．9
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，把代入方程组得关于，的方程组，利用加减消元法求出和的值，再把所求代数式分解成，再代入计算即可．
【详解】把代入方程组得：，
①②得：，
①②得：，
，
故答案为：9．
15． 1
【分析】本题考查因式分解的应用，能够理解新定义内容，再根据数的特点分类讨论是解题的关键．根据定义分别求出，，再代入求解即可；根据所给的条件结合定义可得，，由题意可得能被7整除，则，或，或，，再分情况讨论即可．
【详解】解：，，
；
，，，，
，，
，
，
除以7余数为1，
能被7整除，
能被7整除，
，，
，
或，
，或，或，，
当，时，，
当时，是整数，符合题意；
；
当，时，，
当时，是整数，符合题意；
；
当，时，，
，
不是整数，
此时不符合题意；
综上所述：为或，则的最大值为4188，
故答案为：1，．
16．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了提取公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握因式分解是关键．
（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因数3，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．(1)
(2)①；②
【分析】本题考查因式分解-十字相乘法，根据给出的多项式分解因式的结果总结出规律是银题的关键．
（1）通过观察分析总结出规律即可；
（2）利用（1）总结的规律求解即可．
【详解】（1）解：
答案为：．
（2）解：①
；
②
．
18．(1)130
(2)34
【分析】本题考查因式分解在新定义题型中的应用，能根据新定义将一个正整数进行分解是解决问题的前提．
（1），根据的定义即可得到答案；
（2）根据题意对x、y的取值进行分类讨论，再根据的定义即可得到答案．
【详解】（1）．
∵，
∴，
故答案为：．
（2）∵能被7整除，，
∴或，
∴或或或，
当，时，，；
当，时，，；
当，时，，此时q不是平方差数，不符合题意；
当，时，，
∵，
∴．
∵，
∴的最小值为34．
19．(1)，
(2)能，，
【分析】本题考查因式分解：
（1）参照题干写出一个“关于a的连续式”即可；
（2）设，得到，进而得到，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：，；
（2）能，
由题意，设，
则：，
∴，解得，
∴．
20．(1)
(2)①；②的值为或
(3)的值为
【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用，
（1）根据材料提示进行计算即可求解；
（2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解；
（3）根据“差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：①，
∴，
解得，；
②，为正整数，
∴当时，，则；
当时，，则；
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，不符合题意，舍去；
∴的值为或；
（3）解：，
，且，
∴，
∵为正整数，
∴，
∴的值为．
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