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22.1 二次函数的图象和性质
内容 常考题型
重点01 二次函数的定义 选择题、填空题
重点02 二次函数的三种形式及相互转化 选择题、填空题
重点03 待定系数法求二次函数的解析式 选择题、填空题、解答题
难点01 二次函数图象和性质 选择题、填空题
难点02 二次函数图象的综合应用 解答题
易错点 二次函数图象的平移 选择题、填空题
■重点01 二次函数的定义
一般地，形如（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数．
【例1】　（2024秋 姑苏区校级期中）下列函数中，是的二次函数的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据形如的函数称为是二次函数，逐项判断即可求解．
【解答】解：、，是的一次函数，不是二次函数，故选项错误，不符合题意；
、，是的二次函数，故选项正确，符合题意；
、，是的反比例函数，故选项错误，不符合题意；
、，不是的二次函数，故选项错误，不符合题意；
故选：．
【例2】　（2024秋 青县校级期中）下列函数关系中，是的二次函数的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】利用二次函数定义进行分析即可．
【解答】解：、当时，不是二次函数，故此选项不合题意；
、不是二次函数，故此选项不合题意；
、是二次函数，故此选项符合题意；
、化简后，不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：．
【例3】　（2024秋 洛龙区校级月考）关于的函数是二次函数，则的值是 　　．
【答案】．
【分析】根据概念得，，求解即可．
【解答】解：由题意得：，，
；
故答案为：．
注意：二次函数的判断方法： ①函数关系式是整式； ②化简后自变量的最高次数是2； ③二次项系数不为0．
■重点02 二次函数的三种形式及相互转化
二次函数的解析式 （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）； （2）顶点式：（a，b，c是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； （3）交点式： （a≠0，是抛物线与x轴两交点的坐标，即一元二次方程的两个根）．
【例1】　（2024秋 昌平区期中）将函数化为顶点式，结果是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】把原式配方即可转化为顶点式．
【解答】解：，即．
故选：．
【例2】　（2024秋 新城区校级月考）用配方法将二次函数写成的形式为　　．
【分析】利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：
，
故答案为：．
【例3】　（2024秋 绵阳月考）将二次函数写成的形式为 　　．
【答案】．
【分析】利用配方法把原式化为顶点式的形式即可．
【解答】解：，
将二次函数写成的形式为，
故答案为：．
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y＝ax2（a≠0）的图象形状相同，位置不同，利用配方法，可将y=ax2+bx+c转化为顶点式．
■重点03 待定系数法求二次函数的解析式
（1）设函数解析式：根据已知条件设函数解析式； （2）找点：找函数图象上的点； （3）代入：把点代入函数解析式得到方程； （4）求解方程； （5）反代入：把求出的字母的值带入解析式．
【例1】　（2023秋 长沙县期末）一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】设抛物线的表达式为，将代入上式，即可求解；
【解答】解：设抛物线的表达式为，
则抛物线表达式为，
将代入上式得，，解得，
故抛物线的表达式为．
故选：．
【例2】　（2024秋 桐城市校级月考）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，请确定抛物线的函数表达式．
【答案】．
【分析】先设抛物线的函数表达式为，把点代入解析式，求出的值，进而即可得到函数解析式．
【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
可设抛物线的函数表达式为，
抛物线经过点，
，
解得：．
抛物线的函数表达式为．
【例3】　（2024秋 余姚市校级月考）已知二次函数顶点为且过点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1）求此二次函数的解析式；
（2）或．
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标，所以设此二次函数的解析式为，把点代入解析式即可解答．
（2）先求得抛物线与轴的交点，即可求得自变量的取值范围．
【解答】解：（1）已知抛物线的顶点坐标为，
设此二次函数的解析式为，
把点代入解析式，得：
，即，
此函数的解析式为．
（2）当时，，
解得或，
抛物线与轴的交点为，，
时，函数的图象位于轴的上方，
图象位于轴的上方的自变量的取值范围为或．
用待定系数法求函数解析式，需先明确函数的类型，如，已知函数为二次函数时，才可以设函数的解析式为y=ax2+bx+c．
■难点01 二次函数图象和性质
1．二次函数的图象和性质 函数y=ax2（a>0）y=ax2（a<0）图象开口方向向上向下顶点坐标（0，0）（0，0）对称轴y轴y轴增减性x>0时，y随x的增大而增大； x<0时，y随x的增大而减小x>0时，y随x的增大而减小； x<0时，y随x的增大而增大最大（小）值当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0
2．二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 函数y=a（x-h）2+k（a>0）y=a（x-h）2+k（a<0）开口方向向上向下顶点坐标（h，k）（h，k）对称轴x=hx=h增减性x> h时，y随x的增大而增大； x h时，y随x的增大而减小； x3．二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 函数y=ax2+bx+c（a>0）y=ax2+bx+c（a<0）开口方向向上向下顶点坐标（， （，）对称轴x=x=增减性x>时，y随x的增大而增大； x<时，y随x的增大而减小x>时，y随x的增大而减小； x<时，y随x的增大而增大最大（小）值当x= 时，y最小值= 当x= 时，y最大值=
【例1】　（2024秋 开鲁县校级期中）关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是　　
A．图象开口向下 B．当时，有最大值
C．当时，随的增大而减小 D．图象的顶点坐标为
【答案】
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
【解答】解：二次函数，，
开口向下，顶点坐标为；当时，有最大值；当时，随的增大而减小；图象的顶点坐标为；
选项错误，符合题意，
故选：．
【例2】　（2024秋 西乡塘区校级月考）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②为任意实数，则；③；④；⑤．其中正确结论的个数有　　
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】
【分析】根据所给二次函数的图象，可得出，，的正负，再结合抛物线的对称性和增减性，对所给结论依次进行判断即可．
【解答】解：由所给图形可知，
抛物线的开口向下，
所以．
抛物线的对称轴在轴右侧，
所以，
所以．
因为抛物线与轴的交点在正半轴，
所以，
所以．
故①正确．
因为抛物线的开口向下，且对称轴为直线，
所以当时，函数取得最大值为，
则对于抛物线上的任意一点（横坐标为，其函数值不大于，
即，
所以．
故②正确．
因为抛物线的对称轴为直线，
所以，
即．
故③正确．
由函数图象可知，
当时，函数值小于零，
所以，
又因为，
所以，
即．
故④正确．
因为抛物线对称轴为直线，且时函数值小于零，
所以当时，函数值小于零；
又因为当时，函数值大于零，
则，，
所以，
所以．
故⑤错误．
故选：．
【例3】　（2024秋 西湖区校级期中）二次函数，，是常数，图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④为任意实数）．其中正确的是　　（填写序号）
【答案】①③④．
【分析】根据所给二次函数的图象，可得出，，的正负，再结合抛物线的对称性、增减性以及二次函数与一元二次方程之间的关系，对所给说法依次进行判断即可．
【解答】解：由所给图形可知，
，，，
所以．
故①正确．
因为抛物线的对称轴为直线，
所以，
即．
因为当时，函数值小于零，
所以，
即，
整理得，．
故②错误．
方程的根可看成抛物线与直线图象交点的横坐标，
显然抛物线与直线有两个不同的交点，
所以方程有两个不相等的实数根．
故③正确．
因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
所以当时，函数取得最大值，
则对于抛物线上的任意一点（横坐标为，其函数值不大于，
所以，
即．
故④正确．
故答案为：①③④．
抛物线的对称轴是直线， 顶点坐标是．
■难点02 二次函数图象的综合应用
二次函数图象的画法 （1）列表：先取作为顶点的原点（0，0），然后在原点两侧对称取点； （2）描点：一般先描出y轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点； （3）连线：按照从左到右的顺序，用平滑的曲线将各点连接起来，注意曲线要出头． 列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势．
【例1】　（2024秋 武威期中）如图为抛物线，图象经过点．直线与抛物线交于，两点，点，在轴上．
（1）求抛物线与直线的函数解析式；
（2）求△的面积．
【答案】（1）抛物线的解析式为，一次函数解析式为；
（2）15．
【分析】（1）把代入即可求出抛物线解析式，再求出，坐标，最后代入计算即可；
（2）联立二次函数与一次函数的解析式，解方程组求出点坐标，再根据求解即可．
【解答】解：（1）把代入代入得，
解得，
抛物线的解析式为，
令，则，
解得，
，，
把代入得，
解得，
一次函数解析式为；
（2）联立方程组，
解得或，
，
，，
，
．
【例2】　（2024秋 滨海新区校级月考）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）点坐标为 　　，点坐标为 　　；
（2）抛物线顶点坐标为 　　；
（3）当满足 　　时，；
（4）若二次函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围是 　　．
【分析】（1）把代入抛物线的解析式先求解的值，再令，可得，再解方程即可；
（2）把抛物线化为顶点式，从而可得答案；
（3）根据函数图象，找出轴下方的函数图象，可得答案；
（4）结合（3）中图象解答即可．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于点，
把点代入，得
．
，
抛物线为：，
令，则，
，
解得：，，
，；
故答案为：，；
（2），
抛物线的顶点坐标为：；
故答案为：；
（3）观察图象得，当时，；
故答案为：；
（4）由的图象可得：当过抛物线的顶点时，，
此时二次函数的图象与直线有1个交点，
二次函数的图象与直线有两个交点，
则的取值范围是．
故答案为：．
【例3】　（2023秋 西峡县期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，在的左侧），与一次函数的图象交于，两点．
（1）求的值；
（2）求的面积；
（3）根据图象，直接写出当时的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或．
【分析】（1）根据函数与方程的关系，当时，求解一元二次方程，即可得出抛物线与轴的两个交点，然后将点代入一次函数解析式即可确定的值；
（2）先求两个函数的交点的坐标，把代入中，求解一元二次方程，即可确定点的坐标，然后结合图象，求三角形面积即可；
（3）根据，，结合图象，即可确定的取值范围．
【解答】解：（1）当时，
，
解得：，，
抛物线与轴交于，．
直线经过点，
，
；
（2）由（1）知，
联立得：，
整理得
解得：（舍，，
把代入，得，
，
；
（3），，
当或时，抛物线在直线的上方，
当时，或．
1．二次函数y＝ax2＋k（a≠0）的图象是一条与y＝ax2（a≠0）的图象形状相同，顶点坐标为（0，k）的抛物线，因此画它的图象时，可以用描点法，也可以用平移法． 2．在二次函数中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|的大小决定抛物线的开口程度，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大． 3．抛物线（a≠0）图象的五点作图法 利用配方法将二次函数（a≠0）化为顶点式（a≠0）．确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点（0，c）以及与（0，c）关于对称轴对称的点（2h，c），与x轴的交点（x1，0）（x2，0）．若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点．
■易错点01 二次函数图象的平移
解析式y=a（x+m）2+n（a、m、n都是常数，a≠0）分情况讨论m>0，n>0m>0，n<0m<0，n>0m<0，n<0变换过程由y=ax2向左平移|m|个单位，向上平移|n|个单位由y=ax2向左平移|m|个单位，向下平移|n|个单位由y=ax2向右平移|m|个单位，向上平移|n|个单位由y=ax2向右平移|m|个单位，向下平移|n|个单位
【例1】　（2024秋 硚口区期中）将抛物线平移后得到抛物线，正确的平移方式是　　
A．向右移动3个单位长度，向上移动1个单位长度
B．向左移动3个单位长度，向上移动1个单位长度
C．向右移动3个单位长度，向下移动1个单位长度
D．向左移动3个单位长度，向下移动1个单位长度
【答案】
【分析】原抛物线顶点坐标为，平移后抛物线顶点坐标为，由此确定平移的方式．
【解答】解：原抛物线解析式为，
该抛物线的顶点坐标是，
抛物线的顶点坐标是，
平移的方法可以是：将抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位．
故选：．
【例2】　（2024秋 翁源县期中）将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得到的抛物线为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得到的抛物线为，即，
故选：．
【例3】　（2024秋 武威期中）将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的函数解析式为 　　．
【答案】．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可．
【解答】解：根据“左加右减，上加下减”的规律知：
二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得抛物线解析式为：，即．
故答案为：．
左加右减，上加下减．中小学教育资源及组卷应用平台
22.1 二次函数的图象和性质
内容 常考题型
重点01 二次函数的定义 选择题、填空题
重点02 二次函数的三种形式及相互转化 选择题、填空题
重点03 待定系数法求二次函数的解析式 选择题、填空题、解答题
难点01 二次函数图象和性质 选择题、填空题
难点02 二次函数图象的综合应用 解答题
易错点 二次函数图象的平移 选择题、填空题
■重点01 二次函数的定义
一般地，形如（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数．
【例1】　（2024秋 姑苏区校级期中）下列函数中，是的二次函数的是　　
A． B． C． D．
【例2】　（2024秋 青县校级期中）下列函数关系中，是的二次函数的是　　
A． B．
C． D．
【例3】　（2024秋 洛龙区校级月考）关于的函数是二次函数，则的值是 　　．
注意：二次函数的判断方法： ①函数关系式是整式； ②化简后自变量的最高次数是2； ③二次项系数不为0．
■重点02 二次函数的三种形式及相互转化
二次函数的解析式 （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）； （2）顶点式：（a，b，c是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； （3）交点式： （a≠0，是抛物线与x轴两交点的坐标，即一元二次方程的两个根）．
【例1】　（2024秋 昌平区期中）将函数化为顶点式，结果是　　
A． B． C． D．
【例2】　（2024秋 新城区校级月考）用配方法将二次函数写成的形式为　　．
【例3】　（2024秋 绵阳月考）将二次函数写成的形式为 　　．
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y＝ax2（a≠0）的图象形状相同，位置不同，利用配方法，可将y=ax2+bx+c转化为顶点式．
■重点03 待定系数法求二次函数的解析式
（1）设函数解析式：根据已知条件设函数解析式； （2）找点：找函数图象上的点； （3）代入：把点代入函数解析式得到方程； （4）求解方程； （5）反代入：把求出的字母的值带入解析式．
【例1】　（2023秋 长沙县期末）一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为　　
A． B．
C． D．
【例2】　（2024秋 桐城市校级月考）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，请确定抛物线的函数表达式．
【例3】　（2024秋 余姚市校级月考）已知二次函数顶点为且过点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当时，求的取值范围．
用待定系数法求函数解析式，需先明确函数的类型，如，已知函数为二次函数时，才可以设函数的解析式为y=ax2+bx+c．
■难点01 二次函数图象和性质
1．二次函数的图象和性质 函数y=ax2（a>0）y=ax2（a<0）图象开口方向向上向下顶点坐标（0，0）（0，0）对称轴y轴y轴增减性x>0时，y随x的增大而增大； x<0时，y随x的增大而减小x>0时，y随x的增大而减小； x<0时，y随x的增大而增大最大（小）值当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0
2．二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 函数y=a（x-h）2+k（a>0）y=a（x-h）2+k（a<0）开口方向向上向下顶点坐标（h，k）（h，k）对称轴x=hx=h增减性x> h时，y随x的增大而增大； x h时，y随x的增大而减小； x3．二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 函数y=ax2+bx+c（a>0）y=ax2+bx+c（a<0）开口方向向上向下顶点坐标（， （，）对称轴x=x=增减性x>时，y随x的增大而增大； x<时，y随x的增大而减小x>时，y随x的增大而减小； x<时，y随x的增大而增大最大（小）值当x= 时，y最小值= 当x= 时，y最大值=
【例1】　（2024秋 开鲁县校级期中）关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是　　
A．图象开口向下 B．当时，有最大值
C．当时，随的增大而减小 D．图象的顶点坐标为
【例2】　（2024秋 西乡塘区校级月考）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②为任意实数，则；③；④；⑤．其中正确结论的个数有　　
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【例3】　（2024秋 西湖区校级期中）二次函数，，是常数，图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④为任意实数）．其中正确的是　　（填写序号）
抛物线的对称轴是直线， 顶点坐标是．
■难点02 二次函数图象的综合应用
二次函数图象的画法 （1）列表：先取作为顶点的原点（0，0），然后在原点两侧对称取点； （2）描点：一般先描出y轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点； （3）连线：按照从左到右的顺序，用平滑的曲线将各点连接起来，注意曲线要出头． 列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势．
【例1】　（2024秋 武威期中）如图为抛物线，图象经过点．直线与抛物线交于，两点，点，在轴上．
（1）求抛物线与直线的函数解析式；
（2）求△的面积．
【例2】　（2024秋 滨海新区校级月考）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）点坐标为 　　，点坐标为 　　；
（2）抛物线顶点坐标为 　　；
（3）当满足 　　时，；
（4）若二次函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围是 　　．
【例3】　（2023秋 西峡县期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，在的左侧），与一次函数的图象交于，两点．
（1）求的值；
（2）求的面积；
（3）根据图象，直接写出当时的取值范围．
1．二次函数y＝ax2＋k（a≠0）的图象是一条与y＝ax2（a≠0）的图象形状相同，顶点坐标为（0，k）的抛物线，因此画它的图象时，可以用描点法，也可以用平移法． 2．在二次函数中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|的大小决定抛物线的开口程度，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大． 3．抛物线（a≠0）图象的五点作图法 利用配方法将二次函数（a≠0）化为顶点式（a≠0）．确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点（0，c）以及与（0，c）关于对称轴对称的点（2h，c），与x轴的交点（x1，0）（x2，0）．若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点．
■易错点01 二次函数图象的平移
解析式y=a（x+m）2+n（a、m、n都是常数，a≠0）分情况讨论m>0，n>0m>0，n<0m<0，n>0m<0，n<0变换过程由y=ax2向左平移|m|个单位，向上平移|n|个单位由y=ax2向左平移|m|个单位，向下平移|n|个单位由y=ax2向右平移|m|个单位，向上平移|n|个单位由y=ax2向右平移|m|个单位，向下平移|n|个单位
【例1】　（2024秋 硚口区期中）将抛物线平移后得到抛物线，正确的平移方式是　　
A．向右移动3个单位长度，向上移动1个单位长度
B．向左移动3个单位长度，向上移动1个单位长度
C．向右移动3个单位长度，向下移动1个单位长度
D．向左移动3个单位长度，向下移动1个单位长度
【例2】　（2024秋 翁源县期中）将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得到的抛物线为　　
A． B． C． D．
【例3】　（2024秋 武威期中）将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的函数解析式为 　　．
左加右减，上加下减．

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