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高中物理必修一素养提升学案
第二章 匀变速直线运动的研究
专题强化一 匀变速直线运动的两个推论及应用
【专题解读】
推论1：匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度等于这一段时间内的平均速度。
(1)推导：平均速度的定义式为＝
匀变速直线运动的位移与时间关系式为x＝v0t＋at2
则 平均速度＝＝v0＋a·＝vt/2。
(2)结论：匀变速直线运动中，中间时刻的瞬时速度vt/2等于这一段时间内的平均速度。
【温馨提示】匀变速直线运动的.平均速度与初、末速度的关系：＝。
(1)推导：平均速度＝＝v0＋a·＝＝＝。
(2)结论：匀变速直线运动中，一段时间内的平均速度等于这段时间初、末速度和的一半。
【思考】 三个平均速度公式＝、＝和＝vt/2的适用条件一样吗？
提示　＝适用于任何运动，＝和＝vt/2只适用于匀变速直线运动。
【特别提醒】.中间时刻的速度与位移中点的瞬时速度的比较
(1)做匀变速直线运动的物体，在运动一段位移中点的瞬时速度为vx/2＝eq \r(\f(v＋v2,2))。
推导：由v2－v＝2ax得v x/22－v＝2a·，v2－v x/22＝2a·
联立解得v x/2＝eq \r(\f(v＋v2,2))。
(2)结论：不论物体做匀加速直线运动还是做匀减速直线运动，总有v>v。
证明：分别作出匀加速直线运动的速度—时间图像和匀减速直线运动的速度—时间图像，如图甲、乙所示。
由图甲看出0～时间内的位移不到总位移的一半，因此位移中点的时刻t x/2>，则v x/2>v x/2；由图乙可知t x/2<，所以v x/2>v t/2。因此，只要物体做匀变速直线运动，总有v x/2>v t/2。
推论二 位移差公式Δx＝aT2
1. 匀变速直线运动中，任意两个连续相等的时间间隔T内的位移差都相等。
即Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2(如图)。
①公式Δx＝aT2的推导
第一个时间T内的位移x1＝v0T＋aT2
第二个时间T内的位移x2＝(v0＋aT)T＋aT2
第三个时间T内的位移x3＝(v0＋a·2T)T＋aT2
……
第n个时间T内的位移
xn＝[v0＋a·(n－1)T]T＋aT2
所以有Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2
T为连续相等的时间间隔，x1、x2、x3、…、xn为连续相等时间间隔内的位移。
②公式Δx＝aT2的.应用
(1)判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。
(2)求加速度：利用Δx＝aT2，可求得a＝。
③公式Δx＝aT2的推论：xm－xn＝(m－n)aT2。
【思考】 能否利用v－t图像推导Δx＝aT2
提示　v－t图像如图所示
设物体的初速度为v0，第一个时间T内的位移为x1，第二个时间T内的位移为x2，第三个时间T内的位移为x3，则x2－x1、x3－x2、x4－x3、…为图中阴影部分的面积，它们的值相等且为Δx＝aT2。
【方法归纳】逐差法求加速度
纸带上测得连续6个相同时间T内的位移x1、x2、x3、x4、x5、x6，将它们分为三组，由xm－xn＝(m－n)aT2得，a1＝，a2＝，a3＝，所以全段的平均加速度为a＝＝。
此式把各段位移都利用上，有效地减小了仅由两次位移测量所带来的偶然误差，这种方法称为逐差法。
技巧：此种情况也可以把连续的六段位移看成连续的两大段位移s1＝x1＋x2＋x3，s2＝x4＋x5＋x6，时间间隔Δt＝3T，
即a＝＝。
【思考】
1.如图所示，已知连续4个相同时间T内的位移分别为x1、x2、x3、x4，利用逐差法求加速度公式。
提示　x3－x1＝2a1T2
x4－x3＝2a2T2
a＝＝。
2.若n为大于4的奇数段，应怎么处理？
提示　舍去位移最小的一段或中间一段。
假设n＝5，若相邻各段间的位移逐渐增大，第一段读数的误差相对较大，可以舍去第一段，则a＝
同理，若相邻各段间的位移逐渐减小，可以舍去最后一段或舍去中间一段，则
a＝＝
两种情况下，在保留有效数字位数相同时，计算结果一般相同。
【针对性训练】
1 光滑斜面的长度为L，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t，则下列说法正确的是(　　)
A.物体运动全过程中的平均速度是
B.物体在时的瞬时速度是
C.物体运动到斜面中点时瞬时速度是
D.物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是
答案　ACD
解析　全程的平均速度＝，A正确；由vt/2＝知，在时，物体的速度vt/2等于全程的平均速度，B错误；若末速度为v，则＝，解得v＝，中间位置L/2的瞬时速度 vL/2＝＝＝，C正确；设物体加速度为a，到达中间位置L/2用时t′，则L＝at2，＝at′2，所以t′＝t，D正确。
2. 如图所示，假设“运－20”起飞前沿地面做匀加速直线运动，加速过程中连续经过两段均为120 m的测试距离，用时分别为2 s和1 s，则“运—20”的加速度大小是(　　)
A.35 m/s2 B.40 m/s2
C.45 m/s2 D.50 m/s2
答案　B
解析　第一段的平均速度1＝＝ m/s＝60 m/s，第二段的平均速度2＝＝ m/s＝120 m/s，由中间时刻的速度等于平均速度，则v1＝1，v2＝2，由v2＝v1＋a，得a＝＝ m/s2＝40 m/s2，故B正确。
　
3 如图所示，物体做匀加速直线运动，A、B、C、D为其运动轨迹上的四点，测得AB＝2 m，BC＝3 m，且物体通过AB、BC、CD所用的时间均为0.2 s，则下列说法正确的是(　　)
A.物体的加速度为20 m/s2
B.物体的加速度为25 m/s2
C.CD＝4 m
D.CD＝5 m
答案　BC
解析　由匀变速直线运动的推论Δx＝aT2，可得a＝＝25 m/s2，故A错误，B正确；根据CD－BC＝BC－AB，可知CD＝4 m，故C正确，D错误。
4 从斜面上某一位置每隔0.1 s静止释放一个相同的小球，释放后小球做匀加速直线运动，在连续释放几个小球后，对在斜面上滚动的小球拍下如图所示的照片，测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm。求：
(1)小球的加速度的大小；
(2)拍摄时小球在B点时的速度大小；
(3)拍摄时C、D间的距离xCD；
(4)A点的上方滚动的小球还有几个。
答案　(1)5 m/s2　(2)1.75 m/s　(3)0.25 m (4)2个
解析　(1)由推论Δx＝aT2可知，小球加速度为
a＝＝＝ m/s2
＝5 m/s2。
(2)由题意知B点对应AC段的中间时刻，所以B点的速度等于AC段的平均速度，即
vB＝＝ m/s＝1.75 m/s。
(3)由于连续相等时间内位移差恒定，
所以xCD－xBC＝xBC－xAB
得xCD＝2xBC－xAB
＝2×20×10－2 m－15×10－2 m＝0.25 m。
(4)设A点处小球的速度为vA
由于vA＝vB－aT＝1.25 m/s
所以A点处小球的运动时间为
tA＝＝0.25 s
所以在A点的上方滚动的小球还有2个。
　
5 如图所示是某同学测量匀变速直线运动的加速度时，选取的一条纸带的一部分，他每隔4个点取一个计数点，图中注明了他对各计数点间距离的测量结果。所接电源是频率为50 Hz的交变电源。
(1)为了验证小车的运动是匀变速运动，请进行计算，并将数据填入下表内(单位：cm)。
x2－x1 x3－x2 x4－x3 x5－x4 x6－x5
1.58 1.57 ______ ______ ______
由此可以得出结论：小车的运动是________。
(2)两个相邻计数点间的时间间隔Δt＝______s。
(3)小车的加速度的表达式a＝________(用题中的字母表示)，加速度a＝________m/s2(结果保留3位有效数字)。
(4)打计数点B时小车的速度vB＝________m/s(结果保留3位有效数字)。
答案　(1)1.57　1.58　1.58　匀变速直线运动
(2)0.1　(3)　1.57
(4)0.517
解析　(1)由纸带计数点的数据可知
x4－x3＝7.52 cm－5.95 cm＝1.57 cm
x5－x4＝9.10 cm－7.52 cm＝1.58 cm
x6－x5＝10.68 cm－9.10 cm＝1.58 cm
由此可以得出结论：在误差允许范围内，相邻相等时间内的位移差Δx相等，小车的运动是匀变速直线运动。
(2)每隔4个点取一个计数点，电源频率为50 Hz，所以两个相邻计数点间的时间间隔
Δt＝0.02 s×5＝0.1 s。
(3)小车的加速度的表达式
a＝
代入题中数据可得a≈1.57 m/s2。
(4)由匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度可得，打计数点B时小车的速度
vB＝＝×10－2 m/s≈0.517 m/s。
6 某探究小组为了研究小车在桌面上的直线运动，用自制“滴水计时器”计量时间。实验前，将该计时器固定在小车旁，如图甲所示。实验时，保持桌面水平，用手轻推一下小车。在小车运动过程中，滴水计时器等时间间隔地滴下小水滴，图乙记录了桌面上连续6个水滴的位置(已知滴水计时器每30 s滴下46个小水滴)。
(1)由图乙可知，小车在桌面上是________(选填“从右向左”或“从左向右”)运动的。
(2)该小组同学根据图乙的数据判断出小车做匀变速运动。小车运动到图乙中A点位置时的速度大小为______m/s，加速度大小为______m/s2(结果均保留2位有效数字)。
答案　(1)从右向左　(2)0.19　0.038
解析　(1)小车在阻力的作用下，做减速运动，由题图乙知，从右向左相邻水滴间的距离逐渐减小，即速度减小，所以小车在桌面上是从右向左运动的。
(2)已知滴水计时器每30 s滴下46个小水滴，所以相邻两水滴间的时间间隔为T＝ s＝ s，所以A点位置的速度为vA＝ m/s≈0.19 m/s。根据逐差法可得加速度a＝≈－0.038 m/s2，故加速度的大小为0.038 m/s2。
7.(2024·广东韶关高一期末)为研究匀变速直线运动的规律，某实验小组利用智能手机的录像功能拍下小球在贴有刻度尺的斜面上做匀加速直线运动的过程，然后将在录像中时间间隔为T的连续4幅画面合成到同一张图中，如图所示。
(1)从图中读出小球经过的A、B两位置之间的距离为x1＝________cm，BC间、CD间的距离分别为x2＝1.40 cm、x3＝1.80 cm。
(2)计算小球在B点速度大小的表达式为vB＝________(用所测物理量的符号表示)。
(3)已知T＝0.04 s，由测得的数据，可计算出小球运动过程中的加速度大小为________m/s2(计算结果保留3位有效数字)。
答案　(1)1.00　(2)　(3)2.50
解析　(1)刻度尺精度为1 mm，读数时需要估读一位，根据图中小球经过的A、B两位置之间的距离为x1＝1.00 cm。
(2)根据匀变速直线运动某段位移的平均速度等于该段位移所用时间中间时刻的瞬时速度可得
vB＝。
(3)根据逐差相等公式可得Δx＝x3－x2＝x2－x1＝aT2，代入数据解得a＝＝×10－2 m/s2＝2.50 m/s2。
8.在“研究小车做匀变速直线运动”的实验中，电源频率为50 Hz，如图为一次记录小车运动情况的纸带，图中A、B、C、D、E、F、G为相邻的计数点，在相邻计数点之间还有4个点未画出。
(1)根据纸带可知，相邻计数点之间的时间间隔为________s，打C点时小车的瞬时速度为vC＝________m/s，小车运动的加速度a＝________m/s2(后两空结果保留2位有效数字)。
(2)若电源的频率变为51 Hz而未被发觉，则测得的小车的速度值与真实值比较将偏________(选填“大”或“小”)(已知打点周期T与交流电的频率关系为T＝)。
答案　(1)0.1　0.20　0.50　(2)小
解析　(1)电源频率为50 Hz，则相邻两个点之间的时间间隔为0.02 s，由于相邻计数点之间还有4个点未画出，所以相邻计数点之间的时间间隔为T＝0.1 s；利用中间时刻的速度等于这段时间内的平均速度即可求得
vC＝＝ m/s≈0.20 m/s
根据Δx＝aT2可得加速度为
a＝
代入数据可得a＝0.50 m/s2。
(2)当电源的频率变为51 Hz时，打点的时间间隔减小，所以相邻计数点之间的时间间隔T减小，而此时还是以50 Hz对应的打点周期去计算，根据v＝可知测得的小车的速度值与真实值比较将偏小
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