资源简介

(共35张PPT)
5.1 认识方程
第5章 一元一次方程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
方程
一元一次方程
方程的解
在实际问题中建立一元一次方程的模型
知识点
方程
知1－讲
1
1. 定义 为了求出问题中的未知数，可以引入字母表示未知数，再根据等量关系建立含有未知数的等式，这样的等式叫作方程.
知1－讲
2. 方程必须具备两个条件
(1)是等式，等式的标志是含有“＝”；
(2)含有未知数，但未知数的个数不限.
知1－讲
特别解读
1. 方程一定是等式，但等式不一定是方程.
2. 方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示.
知1－练
例 1
下列式子： ①8－7＝1＋0； ②x－y＝x2； ③x＋2；
④－＝3；⑤x＝5；⑥x－2>1，其中是方程的有 ( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
知1－练
解题秘方：紧扣方程的“两个条件”进行判断.
解：①不是方程，因为它不含未知数；③ 不是方程，因为它不是等式；⑥不是方程，因为它不是等式；②④⑤均满足方程的“两个条件”，是方程.
答案：B
知1－练
1－1. 下列式子属于方程的是( )
A. x＋5 B. x－10＝3
C. 5＋6＝11 D. x÷12>20
B
知2－讲
知识点
一元一次方程
2
1. 定义：方程中只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程. 一元一次方程具有以下特点：
(1)只含有一个未知数.
(2)所含未知数的最高次数为1 .
(3)是由整式组成的，即方程中分母不含未知数.
①
②
③
知2－讲
特别解读
①②③是判断一元一次方程的三个标准，其中“元”指“未知数”，“次”指“未知数的次数”，“整式”指分母不含未知数.
任何一个一元一次方程经过化简与整理后都可以写成标准形式ax＋b＝0(a ≠ 0)，a ≠ 0是重要条件，也是判断是否为一元一次方程的根本条件.
知2－讲
2. 一元一次方程的标准形式
任何一个一元一次方程变形后总可以化为ax＋b＝0的形式. 其中x是未知数，a，b是已知数，且a ≠ 0 . 我们把 ax＋b＝0叫作一元一次方程的标准形式.
知2－练
下列各式中， 哪些是一元一次方程？
(1)x＋y＝1－2y；(2)7x＋5＝7(x－2)； (3)5x2－x－2＝0；(4)＝5；(5)2x2＋5＝2(x2－x)；(6)ax＋b＝0(a，b是有理数).
例 2
解题秘方：利用一元一次方程的定义进行判断.
知2－练
解：(1)含有两个未知数；(2)化简后x的系数为0；
(3)未知数x的最高次数为2；(4)等号左边不是整式；
(5)化简后为－2x＝5，符合一元一次方程的定义；
(6)ax＋b＝0(a，b 是有理数)，没有备注a 是否等于0，当 a＝0 时，x的系数为0 .
所以(1)(2)(3)(4)(6)均不是一元一次方程；(5)是一元一次 方程.
知2－练
2－1. 在方程3x－y＝2，x＋－2＝0，x＝，x2－2x－3＝0 中，一元一次方程有( )
A. 1 个 B. 2个
C. 3 个 D. 4个
A
知2－练
特别提醒
判断一元一次方程不仅要看原方程，还要看化成标准形式后未知数的系数是否为0.
知2－练
[期末·枣庄峄城区] 若方程(k－1)x|k－2|＝3是关于x的一元一次方程， 则k的值是(　　)
A. 1 B. 2 C. －1 D. 3
解题秘方：由一元一次方程的定义可知未知数的次数为1，系数不为0，据此求出k的值.
例 3
知2－练
解：根据题意，得k－1 ≠ 0且|k－2|＝1 .
由|k－2|＝1，得k－2＝±1 ，所以k＝3或k＝1.
由k－1 ≠ 0，得k ≠ 1 . 所以 k＝3．
答案：D
知2－练
3－1.若方程(a－2)x2|a|－3＋3＝－2 是关于x的一元一次方 程，则这个一元一次方程为(　　)
A. 4x＋3＝－2
B. －4x＋3＝－2
C. 4x－3＝－2
D. －4x2＋3＝－2
B
知3－讲
知识点
方程的解
3
1. 方程的解：使方程的等号两边相等的未知数的值叫作方程的解. 只含有一个未知数的方程的解也叫作方程的根.
知3－讲
2. 检验方程的解的步骤：(1)将未知数的值分别代入方程 左、右两边，若方程一边不含未知数，则只代入含未知数的一边；(2)分别求出方程左、右两边式子的值；(3)若左、右两边相等，则是方程的解，否则不是. 简写为“一代二求三判断”.
知3－讲
特别提醒
方程的解可能不止一个，也可能无解.如x＝1和x＝2 都是方程x2－3x＋2＝0 的解， 而方程|x|＝－2无解.
知3－练
检验下列各未知数的值是不是方程5x－2＝7＋2x 的解， 并写出检验过程.
(1) x＝2； (2) x＝3.
例 4
解题秘方：紧扣方程的解的定义，将未知数的值代入方程左、右两边进行检验即可.
知3－练
解：(1)将x＝2分别代入方程的左边和右边，
得左边＝5×2－2＝8，右边＝7＋2×2＝11.
因为左边≠右边，所以x＝2不是方程5x－2＝7＋2x的解.
(2)将x＝3分别代入方程的左边和右边，
得左边＝5×3－2＝13，右边＝ 7＋2×3＝13.
因为左边＝右边，所以x＝3是方程5x－2＝7＋2x的解.
知3－练
4－1. 下列方程中解为x＝2的是( )
A. 2x＝6
B. －x＝1
C. 2＋x＝0
D. 2x－1＝3
D
知3－练
已知关于x的方程3a－x＝＋3的解是x＝4， 求a2－2a 的值.
例 5
解题秘方：利用方程的解的定义，将已知的解代入方程中，求出待定字母的值，再将待定字母的值代入所求代数式即可得解.
知3－练
解：把x＝4代入方程3a－x＝＋3中，得3a－4＝2＋3，
解得a＝3 .
当a＝3时，a2－2a＝32－2×3＝3 .
知3－练
5－1. 若x＝2 是关于x 的一元一次方程ax－b＝3的解，则4a－2b＋1的值是(　　)
A. 7 B . 8
C. －7 D. －8
A
知4－讲
知识点
在实际问题中建立一元一次方程的模型
4
1. 列一元一次方程的一般步骤
(1)审题：提取问题中的数量信息，正确理解问题中表示数量关系的关键性词语(如多、少、倍……).
(2)分析：理清问题中的关系，找出等量关系.
(3)建模：设出未知数，并用含有未知数的式子表示等量关系中的量，将问题转化为方程，可直接或间接设未知数.
知4－讲
特别解读
常见找等量关系的方法：
1. 根据周长、面积、体积公式确定等量关系；
2. 根据题目中的不变量确定等量关系；
3. 根据关键词确定等量关系.
知4－讲
2. 列一元一次方程的基本流程
知4－练
[中考·福建]2024年我国国民经济开局良好， 市场销售稳定增长， 社会消费增长较快， 第一季度社会消费品零售总额为120 327 亿元， 比去年第一季度增长4.7％， 求去年第一季度社会消费品零售总额.
例 6
知4－练
若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x 亿元， 则符合题意的方程是( )
A. (1＋4.7％) x＝120 327 B. (1－4.7％)x＝120 327
C. ＝120 327 D. ＝120 327
知4－练
解题秘方：本题根据“今年第一季度社会消费品零售总额为120 327亿元，比去年第一季度增长4.7％”列方程．
解：根据题意，列方程为(1＋4.7％)x＝120 327.
答案：A
知4－练
6－1. 在国家“双减”政策出台后，同学们的课余生活更加丰富了，为迎接元旦活动，美术兴趣小组要完成学校布置的剪纸作品任务，若每人做5个，则可比计划多做9个；若每人做4个，则将比计划少做15个，这项剪纸作品任务共多少个？若设美术兴趣小组共有x人， 则可列方程为_______________.
5x－9＝4x＋15
认识方程
一元一次
方程
方程
方程的解
建立方程的模型(共97张PPT)
5.4 一元一次方程与实际问题
第5章 一元一次方程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
列一元一次方程解实际问题的一般步骤
积分问题
配套、调配问题
行程问题
工程问题
销售问题
储蓄问题
计费问题
知识点
列一元一次方程解实际问题的一般步骤
知1－讲
1
列一元一次方程解实际问题的一般步骤：
(1)理解题意，明确问题中的已知量、未知量；
(2)用字母表示问题中的一个未知量，并根据问题中的数量关系用含该字母的代数式表示其他未知量；
(3)根据等量关系，列出方程；
(4)解方程，求出未知数的值；(5)写出答案.
知1－讲
列一元一次方程解决实际问题的步骤，可以用如图5.4－1的框图表示：
知1－讲
特别提醒
1. 一道应用题中往往含有几个未知量，应恰当选择其中一个，其他的未知量可用这一个未知量来表示，从而列出方程，一般问什么设什么，但有时也间接设未知量.
2. 设和答必须写清单位.
3. 一般情况下，题目所给的条件在列方程时不能重复使用，也不能漏掉不用.
知1－练
例 1
[期末·台州黄岩区] 某班级去某动物园开展研学活动，
已知成人门票每张280 元， 学生门票每张220 元．
解题秘方：紧扣列一元一次方程解决实际问题的一般步骤解题. 找出等量关系，正确列出方程是解题的关键．
知1－练
(1)若参加的教师和学生总人数为50， 需收取门票费11 300 元， 问教师和学生各几人？
解：设学生有x人，则教师有(50－x)人，
根据题意，得220x＋280(50－x)＝11 300 ，解得x＝45.
50－45＝5(人).
所以，学生有45人，教师有5人．
知1－练
(2)该动物园推出活动， 若学生人数为50及以上， 优惠方案为：成人门票每张240元，学生门票每张150元，在(1)的基础上， 又有几名同学报名参加， 最终门票费用比原价购买的情况下优惠了30％， 那么新增了几名同学？
解：设新增了y 名同学，根据题意，得150(45＋y)＋240×5＝[(45＋y)×220＋280×5]×(1－30％)，解得y＝10. 所以，新增了1 0 名同学．
知1－练
1－1. 小明和小杰拥有的图书数量之比为3∶2，如果小明送给小杰15本，两人的图书数量就一样多，问两人共有多少本图书？
解：设小明原来有3x本图书，则小杰原来有2x本图书.
根据题意，得3x－15＝2x＋15，解得x＝30.
则3x＋2x＝5x＝150.
所以，两人共有150本图书．
知1－练
1－2.某动物园的门票价格如下：
某天该动物园共售出1 680 张门票, 收入是54 400 元. 则成人票和学生票各售出多少张？
门票类型 价格/(元/人)
成人票 40
学生票 20
知1－练
解：设成人票售出x张，则学生票售出(1 680－x)张．
由题意，得40x＋20(1 680－x)＝54 400，
解得x＝1 040.
则1 680－x＝1 680－1 040＝640.
所以，成人票售出1 040张，学生票售出640张．
知2－讲
知识点
积分问题
2
在比赛积分问题中，基本相等关系有：
参赛场数＝ 胜场数＋ 负场数＋ 平场数；
比赛总积分＝ 胜场积分＋ 负场积分＋ 平场积分.
知2－讲
特别解读：
(1)比赛中的积分与胜负场数有关，同时也与比赛积分规则有关，需先弄清“胜一场积几分，平一场积几分，负一场积几分”.
(2)在积分规则中，一般规律为：胜场积分> 平场积分>负场积分，据此可粗略判断解题的结果是否正确.
知2－讲
特别提醒
并不是每种比赛都按胜、平、负的情况积分，有的只按胜、平两种情况积分，所以解题时一定要认真理解比赛的积分规则．
知2－练
下表是某足球联赛第一阶段小组赛(该小组共4 个队， 每个队分别与其他3 个队进行主客场比赛各一场， 即每个队要进行6 场比赛) 积分表的一部分.
例 2
知2－练
排名 球队 场次 胜场 平场 负场 进球 主场进球 客场进球 积分
1 A 6 ？ ？ 1 13 8 5 13
2 B 6 3 2 1 8 3 5 11
3 C 6 3 1 2 9 x 5 10
4 D 6 0 0 6 1 1 0 0
备注 积分＝ 胜场积分＋平场积分＋负场积分
知2－练
解题秘方：根据表格中提供的胜、平、负的场数及对应的总积分，分析出胜场、平场及负场积分. 根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解.
知2－练
(1)表格中C 队的主场进球数x 的值为____， 本次足球小组赛胜一场积___分， 平一场积___分， 负一场积___分.
4
3
1
0
详解
设胜一场积y分.根据D队积分为0可知，负一场积0分；根据B，C两队的积分可知，平一场积1分；再根据B队积分为11，列方程，得3y＋2＝11，解得y＝3.所以胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0 分.
知2－练
(2)该足球联赛奖金分配方案为： 参加第一阶段小组赛6场比赛的每个球队都可以获得参赛奖金1 200万元. 另外，小组赛中每获胜一场可以获得150 万元， 平一场可以获得50万元. 请根据表格提供的信息， 求在第一阶段小组赛结束后，A 队一共能获得多少万元的奖金？
知2－练
解：设A队胜a 场，则平(6 －a－1)场，
根据题意，得3a＋(6－a－1)＝13 ，解得a＝4 .
则6－a－1＝1 .
所以A队一共能获得奖金1 200＋150×4＋50×1＝ 1 850(万元).
知2－练
2－1. 每年的12月4日为全国法制宣传日，当天某学校组织4 名学生参加法制知识竞赛，共设20 道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了其中2 名参赛学生的得分情况.
参赛学生 答对题数 答错题数 得分/分
A 20 0 100
B 17 3 79
知2－练
(1)若参赛学生C 得72分，则他答对了几道题？答错了几道题？
解：根据题表得出答对一题得5分，答错一题扣2分．
(1)设参赛学生C答对了x道题，则答错了(20－x)道题，由题意，得5x－2(20－x)＝72，
解得x＝16.则20－x＝20－16＝4.
所以，他答对了16道题，答错了4道题．
知2－练
(2)参赛学生D说他可以得88分，你认为可能吗？为什么？
知3－讲
知识点
配套、调配问题
3
1. 生产配套问题中的基本相等关系
加工(或生产)的各种零件、配件的总数量比等于一套组合件中各种零件、配件的数量比.
知3－讲
2. 调配问题中的基本相等关系
调配问题一般把调配的结果作为等量关系列方程.
调配问题有两种类型：(1)内部调配，即从甲(乙)处调人(或物)到乙(甲) 处, 此时甲(乙)处减少的人(或物)数＝ 乙 (甲)处增加的人(或物)数；(2)外部调配,即从第三方调人 (或物)到甲、乙两处，此时甲、乙两处原有人(或物)数不会减少.
知3－讲
特别提醒
要认真区别配套问题中的关键词语“刚好”与“最多”.
知3－练
某车间有28名工人，现在要生产一种螺栓和螺帽， 每名工人每小时能生产螺栓12 个或螺帽18个， 2 个螺栓要配3 个螺帽， 应安排多少名工人生产螺栓， 多少名工人生产螺帽， 才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？
例 3
知3－练
解题秘方：解题的关键是找准题目中的等量关系，利用配套规则列方程求解.
知3－练
解：设应安排x名工人生产螺栓，则安排(28－x)名工人生产螺帽.
根据题意，得3×12x＝2×18×(28－x).
解得x＝14 ，所以28－x＝14 .
所以应安排14名工人生产螺栓，14名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套.
知3－练
3－1. 某服装厂生产一种运动服，已知每3 m长的布料可做上衣2 件或裤子3 条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用800 m长的布料生产服装，应分别用多少布料生产上衣和裤子，才能恰好配套？共能生产多少套？
知3－练
知3－练
学校组织植树活动， 已知有23人在甲处植树， 有17 人在乙处植树， 现另调20 人去支援，使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2 倍， 应调往甲、乙两处各多少人？
例 4
知3－练
解题秘方：此类问题多用列表法找相等关系. 设应调往甲处x人，列表如下：
根据表格中的等量关系列出一元一次方程求解即可.
原有人数 增加人数 现有人数
甲处 23 x 23＋x
乙处 17 20－x 17＋(20－x)
知3－练
解：设应调往甲处x人，则调往乙处(20－x)人.
根据题意可得×(23＋x)＝17＋(20－x)，
解得x＝17，则20－x＝3 .
所以应调往甲处17人，调往乙处3人.
知3－练
4－1.为了进一步落实“双减”政策，某校积极开展社团活动，国际象棋社团原有学生64人，羽毛球社团原有学生56人.我国羽毛球运动员在2024中国( 瑞昌) 国际羽毛球大师赛中取得佳绩后，学校掀起一股羽毛球热潮，有部分国际象棋社团学生转入羽毛球社团，现在国际象棋社团人数是羽毛球社团人数的一半，问有多少名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团？
知3－练
解：设有x名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团．
根据题意，得2(64－x)＝56＋x，解得x＝24.
所以，有24名学生从国际象棋社团转入羽毛球社团．
知4－讲
知识点
中点四边形
4
1. 在行程问题中，一般涉及路程、时间和速度三个基础量. 它们之间的关系如下：
路程＝ 速度× 时间；
时间＝；速度＝.
知4－讲
2. 常见的行程问题有追及问题、相遇问题、相向而行、背向而行等.
涉及两者间的行程，若同时出发，则时间相等，利用路程之间的关系列方程.
知4－讲
特别提醒
解决行程问题，关键是明确题目中的数量关系，这是列方程的依据.一般来说，题目中有两个等量关系，根据其中一个等量关系设未知数，再用另一个等量关系来列方程.
知4－练
甲站和乙站相距1 700 km，一列慢车从甲站开出， 速度为120 km/h， 一列快车从乙站开出，速度为 150 km/h.
例 5
知4－练
(1)若两车相向而行， 慢车先开40 min， 快车开出几小时后两车相遇？
解题秘方：等量关系：慢车行驶的路程＋ 快车行驶的路程＝1 500 km.
解：设快车开出 x h后两车相遇 .
由题意，得120×(x＋)＋150x＝1 700 . 解得x＝6 .
所以，快车开出6 h后两车相遇.
知4－练
(2)若两车同时开出， 快车在慢车后面同向而行， 多少小时后两车相距1 400 km (此时快车在慢车的后面)？
解题秘方：等量关系：慢车行驶的路程＋1 500 km－ 快车行驶的路程＝1 200 km.根据等量关系列方程求解.
解：设y h后两车相距1 400 km(此时快车在慢车的后面).
由题意，得120y＋1 700－150 y＝1 400 . 解得y＝10.
所以，10h后两车相距1 400km(此时快车在慢车的后面).
知4－练
5－1.[ 期末·滨州滨城区]某校七年级学生远足活动期间，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走4.5 km. 一列火车以每小时120 km的速度迎面开来，测得从火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过12 s，如果队伍长135 m，那么火车长 __________m.
280
知4－练
小明和他的哥哥早晨起来沿长为400 m的环形跑道跑步， 小明跑2 圈用的时间和他的哥哥跑3 圈用的时间相等，两人同时同地同向出发， 结果经过2 min 40 s 他们第一次相遇，若两人同时同地反向出发， 则经过几秒他们第一次相遇？
例 6
知4－练
解题秘方：可将环形中的相遇或追及问题转化为直线形中的相遇或追及问题.
解：设小明的速度为x m/s，则他的哥哥的速度为x m/s.
2 min 40 s＝160 s.
由题意，得160×x－160 x＝400，解得x＝5 .
则小明的哥哥的速度为5×＝7.5(m/s).
设两人同时同地反向出发，经过y s他们第一次相遇.
由题意，得(5＋7. 5)y＝400 . 解得y＝32.
所以两人同时同地反向出发，经过32 s他们第一次相遇.
知4－练
本例也可设他们两人的速度分别为2x m/s和3x m/s.
知4－练
知识储备
环形运动问题中的相等关系(同时同地出发)：(1)同向相遇：第一次相遇快者跑的路程－第一次相遇慢者跑的路程＝跑道一圈的长度；(2)反向相遇：第一次相遇快者跑的路程＋第一次相遇慢者跑的路程＝跑道一圈的长度.
知4－练
6－1. 小明、小亮分别在400 m 的环形跑道上练习跑步，他们的速度比是7∶ 3，两人同时由同一点背向出发，80 s后第一次相遇，小明的速度是每秒______m.
3.5
知4－练
一列火车匀速行驶经过一座桥， 火车完全通过桥共用了50 s， 整列火车完全在桥上的时间为30 s， 已知桥长为1 200 m， 求火车的长度和速度.
例 7
解题秘方：理解“完全通过桥”和“完全在桥上”时火车的运动过程，根据火车行驶的路程及速度列方程 .
解：设火车的长度为 x m.
根据题意，得＝，解得 x＝300.
所以火车的速度为＝ 30 (m/s).
所以，火车的长度为 300 m，速度为30 m/s.
知4－练
知4－练
方法点拨：火车过桥问题的图形表示:
(1)“火车完全通过桥”是指从火车车头上桥到火车车尾离桥，如图5.4－2.
(2)“火车完全在桥上”是指从火车车尾上桥到火车车头离桥，如图5.4－3.
知4－练
7－1. 一列匀速前进的火车，从它开始进入600 m 的隧道到完全通过，共需40 s，在这个过程中又知在隧道顶部的一盏固定的灯发出的一束光线垂直照射火车的时间是8 s，则这列火车的长度是( )
A. 100 m B. 125 m
C. 140 m D. 150 m
D
知4－练
一艘轮船在两个码头间航行，顺流需航行 4 h， 逆流需航行5 h， 如果水流速度为3 km/h， 求两个码头间的距离.
例 8
解题秘方：由水流速度＝(顺水速度－ 逆水速度)或顺水路程＝ 逆水路程列方程求解.
解：(方法一)设两个码头间的距离为s km，则v顺＝km/h，v逆＝km/h.
由题意，得3＝(－)，解得s＝120.
所以，两个码头间的距离为120 km.
知4－练
直接设未知数.
(方法二)设轮船在静水中的速度为x km/h，则v顺＝(x＋3) km/h，v逆＝(x－3)km/h.
由题意, 得4(x＋3)＝5(x－3). 解得x＝27.
所以4(x＋3)＝ 4×(27＋3)＝120 .
所以，两个码头间的距离为120 km.
知4－练
间接设未知数.
知4－练
8-1. 船在静水中的速度是20 km/h，水流速度是4 km/h，从一码头逆流而上，再顺流而下，该船最多开出_______km就应返回才能在5 h 内回到码头．
48
知5－讲
知识点
工程问题
5
1. 基本关系式：
工作量＝ 工作效率×工作时间，工作时间＝，工作效率＝.
知5－讲
2. 找相等关系列方程的方法与行程问题相类似，一般有如下规律：在工作量、工作效率、工作时间这三个量中，如果一个量已知，那么就设另一个量为未知数，从第三个量找等量关系列方程 .
知5－讲
特别提醒
1. 当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，通常把总工作量看成整体“1”.
2. 常见的等量关系为：总工作量= 各部分工作量之和.
知5－练
[期末·北京海淀区] 文物修复师们计划用30 个月完成某件文物的修复工作. 如果让一名文物修复师单独修复该文物， 需要720 个月完成. 假设每名文物修复师的工作效率相同， 先由16 名文物修复师一起修复10 个月， 还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？
例 9
知5－练
解题秘方：本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据工作总量＝ 工作时间× 工作效率, 列出方程求解即可.
解：设还需要增加x名文物修复师才能按时完成修复工作.
依题意，得＋＝1，
解得x＝12．
所以，还需要增加12名文物修复师才能按时完成修复工作.
知5－练
知5－练
9－1. 某地决定修建一条高速公路，其中一段长为146 m 的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工，甲工程队独立工作2 天后，乙工程队加入，两个工程队又联合工作了1 天，这3 天共掘进26 m，已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2 m，按此速度完成这项隧道贯穿工程甲、乙两个工程队还需要联合工作多少天？
知5－练
知6－讲
知识点
销售问题
6
1. 在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常遇到的量有进价、标价、售价、折扣、利润、利润率等.
知6－讲
2. 相关的等量关系
(1)利润＝ 售价－ 进价(成本)＝ 进价(成本)× 利润率；
(2)利润率＝×100％；
(3)售价＝进价(成本)＋利润＝进价(成本)×(1＋利润率)；
(4)商品售价(打折后)＝商品标价×.
知6－讲
知识储备
1. 利润率是相对于进价而言的，是利润占进价的百分比 .
2. 在标价的基础上打折时，打几折，就乘十分之几 .
知6－练
商场将一件进价为100元的玩具提高60 %后标价，销售时按标价打折销售， 结果仍获利20%， 则这件玩具销售时打几折？
例10
解题秘方：根据“利润＝售价－进价”列出方程即可求解.
解：设这件玩具销售时打x 折.
根据题意，得(1＋60%)×100×－100＝100×20% ，
解得x＝7.5.
所以，这件玩具销售时打七五折.
知6－练
知6－练
10－1. 一家服装店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的五折出售将亏损20元，而按标价的八折出售将盈利40 元.
(1)每件服装的标价，成本各是多少元？
知6－练
解：设每件服装的成本是x元，则标价是2(x－20)元．
根据题意得0.8×2(x－20)－x＝40，
解得x＝120，所以2(x－20)＝200.
所以，每件服装的标价是200元，成本是120元．
知6－练
(2)为保证不亏本，最多能打几折？
解：120÷200＝0.6.
所以，为保证不亏本，最多能打六折．
知6－练
[中考·泰州]某校七年级社会实践小组去某商场调查商品销售情况， 了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件， 并以每件120元的价格销售了400件， 商场准备采取促销措施， 将剩下的衬衫降价销售. 请你帮商场计算一下， 每件衬衫降价多少元时， 销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？
例11
知6－练
解题秘方：根据计算销售总额的两种方式列出方程即可 求解.
解：设每件衬衫降价x 元，根据题意，得
120×400＋(500－400)×(120－x)＝500×80×(1＋45%).
解得x＝20.
所以，每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标.
知6－练
11－1. [ 模拟· 西安]2024 年2 月，第十四届全国冬季运动会在内蒙古自治区举办，吉祥物蒙古彩娃“安达”和“赛努”深受人民喜爱．某服装店以每件25 元的价格购进一批印有蒙古彩娃的文化衫，若每件标价降低10 元，则销售16件的利润为80 元，求文化衫每件的标价.
知6－练
解：设文化衫每件的标价为x元，
由题意，得16(x－25－10)＝80，
解得x＝40.
所以，文化衫每件的标价为40元．
知6－练
某商店将两个进价不同的豆浆机都卖了378 元， 其中一个盈利20%， 另一个亏损20%， 那么这家商店卖出这两个豆浆机是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
例12
知6－练
解题秘方：根据利润＝ 售价－ 进价，求出两个商品的进价，再由进价高于售价则亏损，进价低于售价则盈利，进价等于售价则不盈不亏进行判断.
解: 设盈利20%的豆浆机的进价为x 元.
由题意，得(1＋20%)x＝378 ，解得x＝315.
设亏损 20%的豆浆机的进价为y元，
由题意，得(1－20%)y＝378，解得 y＝472.5.
所以这两个豆浆机的进价和是315＋472.5＝787.5(元).
因为这两个豆浆机共卖了378×2＝756(元)，
756－787.5＝－ 31.5(元). 所以，这家商店卖出这两个豆浆机是亏损的，亏损了31.5元.
知6－练
知6－练
12-1.“双11”电商节，某商店把某种商品按进价加20% 作为定价，按定价的1.5 倍标价再打八折出售，最终售出10件，总营业额为720 元，则这次生意的盈亏情况为__________.
盈利220元
知7－讲
知识点
储蓄问题
7
1. 储蓄问题的有关概念
储户存入银行的钱叫本金；银行付给储户的酬金叫利息；本金和利息合称本息和；存入银行的时间叫期数；每个期数内的利息与本金的比叫利率.
知7－讲
2. 相关的关系式
利息＝本金×利率×期数；
本息和＝本金×(1＋利率×期数)＝ 本金＋利息.
知7－讲
易错警示
利率分年利率和月利率两种情况，解决利息问题时要看清是年利率还是月利率，以免出错.
知7－练
小张在某银行里存了三年期的教育储蓄(这种储蓄的年利率为2.7%， 免征利息税)， 三年到期后小张一共取出2 162 元， 则小张存了多少元？
例13
解题秘方：由等量关系：本息和＝本金×(1＋利率× 期数)列出方程求解.
解：设小张存了x元，由题意，得(1＋2.7%×3)x＝2 162，
解得x＝2 000 .
所以，小张存了2 000元.
知7－练
知7－练
13-1. [模拟·聊城]李老师在银行存入了三年期的定期存款30 000 元. 若到期后取出本息共31 755 元，则该银行三年定期储蓄的年利率是_______.(结果用百分数表示)
1.95%
知8－讲
知识点
计费问题
8
1. 常见的计费问题
(1)通信计费(手机、电话、上网)；
(2)水、电费计费；
(3)税费计费.
知8－讲
2. 要解决的问题
(1)利用量(时间、用电量、用水量、收入等)和费用之间的关系求费用或量的大小；
(2)根据计费方式设计最优、最省钱的方案.
知8－讲
知识链接
解决计费问题关键要分析两点：
1. 费用的变化主要与什么量有关.
2. 认清计费方式，特别注意分段收费的方式.
知8－练
近几年我国部分地区不时出现的严重干早， 使我们认识到节水的重要性， 为了加强公民的节水意识， 合理利用水资源， 某市对
自来水收费采用阶梯价格
的调控手段以达到节水的
目的. 该市自来水收费价
格见下表(水费按月结算)：
例14
价目表 每月用水量 单价(元/m3)
0~6(含)m3 2
6~10(含)m3 4
10m3以上 8
知8－练
解题秘方：根据收费方式中揭示的用水量与单价之间的对应关系，先确定单价，然后确定水费.
知8－练
(1)若某户居民2 月份用水10.5 m3，则应缴水费多少元？
解：由题意，得
2×6＋4×(10－6)＋8×(10.5－10)＝32(元).
所以，应缴水费32元.
知8－练
(2)若某户居民3，4月份共用水 16 m3(4月份用水量超过3月份)， 共缴水费44元， 则该户居民3，4月份各用水多少立方米？ (结果精确到 0.1 m3)
知8－练
解：设3 月份用水量为x m3，则4 月份用水量为(16－x)m3.
①当x ≤ 6时，16－x ≥ 10，依题意，得2 x＋2×6＋4×4＋8(16－x－10)＝44. 整理，得6x＝32 ，所以x ≈ 5.3，
此时16－x ≈ 10.7，符合题意.
②当6 < x ≤ 10时，6 ≤ 16－x < 10，
依题意，得2×6＋4×(x－6)＋2×6＋4(16－x－6)＝ 44.
整理，得40＝44，故此方程无解. 所以6知8－练
14-1. 下表是某地电信公司推出的两种话费收费方式:
方式一 方式二
月租费 20元/月 0元/月
本地通话费 0.10元/分 0.20元/分
知8－练
(1)设通话时间为x分钟，则方式一每月收费是__________元，方式二每月收费是_____元；
(2)本地通话_____分钟时，两种方式收费一样；
(3)当通话时间为250分钟时，选择________比较合算；当通话时间为150分钟时，选择________比较合算.
(20＋0.1x)
0.2x
200
方式一
方式二
一元一次方程与实际问题
常见问
题类型
积分、配套、调配
行程、工程
销售、储蓄
解题
步骤(共51张PPT)
5.3 一元一次方程的解法
第5章 一元一次方程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
解一元一次方程——合并同类项
解一元一次方程——移项
解一元一次方程——去括号
解一元一次方程——去分母
解一元一次方程的一般步骤
知识点
解一元一次方程——合并同类项
知1－讲
1
1. 解方程：求方程的解的过程，叫作解方程.
解一个以x 为未知数的方程，就是把方程转化为x＝c (c为常数)的形式.
2. 合并同类项
解方程时，将等号同侧的含有未知数的项和常数项分别合并成一项的过程，叫作合并同类项.
知1－讲
3. 用合并同类项解一元一次方程的步骤
第一步：合并同类项，即将等号同侧的含未知数的项和常数项分别合并，把方程转化为ax＝b(a ≠ 0)的形式.
第二步：系数化为1，即在方程两边同时除以一次项系数a，将一次项系数化为1，得到x＝.
知1－讲
特别解读
解方程中的合并同类项和整式加减中的合并同类项一样，都是系数的合并，目的是运用合并同类项，使方程变得更简单，为利用等式的基本性质2求出方程的解创造条件.
知1－讲
易错警示
系数化为1 时，常出现以下几种错误：
(1)颠倒被除数和除数的位置；
(2)当方程的解为负数时，漏掉负号.
知1－练
例 1
解下列一元一次方程：
(1)x－x＝3－5；(2)－2x－7x＋8x＝－15×2－6×3.
解题秘方：利用合并同类项的法则，将方程左右两边同时合并同类项，然后将未知数的系数化为1 .
知1－练
解：(1)x－x＝3－5，
(1－)x＝－2，
x＝－2，
x＝－4.
合并同类项
系数化为1
知1－练
(2)－2x－7x＋8x＝－15×2－6×3，
(－2－7＋8)x＝－48，
－x＝－48，
x＝48.
合并同类项
系数化为1
知1－练
1－1. 解下列方程：
(1)4x－3x＝1；
(2)－x＋4x＝6－1；
解：合并同类项，得x＝1.
知1－练
(3)－＝－2；
(4)－2x＋0.5x＝1.
知2－讲
知识点
解一元一次方程——移项
2
1. 把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项. 移项要变号.
知2－讲
特别解读
移项与加法交换律的区别:
移项是在等式中,把某些项从等号的一边移到另一边，移动的项要变号;而加法交换律是交换加数的位置，只改变排列的顺序，不改变符号.
知2－讲
2. 移项的依据: 移项的依据是等式的基本性质1，在方程的两边加(或减)同一个适当的整式，使含未知数的项集中在方程的一边，常数项集中在另一边.
知2－讲
3. 移项解一元一次方程的步骤
(1)移项：把含有未知数的项移到等号一边，把常数项移到等号另一边；
(2)合并同类项：把方程变形为ax＝b(a，b 为常数，且a ≠ 0)的形式；
(3)系数化为1：得到方程的解为x＝.
知2－练
解方程：
(1)8－3x＝x＋6；(2)x－1＝3＋x.
例 2
解题秘方：利用移项解一元一次方程的步骤进行解答.
知2－练
解：(1)8－3x＝x＋6，
－3x－x＝6－8.
－4x＝－2.
x＝.
移项
合并同类项
系数化为1
知2－练
(2)x－1＝3＋x，
x－x＝3＋1 .
－x＝4.
x＝－4 .
移项
合并同类项
系数化为1
知2－练
2－1. 解下列方程：
(1)2x－3＝x；
(2)5x－2＝7x＋8；
解：移项，得2x－x＝3.
合并同类项，得x＝3.
移项，得5x－7x＝8＋2. 合并同类项，得－2x＝10.
系数化为1，得x＝－5.
知2－练
(3)3x＋4＝2x＋1－3x；
(4)－2x－＝x＋.
知3－讲
知识点
解一元一次方程——去括号
3
1. 解含有分母的一元一次方程时，方程两边乘各分母的最小公倍数，从而约去分母，这个过程叫作去分母.
2. 去分母解一元一次方程的步骤
(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；
(4)合并同类项；(5)系数化为1 .
知3－讲
3. 解方程中去括号的顺序
先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号，也可以由外向内去括号.
知3－讲
特别解读
1. 去括号的目的是将方程化简，其实质是乘法对加法的分配律.
2. 解方程中的去括号法则与整式运算中的去括号法则相同.
知3－练
解方程： 4y－3(20－y)＝6y－7(11－y).
例 3
解题秘方：按“去括号→ 移项→ 合并同类项→ 将未知数的系数化为1”的步骤解方程.
知3－练
解：4y－3(20－y)＝6y－7(11－y)，
4y－60＋3y＝6y－77＋7y .
4y＋3y－6y－7y＝－77＋60.
－6y＝－17.
y＝.
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
知3－练
3－1. 解下列方程：
(1)3(x＋2)－2(x＋2)＝2x＋4；
解：去括号，得3x＋6－2x－4＝2x＋4.
移项，得3x－2x－2x＝4＋4－6.
合并同类项，得－x＝2.
系数化为1，得x＝－2.
知3－练
(2)4x－2(3x－2)＝2(x－1)；
知3－练
(3)2(3y－1)＝7(y－2)＋3；
解：去括号，得6y－2＝7y－14＋3.
移项，得6y－7y＝－14＋3＋2.
合并同类项，得－y＝－9.
系数化为1，得y＝9.
知3－练
(4)2(x－1)＝3(x＋1)－4.
解：去括号，得2x－2＝3x＋3－4.
移项，得2x－3x＝3－4＋2.
合并同类项，得－x＝1.
系数化为1，得x＝－1.
知4－讲
知识点
解一元一次方程——去分母
4
1. 解含有分母的一元一次方程时，方程两边乘各分母的最小公倍数，从而约去分母，这个过程叫作去分母.
2. 去分母解一元一次方程的步骤
(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1 .
知4－讲
特别解读
1. 去分母的依据是等式的基本性质2.
2. 去分母的目的是将分数系数化为整数系数.
知4－练
解方程：＋4＝－.
例 4
解题秘方：按“去分母→ 去括号→ 移项→ 合并同类项→系数化为1”的步骤解方程.
解：＋4＝－，
2(x＋5)＋24＝3(x＋3)－(5x－2).
2x＋10＋24＝3x＋9－5x＋2 .
2x－3x＋5x＝9＋2－10－24 .
4x＝－23.
x＝－.
知4－练
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
知4－练
4－1. 解方程－＝－1时，去分母后得到的方程是( )
A. 2(2x－1)－1＋x＝－1
B. 2(2x－1)－(1＋x)＝－1
C. 2(2x－1)－1－x＝－4
D. 2(2x－1)－1＋x＝－4
C
知4－练
4－2. 解下列方程:
(1)－1＝；
解：去分母，得3(3y－1)－12＝2(5y－7)．
去括号，得9y－3－12＝10y－14.
移项，得9y－10y＝－14＋3＋12.
合并同类项，得－y＝1.
系数化为1，得y＝－1.
知4－练
(2)－＝－1.
解：去分母，得4(x＋1)－5(x＋1)＝－6.
去括号，得4x＋4－5x－5＝－6.
移项，得4x－5x＝－6－4＋5.
合并同类项，得－x＝－5.
系数化为1，得x＝5.
知5－讲
知识点
解一元一次方程的一般步骤
5
1. 解一元一次方程的一般步骤
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 . 通过这些步骤可以使以x 为未知数的方程逐步向着x＝a(a为常数)的形式转化.
知5－讲
2. 解一元一次方程的具体方法、变形依据、注意事项列表如下：
变形名称 具体方法 变形依据 注意事项
去分母 在方程两边同乘各分母的最小公倍数. 当分母是小数时，要利用分数的基本性质把小数化为整数 等式的基本性质2 (1) 不要漏乘不含分母的项
(2) 分子是一个多项式，去分母后加上括号
知5－讲
续表：
变形名称 具体方法 变形依据 注意事项
去括号 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号 乘法分配律(去括号法则) 不要漏乘括号里面的项，不要弄错符号
移项 把含有未知数的项和常数项分别移至等号的两侧 移项法则(等式的基本性质1) 移项要变号，不移的项不要变号
知5－讲
续表：
变形名称 具体方法 变形依据 注意事项
合并同 类项 把方程化为ax＝b(其中a ≠ 0)的形式 合并同类项法则 (1)系数相加
(2)字母及指数不变
系数化 为1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解为x＝(a ≠ 0) 等式的基本性质2 (1)除以的数不为0
(2)不要把分子、分母颠倒
知5－讲
特别解读
1. 去分母是为了简化运算，若不使用，则合并同类项时需进行分数运算.
2. 去括号时，一般按小、中、大的顺序，但有时也可按大、中、小的顺序.
3. 解一元一次方程的一般步骤不一定每步都用到，也不一定按照从上到下的顺序进行，要根据方程的特点选取适当的步骤进行求解.
知5－练
解下列方程：
(1)(1－2x)＝(3x＋1)；
(2)[3x－(x＋1)]－1＝x .
例 5
解题秘方：按照解一元一次方程的步骤解方程.
先去中括号，利用等式的基本性质2，将中括号前面的系数变成1.
解：(1)去分母，得7(1－2x)＝6(3x＋1).
去括号，得7－14x＝18x＋6 .
移项，得－14x－18x＝6－7 .
合并同类项，得－32x＝－1.
系数化为1，得x ＝.
知5－练
(2)两边都乘2，得3x－(x＋1)－2＝2x .
两边都乘5，得15x－(x＋1)－10＝10x.
去括号，得15x－x－1－10＝10x .
移项，得15x－x－10x＝10＋1 .
合并同类项，得4x＝11.
系数化为1，得x＝.
知5－练
知5－练
5－1. 解下列方程：
(1)(1－)＝－x＋1；
知5－练
(2)＋1＝；
知5－练
(3)－(3x＋4)＝－；
知5－练
(4)3x＋＝3－；
知5－练
(5)x＋＝－x；
解：去分母，得4x＋5(x－1)＝15(2x－1)－16x.
去括号，得4x＋5x－5＝30x－15－16x.
移项，得4x＋5x－30x＋16x＝－15＋5.
合并同类项，得－5x＝－10.
系数化为1，得x＝2.
知5－练
(6)－ ＝1.
一元一次方程的解法
一元一次方
程的解法
合并同类项与系数化为1
移项
去括号
去分母
解方程(共13张PPT)
5.2 等式的基本性质
第5章 一元一次方程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
等式的基本性质
知识点
等式的基本性质
知1－讲
1
1. 等式的基本性质
等式的基本性质 文字表示 用字母表示
基本性质1 等式两边都加上(或减去)同一个代数式，结果仍是等式 如果a＝b，那么a±c＝b±c
基本性质2 等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍是等式 如果a＝b，那么ac＝bc；如果a＝b，c ≠ 0，那么＝
知1－讲
2. 等式的其他性质
(1)对称性：若a＝b ，则b＝a ；
(2)传递性：若a＝b ，b＝c ，则a＝c .
知1－讲
特别解读
1. 利用等式的基本性质变形时的两个“同”：一是等式两边要进行同一种运算；二是一定是同一个数或式子.
2. 利用等式的基本性质进行变形时，除以的同一个数(或式子) 不能为零.
知1－练
例 1
利用等式的基本性质变形，使等式成立，并说明理由.
(1)如果3x＋7＝8， 那么3x＝8－______；
(2)如果－2x＝10， 那么x＝______．
解题秘方：利用等式的基本性质进行解答.
7
－5
知1－练
解：(1)根据等式的基本性质1，等式两边都减去7，得
3x＋7－7＝8－7，即3x＝8－7.
(2)根据等式的基本性质2，等式两边都除以－2，
得－2x÷(－2)＝10÷(－2)，即x＝－ 5 .
知1－练
1－1. 阅读下列解题过程，指出它错在了哪一步，为什么？
2(x－1)－1＝3(x－1)－1
两边同时加上1，得2(x－1)＝3(x－1). ①
两边同时除以x－1，得2＝3. ②
解：错在了步骤②.
理由：x－1可能为0，等式两边不能同时除以x－1.
知1－练
根据等式的基本性质求未知数的值.
(1)3x－2＝7； (2)x＋3＝x－1.
例 2
解题秘方：根据方程的特点，运用等式的基本性质，将方程变形为x＝a(a 为常数)的形式.
知1－练
解：(1)3x－2＝7，
两边同时加2，得3x－2＋2＝7＋2 ，
即3x＝9 ，
两边同时除以3，得x＝3 .
等式的基本性质1
等式的基本性质2
知1－练
(2)x＋3＝x－1，
两边同时减3，得x＋3－3＝x－1－3，
即x＝x－4 ，
两边同时减x，得x－x＝x－4－x，
即－x＝－ 4 ，
两边同时除以－，得x＝2 4 .
等式的基本性质1
等式的基本性质1
等式的基本性质2
知1－练
2－1. 下列方程的变形中，正确的是( )
A. 由2x－3＝7得2x＝7－3
B. 由2x－3＝x－1得2x－x＝－1－3
C. 由－3x＝5得x＝5＋3
D. 由－x＝1得x＝－4
D
等式的基本性质
等式的基
本性质
基本性质1
基本性质2
应用

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