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重庆八中2024-2025学年度（上）半期考试高二年级
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，有且仅有一项符合题目要求.
1. 若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角是（）
A. B. C. D.
2. 若，则（）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
3. 已知圆经过点和点，且圆心在直线上，则圆的半径为（）
A. B. C. D.
4. 已知一个正四棱台的上、下底面边长分别是4和6，高是，则它的侧面积为（）
A. 10 B. C. 40 D. 44
5. 已知点是的重心，若，则（）
A. B. C. D.
6. 已知直线为空间中一条直线，平面，，为两两相互垂直的三个平面，则（）
A. 若，则与和相交 B. 若，则或
C若，则，且 D. 若，则
7. 已知海面上有一监测站，其监测范围为以为圆心，半径为的圆形区域，在A正东方向处有一货船，该船正以的速度向北偏西方向行驶，则货船行驶在监测站监测范围内的总时长为（）
A B. C. D.
8. 椭圆的右顶点为A，上顶点为，，点为椭圆上一点且，则的值为（）
A. B. C. D. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知圆，圆，则（）
A. 直线的方程为
B. 圆经过，两点，则圆的面积的最小值为
C. 与圆和圆都相切的直线共有四条
D. 若，分别为圆，圆上两动点，则的最大值为10
10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（）
A. 的周长为
B. 存在点，使得
C. 若，则的面积为
D. 使得为等腰三角形的点共有4个
11. 在矩形中，，点是边的中点，将沿翻折，直至点落在边上.当翻折到的位置时，连结，，则（）
A. 四棱锥体积的最大值为
B. 存在某一翻折位置，使得
C. 为的中点，当时，二面角的余弦值为
D. 为的中点，则的长为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线与圆相切，则实数值为______________.
13. 已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为______________.
14. 已知正四面体的棱长为，在棱上，且，则此正四面体的外接球球心到平面的距离为______________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线的方程为：.
（1）求证：不论为何值，直线必过定点；
（2）过（1）中点引直线交坐标轴正半轴于，两点，求面积的最小值.
16. 在锐角中，角所对边分别为，，，且.
（1）求证：；
（2）若的角平分线交于，且，求线段的长度的取值范围.
17. 在平面直角坐标系中，已知圆，不与轴垂直的直线过点且与圆相交于，两点.
（1）已知，求直线的方程；
（2）已知点且的面积为，求直线的方程.
18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，点在棱上，且平面.
（1）求证：为中点；
（2）求平面与平面夹角的正弦值；
（3）若点为棱上一动点（含端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆与轴和轴的交点分别为，，，（在左侧，在下侧），直线（且）与直线交于点，过点且平行于的直线交于点（异于点），交轴于点，直线交于点（异于点），直线交轴于点.
（1）当时，求出，两点的坐标；
（2）直线与直线是否相互平行？若是，请写出证明过程；若不是，请说明理由.1
重庆八中2024-2025学年度（上）半期考试高二年级
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，有且仅有一项符合题目要求.
1.
【答案】A
2.
【答案】C
3.
【答案】B
4.
【答案】C
5.
【答案】D
6.
【答案】D
7.
【答案】C
8.
【答案】A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】ABD
10.
【答案】AB
11.
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】2
13.【答案】
14.
【答案】##
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）把直线方程写成，由可得定点坐标.
（2）设过点直线方程的点斜式，求出与坐标轴交点坐标，利用基本（均值）不等式求三角形面积的最小值.
【小问1详解】
由，可得，
令，所以直线过定点.
【小问2详解】
由（1）知，直线恒过定点，由题意可设直线的方程为，
设直线与轴，轴正半轴交点为，，令，得；令，得，
所以面积，
当且仅当，即时，面积最小值为4.
16.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换可求得，再由角的范围可得；
（2）由正弦定理可得，再由锐角三角形限定出角范围，根据三角函数值可得的长度的取值范围.
【小问1详解】
证明：由，根据正弦定理可得，
即，所以；
可得，
所以，
即，显然，
故，，
所以.
【小问2详解】
在中，由正弦定理可得，可得，
即，所以，
因为是锐角三角形，且，所以
解得，可得，所以，
所以线段长度的取值范围是.
17.
【解析】
【分析】（1）分斜率是否存在讨论，当斜率存在时，利用半弦长、弦心距、半径关系列方程求斜率即可得解；
（2）分斜率是否存在讨论，当斜率存在时，利用弦长及弦心距表示出面积，解方程即可得解.
【小问1详解】
①直线的斜率不存在时，，不满足题意.
②直线的斜率存在时，设直线的方程为：，
则圆心到直线的距离，
由，可得，解得，
故直线.
【小问2详解】
①直线的斜率不存在时，，不满足题意.
②直线的斜率存在时，设直线的方程为：，
则，
到直线的距离，
故，
由可得，化简得，
即，解得，
故直线.
18.
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的性质定理，得到线线平行，再根据中位线性质定理证明为中点.
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的三角函数值.
（3）在（2）的基础上，利用空间向量求线面角的正弦值的取值范围.
【小问1详解】
连结交于点，连结，
因为底面是矩形，所以为中点，
因为平面，平面，
平面平面，所以，
又因为为中点，所以为中点.
【小问2详解】
取的中点，连结，，因为底面为矩形，所以，
因为，为中点，所以，，
所以，又因为平面平面，平面平面，
平面，，所以平面，所以，
所以，，两两垂直，
如图，建立空间直角坐标系，则由题意可得：
，，，，，，
则，，，
由上可知为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
，令，则，，所以，
所以，，
所以平面与平面夹角的正弦值为.
【小问3详解】
由（2），，因为点在棱上（含端点）
所以设，
则，
设与平面所成角为，则
，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.
19.
【解析】
【分析】（1）根据题意求相应点和直线方程，进而联立方程求交点坐标即可；
（2）根据题意结合斜率关系先证证明，再证明，，三点共线即可.
【小问1详解】
由椭圆方程可知：，
则，，，，
直线，即，
联立方程，解得，即，
直线，故，直线，故.
由，化简得，解得或（舍去），即，
可得，故直线，
联立方程，化简得，解得或（舍去），即，
所以
【小问2详解】
直线与直线相互平行，证明如下：
证明，再证明，，三点共线即可.
①证明由，解得，
直线的方程为，则，
故直线，可得，即，故；
②证明，，三点共线：
设，由，得，
解得，故，即；
直线的方程为，设交于，
由，得，
解得，故，即，
则，
，
所以，即，，三点共线，
又有直线交于点，故与重合，即，，三点共线.
由①②可知：.
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