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2024-2025学年安徽省马鞍山市第二中学高一上学期期中素质测试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.子曰：“工欲善其事，必先利其器”这句名言最早出自于论语卫灵公此名言中的“利其器”是“善其事”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
5.已知幂函数的图象过点，下列说法中正确的是( )
A. 是奇函数 B. 的定义域是
C. 的值域是 D. 在定义域上单调递减
6.已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若关于的不等式的解集为，则一元二次不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
10.设非负实数，满足，则( )
A. 的最小值为 B. 的最大值是
C. 的最小值为 D. 最小值为
11.已知符号函数，下列说法中正确的是( )
A. 是奇函数
B. 对任意的实数，
C. 函数的值域为
D. 直线和函数的图象至多有个公共点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ．
13.若关于的不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 ．
14.已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，集合．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数满足：．
求的解析式；
判断函数在区间上的单调性，并证明．
17.本小题分
某手作特产店拟举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量万份与年促销投入费用万元满足为常数，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是万件已知店内生产该产品的固定投入设备等为万元，每生产一万件该产品需要再投入万元，店家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍每件产品年平均成本按元来计算，按需生产，生产出的产品恰好被全部售出．
将该产品的年利润万元表示为年促销费用万元的函数；
该店家的促销投入费用为多少万元时，利润最大？最大利润是多少？
18.本小题分
已知函数．
求不等式的解集；
设，若时，对任意，都存在唯一的，使得，求实数的取值范围．
19.本小题分
设，函数的定义域为若对满足的任意，，均有，则称函数具有“性质”．
判断以下函数是否具有性质，并说明理由：
；；
是否存在实数，使得函数具有性质？给出结论并说明理由；
证明：“函数不存在单调递减区间”是“对任意，函数均具有性质”的 充要条件．
参考答案
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15.解：
，即且，
解得，所以，
当时，，
所以．
由题意得，
当时，符合题意，此时，解得；
当时，应满足，解得；
故的取值范围是．

16.解：
令，则，且，
所以；
即；
在上单调递减．
证明：，，
对任意的，，
因为，故，，，
所以，即，
故在上单调递减．

17.解：
由已知得，当时，，则，得，故
故每件产品的销售价格为，
故利润．
因为当时，，
所以，
当且仅当，即时等号成立．
即促销投入费用为万元时，店家获得最大利润万元．

18.解：
由，
则时，解得或，解集为；
时，由解得，解集为；
时，解得或，解集为
综上，时，解集为，时，解集为，
时，解集为．
由题意：，在上的值域，
设在上的值域，则，
对称轴为，
若，即，则在上单调递增，
所以，
所以，解得；
若，即，则在上单调递减，
所以，
所以，解得；
若，即，则在上单调递减，在上单调递增，
因为，，
所以在上的 最大值，
所以当，即时，不存在，使得，
故此情形不成立．
综上，的取值范围是．

19.解：
具有性质
理由：当时，恒成立，故具有性质
不具有性质．
理由：取，，则，但，故不具有性质．
不存在实数．
理由：若，取，，则，但，
所以时，不具有性质
若，，，则，但，
所以时，不具有性质．
综述：不具有性质．
证明：充分性
如果函数不存在单调递减区间，则对任意的，，
即，
因此，对任意，若，则，
故对任意，函数具有性质，充分性得证；
必要性
假设函数存在单调递减区间，则存在，满足，
即，
由于，所以故存在实数，使得，
即存在，使得，但，
与“对任意，函数均具有性质”矛盾，因此假设不成立，必要性得证．

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