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浙江强基联盟2024年11月高二联考
数学 试题
浙江强基联盟研究院 命制
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效.
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.若集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.如果椭圆的方程是，那么它的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3.已知点，若，则（ ）
A.1 B. C.1或 D.或5
4.已知圆和圆，则与的位置关系是（ ）
A.外切 B.内切 C.相交 D.外离
5.在正方体中，以下说法正确的是（ ）
A.若为的中点，则平面
B.若为的中点，则平面
C.若为的中点，则
D.若为的中点，则
6.已知，则函数的最小值是（ ）
A. B. C.3 D.2
7.在平行六面体中，若直线与的交点为.设，则下列向量中与共线的向量是（ ）
A. B.
C. D.
8.如果函数那么（ ）
A.2020 B.2021 C.2023 D.2025
二 多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数，以下说法正确的是（ ）
A.的实部是3
B.
C.
D.在复平面内对应的点在第一象限
10.抛掷一颗质地均匀的骰子，记随机事件“点数为”，其中，则以下说法正确的是（ ）
A.若随机事件“点数不大于3”，则与互斥
B.若随机事件“点数为偶数”，则
C.若随机事件“点数不大于2”，则与对立
D.若随机事件“点数为奇数”，则与相互独立
11.棱长为1的正四面体的内切球球心为，点是该内切球球面上的动点，则以下说法正确的是（ ）
A.记直线与直线的夹角是，则
B.记直线与平面的夹角是，则
C.记的最小值为，则
D.记在上的投影向量为，则
三 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.点到直线的距离是__________.
13.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积是__________.
14.设是坐标原点，是椭圆的左焦点，椭圆上的点关于的对称点是，若，则该椭圆的离心率是__________.
四 解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
15.（13分）
已知圆，点，且直线经过点.
（1）若与相切，求的方程；
（2）若的倾斜角为，求被圆截得的弦长.
16.（15分）
在中，内角的对边分别是，记的面积为，已知.
（1）若，求外接圆的半径；
（2）求的值.
17.（15分）
如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形为等腰梯形，且有分别是的中点，动点在上.
（1）证明：平面平面；
（2）当时，求平面与平面所成角的余弦值.
18.（17分）
在平面直角坐标系中，已知是坐标原点，点，直线相交于点，且它们的斜率之积是.记点的轨迹是曲线，点是曲线上的一点.
（1）求曲线的方程；
（2）若，直线过点与曲线的另一个交点为，求面积的最大值；
（3）过点作直线交曲线于两点，且，证明：为定值.
19.（17分）
在平面直角坐标系中，我们可以采用公式（其中为常数），将点变换成点，我们称该变换为线性变换，上式为坐标变换公式.常见的线性变换有平移变换和旋转变换.
（1）将点向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到点，求该变换的坐标变换公式，并求将椭圆向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新椭圆的方程；
（2）将点绕原点逆时针旋转后，得到点，求上述变换的坐标变换公式，并求将椭圆绕原点逆时针旋转后，所得新椭圆的方程；
（3）若点满足，证明：点的轨迹是椭圆.
浙江强基联盟2024年11月高二联考
数学卷参考答案与评分标准
1.D ，故选D.
2.C 由，则它的焦点坐标是，故选C.
3.C 由两点间的距离公式可得，解得或，选C.
4.A 由，可得与的圆心距是5，又，所以与外切，故选A.
5.A 如图所示，，则有平面，故选A.
6.B 令，则在单调递增，所以的最小值是，故选B.
7.C 由空间向量的线性运算可得.选项D中，，与共线，故选D.
8.B 记，根据定义可得，考虑，，所以（2022）=，所以周期为5，取值分别是，故选B.
9.ABC ，则的实部是3，故A正确；，B正确；正确，在复平面内对应的点的坐标是，在第四象限，故D错误.故选ABC.
10.BD “点数为”，“点数为1”，则，则与不互斥，A错误；“点数为，”点数为2“，则，B正确；”点数为“点数为3”，“点数为”，不是全集，故C错误；“点数为”，“点数为3，4”，则.，故D正确.故选BD.
11.ACD 如图，设内切球的半径为，易得正确；直线与平面的夹角是，则，B错误；令，则是平面内一动点，，即球面上的点到平面上点之间的距离，最小值表示球面上的点到平面的距离，，即，C正确；点在线段上的投影为线段的中心，点在线段上的投影点位于点的左侧或右侧，且的最大值等于，则，D选项正确.故选ACD.
12. 由点到直线的距离公式.
13. ，则圆锥的母线长是，由，得圆锥底面半径，则，由圆锥的体积公式可得.
14. 由，
可得.
【法一】则由椭圆的定义不妨设，
由余弦定理和中线长公式得
即
得，则，
【法二】设，
即
化简得，
即，得.
15.解：（1）因为点在圆上，
则直线的斜率为，
则直线的斜率是，
可得直线的方程是，即.
（2）由于直线的倾斜角是，则直线的斜率是，
可得，
则圆心到直线的距离是，
则直线被圆截得的弦长是.
16.解：（1）由，得，由，可得，
的外接圆半径是.
（2）
.
17.解：（1）因为四边形等腰梯形，分别为的中点，所以，
又因为，所以，
又因为，所以平面，
而平面，所以平面平面.
（2）当时.
假设，所以，
得到，所以.
如图建立空间直角坐标系，得，
.
设平面的一个法向量，
.
则
取得.
设平面的一个法向量
取得.
设平面与平面所成角为，
则，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
18.解：（1）设点，所以直线的斜率为，
同理直线的斜率为，由已知可得，
化简得点的轨迹的方程是.
（2）计算得，则直线，
当直线且与相切，切点为，此时的面积取最大值，
设直线，联立方程组得，
，解得，
直线与之间的距离，
所以.
（2）由题知直线的斜率存在且不为0，设直线，设，联立方程组
得，则
所以，
因为，则直线，联立方程组得，
所以，得，
所以，为定值.
19.解：（1）由平移可得，所以此即为坐标变换公式.
设上任一点，向左平移1个单位，向上平移2个单位.
得到的新的椭圆上一点，则
所以
所以.
所以新椭圆的方程为.
（2）设将轴逆时针转到的角为点，点绕原点逆时针旋转得到点
由三角函数可得
当时，此即为坐标变换式.
设将上任一点，绕原点逆时针旋转后，得到的新的椭圆上一点.
则得
所以，即.
所以新的椭圆方程为.
（3）利用待定系数法或者猜测均可，得到.
先把点绕原点逆时针旋转，得到点，此时
所以
化简得.
利用配方法或者猜测均可，得到左右平移的单位.
把点向右平移，向上平移，得到点，则
所以.
化简得，是焦点在轴上的椭圆.
所以点的轨迹是椭圆.

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