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2025二轮复习专项精练8
恒成立问题与能成立问题
【真题精练】
一、解答题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
2．（2023·全国·高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
3．（2023·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
4．（2024·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
5．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数
(1)若，且，求的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当，求的取值范围．
6．（2023·天津·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)求证：当时，；
(3)证明：．
7．（2024·天津·高考真题）设函数．
(1)求图象上点处的切线方程；
(2)若在时恒成立，求的值；
(3)若，证明．
8．（2021·天津·高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
【模拟精练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·广东深圳·二模）已知，，且，则下列关系式恒成立的为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）若对于任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知函数在上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·湖北武汉·二模）已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2024·辽宁抚顺·三模）已知定义在上的奇函数连续，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A．在上为减函数 B．当时，
C． D．在上有且只有1个零点
8．（2024·河南信阳·一模）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的值可以是（ ）
A． B． C． D．2
9．（2023·山东泰安·二模）已知函数，.（ ）
A．若曲线在点处的切线方程为，且过点，则，
B．当且时，函数在上单调递增
C．当时，若函数有三个零点，则
D．当时，若存在唯一的整数，使得，则
三、填空题
10．（2024·山东菏泽·一模）关于的不等式恒成立，则的最小值为 ．
11．（2023·浙江杭州·二模）已知函数在点处的切线方程为l：，若对任意，都有成立，则 ．
12．（2023·全国·模拟预测）若正实数a，b满足，则的最小值为 .
四、解答题
13．（2023·山东泰安·一模）已知函数，.
(1)若，讨论的单调性；
(2)若当时，恒成立，求的取值范围.
14．（2023·浙江杭州·二模）已知函数．
(1)讨论函数零点个数；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
15．（2024·云南昆明·一模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，，求a的取值范围．2025二轮复习专项精练8
恒成立问题与能成立问题
【真题精练】
一、解答题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
2．（2023·全国·高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
3．（2023·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
4．（2024·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
5．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数
(1)若，且，求的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当，求的取值范围．
6．（2023·天津·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)求证：当时，；
(3)证明：．
7．（2024·天津·高考真题）设函数．
(1)求图象上点处的切线方程；
(2)若在时恒成立，求的值；
(3)若，证明．
8．（2021·天津·高考真题）已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
参考答案：
1．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.
方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.
【详解】（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
2．(1)答案见解析.
(2)
【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可;
（2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可.
【详解】（1）
令,则
则
当
当,即.
当,即.
所以在上单调递增,在上单调递减
（2）设
设
所以.
若,
即在上单调递减,所以.
所以当,符合题意.
若
当,所以.
.
所以,使得,即,使得.
当,即当单调递增.
所以当,不合题意.
综上,的取值范围为.
【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当.
3．(1)在上单调递减
(2)
【分析】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；
（2）法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解；
法二：先化简并判断得恒成立，再分类讨论，与三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得时不满足题意，从而得解.
【详解】（1）因为，所以，
则
，
令，由于，所以，
所以，
因为，，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递减.
（2）法一：
构建，
则，
若，且，
则，解得，
当时，因为，
又，所以，，则，
所以，满足题意；
当时，由于，显然，
所以，满足题意；
综上所述：若，等价于，
所以的取值范围为.
法二：
因为，
因为，所以，，
故在上恒成立，
所以当时，，满足题意；
当时，由于，显然，
所以，满足题意；
当时，因为，
令，则，
注意到，
若，，则在上单调递增，
注意到，所以，即，不满足题意；
若，，则，
所以在上最靠近处必存在零点，使得，
此时在上有，所以在上单调递增，
则在上有，即，不满足题意；
综上：.
【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论这种情况的关键是，注意到，从而分类讨论在上的正负情况，得到总存在靠近处的一个区间，使得，从而推得存在，由此得解.
4．(1)极小值为，无极大值.
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.
（2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
故，
因为在上为增函数，
故在上为增函数，而，
故当时，，当时，，
故在处取极小值且极小值为，无极大值.
（2），
设，
则，
当时，，故在上为增函数，
故，即，
所以在上为增函数，故.
当时，当时，，
故在上为减函数，故在上，
即在上即为减函数，
故在上，不合题意，舍.
当，此时在上恒成立，
同理可得在上恒成立，不合题意，舍；
综上，.
【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.
5．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求出后根据可求的最小值；
（2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性；
（3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得.
【详解】（1）时，，其中，
则，
因为，当且仅当时等号成立，
故，而成立，故即，
所以的最小值为.，
（2）的定义域为，
设为图象上任意一点，
关于的对称点为，
因为在图象上，故，
而，
，
所以也在图象上，
由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.
（3）因为当且仅当，故为的一个解，
所以即，
先考虑时，恒成立.
此时即为在上恒成立，
设，则在上恒成立，
设，
则，
当，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当时，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当，则当时，
故在上为减函数，故，不合题意，舍；
综上，在上恒成立时.
而当时，
而时，由上述过程可得在递增，故的解为，
即的解为.
综上，.
【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.
6．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率；
（2）问题化为时，构造，利用导数研究单调性，即可证结论；
（3）构造，，作差法研究函数单调性可得，再构造且，应用导数研究其单调性得到恒成立，对作放缩处理，结合累加得到，即可证结论.
【详解】（1），则，
所以，故处的切线斜率为；
（2）要证时，即证，
令且，则，
所以在上递增，则，即.
所以时.
（3）设，，
则，
由（2）知：，则，
所以，故在上递减，故；
下证，
令且，则，
当时，递增，当时，递减，
所以，故在上恒成立，
则，
所以，，…，，
累加得：，而，
因为，所以，
则，
所以，故；
综上，，即.
【点睛】关键点点睛：第三问，作差法研究单调性证右侧不等关系，再构造且，导数研究其函数符号得恒成立，结合放缩、累加得到为关键.
7．(1)
(2)2
(3)证明过程见解析
【分析】（1）直接使用导数的几何意义；
（2）先由题设条件得到，再证明时条件满足；
（3）先确定的单调性，再对分类讨论.
【详解】（1）由于，故.
所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为.
（2）设，则，从而当时，当时.
所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当.
设，则
.
当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有.
一方面，若对任意，都有，则对有
，
取，得，故.
再取，得，所以.
另一方面，若，则对任意都有，满足条件.
综合以上两个方面，知的值是2.
（3）先证明一个结论：对，有.
证明：前面已经证明不等式，故，
且，
所以，即.
由，可知当时，当时.
所以在上递减，在上递增.
不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.
情况一：当时，有，结论成立；
情况二：当时，有.
对任意的，设，则.
由于单调递增，且有
，
且当，时，由可知
.
所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时.
故在上递减，在上递增.
①当时，有；
②当时，由于，故我们可以取.
从而当时，由，可得
.
再根据在上递减，即知对都有；
综合①②可知对任意，都有，即.
根据和的任意性，取，，就得到.
所以.
情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，.
而根据的单调性，知或.
故一定有成立.
综上，结论成立.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合的单调性进行分类讨论.
8．（I）；（II）证明见解析；（III）
【分析】（I）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；
（II）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解；
（III）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值.
【详解】（I），则，
又，则切线方程为；
（II）令，则，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当时，，，当时，，画出大致图像如下：
所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，
当时，，则，单调递增，
当时，，则，单调递减，
为的极大值点，故存在唯一的极值点；
（III）由（II）知，此时，
所以，
令，
若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，
，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，故，
所以实数b的取值范围.
【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明与仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在，使得，即.
【模拟精练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·广东深圳·二模）已知，，且，则下列关系式恒成立的为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）若对于任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知函数在上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·湖北武汉·二模）已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2024·辽宁抚顺·三模）已知定义在上的奇函数连续，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A．在上为减函数 B．当时，
C． D．在上有且只有1个零点
8．（2024·河南信阳·一模）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的值可以是（ ）
A． B． C． D．2
9．（2023·山东泰安·二模）已知函数，.（ ）
A．若曲线在点处的切线方程为，且过点，则，
B．当且时，函数在上单调递增
C．当时，若函数有三个零点，则
D．当时，若存在唯一的整数，使得，则
三、填空题
10．（2024·山东菏泽·一模）关于的不等式恒成立，则的最小值为 ．
11．（2023·浙江杭州·二模）已知函数在点处的切线方程为l：，若对任意，都有成立，则 ．
12．（2023·全国·模拟预测）若正实数a，b满足，则的最小值为 .
四、解答题
13．（2023·山东泰安·一模）已知函数，.
(1)若，讨论的单调性；
(2)若当时，恒成立，求的取值范围.
14．（2023·浙江杭州·二模）已知函数．
(1)讨论函数零点个数；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
15．（2024·云南昆明·一模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，，求a的取值范围．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D A C C C A BCD AB BCD
1．D
【分析】根据指对混合型不等式，利用指对运算将不等式转化成，根据结构相同设函数，利用函数的单调性及取值情况，将问题转化为，令，求导确定最值即可得实数的取值范围.
【详解】依题意得，，故，
令，则，令可得，
所以时，，则在上单调递减，时，，则在上单调递增；
且当时，，当时，；
则由，得，则
令，则，
故当时，，单调递减，当时，单调递增，
故，则，则实数的取值范围为.
故选：D．
2．A
【分析】构造，，求导研究其单调性，分类讨论得到正确选项.
【详解】构造，，
则，
当时，，，
所以在单调递增，
因为，
当，时，则,所以所以
单调递减，所以;
当，时,所以所以,
单调递增，所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛，构造函数，本题中构造进行求解，利用函数单调性比较函数值的大小，.
3．C
【分析】对不等式分离参数得到，令，构造函数，，则，通过导数研究单调性求出最大值即可.
【详解】由不等式恒成立，且，
分离参数得，所以，即，
设，得，，设，，则.
，由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以.
所以.
故选：C.
4．C
【分析】根据区间单调性得对任意恒成立，即，利用导数研究右侧单调性，进而求参数a的范围.
【详解】因为函数在上是单调递增函数，
所以对任意恒成立，所以，
令，则，
所以在内为减函数，
所以，则．
故选：C
5．C
【分析】依题意，在区间上恒成立，分离参数可得实数a的最大值.
【详解】由题意，
因为函数在区间上单调递减，
所以在区间上恒成立，即，
令，则，
又，所以，所以在为减函数，
所以，
所以，即实数a的最大值是.
故选：C
6．A
【分析】令，由题意可知：对任意恒成立，且，可得，解得，并代入检验即可.
【详解】令，则，
由题意可知：对任意恒成立，且，
可得，解得，
若，令，
则，
则在上递增，可得，
即对任意恒成立，
则在上递增，可得，
综上所述：符合题意，即实数的取值范围为.
故选：A.
7．BCD
【分析】根据题意，令，利用导数求得在上单调递增，结合，得到，可判定C正确；再由时，，可判定B正确；根据是定义在上的奇函数，结合单调性和零点的定义，可判定D正确．根据的单调性无法判断，可判定A错误．
【详解】由，可得．
令，
则当时，，所以在上单调递增，
所以，即，
可得，所以，所以C正确；
因为，所以当时，，
又因为，所以当时，，所以B正确；
由是定义在上的奇函数，故当时，，
又因为，所以在上有且只有1个零点，所以D正确．
因为的单调性无法判断，所以A错误．
故选：BCD.
8．AB
【分析】根据题意分和两种情况讨论， 当时，有，通过求导，判断函数的单调性，确定函数的最值得出结论验证；当时，令，求导判断出函数存在零点设为，即可判断，最后综合得出的取值范围.
【详解】依题意，在上恒成立，当时，，
令，则，，
故当时，，当时，，
故，故，则不等式成立；
当时，令，因为，
，故在内必有零点，设为，则，
则，故，不合题意，舍去；
综上所述，.
故选：AB.
【点睛】恒成立问题求参数注意分类讨论；
适当的构造函数通过函数的最值分析参数的取值.
9．BCD
【分析】A选项，由导数几何意义结合题意可知，即可判断选项正误；B选项，利用导数知识结合可得的单调区间，即可判断选项正误；C选项，有三个零点等价于直线与函数图象有3个交点，利用函数研究单调性，极值情况，即可判断选项正误；D选项，由题可得，存在唯一整数，使 图象在直线下方.，利用导数研究单调性，极值情况，可得其大致图象，后利用切线知识结合图象可确定及相关不等式，即可判断选项正误.
【详解】A选项，，由题，，则，，故A错误；
B选项，当时，，.因，则.
或在上单调递增，则在上单调递增，故B正确；
C选项，当时，令，
注意到当时，，则，则函数有三个零点，相当于直线与函数图象有三个交点.
令，其中.
.
令或在上单调递增；
或或或
在，
上单调递减，又，
则可得大致图象如下，则由图可得，当，
直线与函数图象有三个交点，即此时函数有三个零点，故C正确；
D选项，由题可得，，
即存在唯一整数，使 图象在直线下方.
则，，
得在上单调递减，在上单调递增，
又，过定点，
可在同一坐标系下做出与图象.又设过点切线方程的切点为，
则切线方程为：，因其过，
则或，又注意到
结合两函数图象，可知或2.
当时，如图1，需满足；
当时，如图2，需满足；
综上：，故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：对于选填题，为便于快速找到答案，常使用数形结合思想，用直观的图象解决函数零点与函数不等式成立问题，而做出图象的关键就是利用导数知识研究函数的单调性，极值.
10．
【分析】由，得，利用导数证明，则问题转化为恒成立，即可得解.
【详解】令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
由，得，
而，
令，
则，所以，
若，
如图作出函数的图象，

由函数图象可知，方程有唯一实数根，
即，
由，得，
即，
当时，，即，
又，，所以，
所以不成立，
即当时，不恒成立，
综上所述，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
11．/
【分析】根据条件表示出，再令，求导分类研究函数单调性，进而求出结果.
【详解】因为，
所以，，
所以，
令，
则，
则，
，
令，则，
令，得，
所以时，，单调递减，
时，，单调递增，
当，时，，
则，单调递增，
，即，
所以当，时，成立，
当，时，，
则，单调递增，
，即，
所以当，时，成立，
综上所述.
故答案为：.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
12．
【分析】由不等式变形为，通过换元，根据不等式恒成立得出a与b的关系，从而把表示为关于a的表达式，再通过构造函数求最值即可．
【详解】因为，所以，
所以，即
令，则有()，
设，则，由得
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，即，又因为，
所以，当且仅当时等号成立
所以，从而，所以()
设()，则，由得
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以的最小值为．
故答案为：．
13．(1)函数的单调递增区间为，无递减区间
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间；
（2）设，可知对任意的恒成立，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证对任意的能否恒成立，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：的定义域为，当时，，
，
设，则，
令，解得，
当时，，单调递减，
当，，单调递增.
所以，，则对任意的恒成立，
所以，函数的单调递增区间为，无递减区间.
（2）解：当时，恒成立等价于在上恒成立，
设，
则，
设，
则图象为开口向上，对称轴为的抛物线的一部分，
当时，，在单调递增，且，
所以，，即，则函数在上单调递增，
又因为，所以在恒成立，满足题意；
当时，，，
所以方程有两相异实根，设为、，且，则，
当时，，，在上单调递减，
又因为，故当时，，
所以，在上不恒成立，不满足题意.
综上，的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，注意到，由此将问题转化为考查函数在上的单调性来处理，只需对实数的取值进行分类讨论，结合单调性来求解.
14．(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）将零点问题转化为函数图象交点问题，设，求出函数的导数，判断单调性，作出其大致图象，数形结合，即可求得答案.
（2）分三种情况分类讨论，利用导数判断函数的单调性，结合不等式恒成立考虑函数最值情况或利用单调性求解不等式，从而求得参数范围.
【详解】（1）由，得,
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增；在上单调递减，
所以，
据此可画出大致图象如图，
所以（i）当或时，无零点：
（ii）当或时，有一个零点；
（iii)当时，有两个零点；
（2）①当时，即恒成立，符合题意；
②当时，由可得，则，
则，即，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，当时，，
即恒成立，即符合题意；
③当时，由（1）可知，，在上单调递增．
又，，
所以，使.
i）当时，，即，
设，
则，所以在上单调递减，
所以时，；
ii）当时，，即，
设，
因为，
令，则，
又令，
则，得在上单调递增，
有，
得在上单调递增，有，
则，得在上单调递增，
则时，，
又时，，
得当时，时，，
由上可知，在上单调递增，则此时，
综上可知，a的范围是.
【点睛】难点点睛：第二问解答不等式恒成立求解参数范围时，需要讨论a的正负，看能否保证不等式恒成立，特别是当时，要结合函数的零点情况，反复构造函数，判断函数单调性，由此求得参数a的范围，计算过程十分复杂，计算量较大，难度很大.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）由题意，将问题转化为（）恒成立，利用导数讨论函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）由于，则切点坐标为，
因为，所以切线斜率为，
故切线方程为，即．
（2）当时，等价于，
令，，
恒成立，则恒成立，，
当时，，函数在上单调递减，，不符合题意；
当时，由，得，
时，，函数单调递减，，不符合题意；
当时，，因为，所以，则，
所以函数在上单调递增，，符合题意．
综上所述，．

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