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开封五校2024~2025学年上学期期中联考
高二数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答
题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章一第三章第2节。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1.直线l:x一3y+1=0和直线m:3x十y一1=0的位置关系为
A.垂直
B.平行
C.重合
D.相交但不垂直
2.已知双曲线C:等-y=1(a>1)的焦距为4，则C的渐近线方程为
Ay=士√5x
B.y=士x
C.y=±√2x
D.y=/3
3.已知向量a=(1,m,一1)，b=(1,一1,1)，若(a十b)⊥b,则m=
A.4
B.3
C.2
D.1
么已知离心率为3的双曲线r-总-1与椭圆后+造-1有相同的焦点，则m十-
A.13
B.21
C.29
D.31
5.已知圆C1:x2+y2+4x十2=0及圆C2:x2十y2+2x+2y一6=0，则与圆C,C2都相切的直线
的条数为
A.1
B.2
C.3
D.4
圆C:素+卡=1(@>6>0)的左右焦点分别为F,P2,C的离心率为e,过
线L:与C交于点A;,B,(B;在x轴下方)(i=1,2),若l∥l2,则△AB1F2的周长与
|A,F2|+|FF2|+IB2F2的比值为
A十
B千。
2
C.2千e
D许
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餐国全旺
7.3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等
可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术.如图所示的塔简为3D打印的双曲线
型塔筒，该塔简是由离心率为√0的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已
知该塔筒（数据均以外壁即塔简外侧表面计算）的上底直径为6√2cm,
下底直径为9√2cm,喉部（中间最细处）的直径为8cm,则该塔筒的
高为
A.18 cm
cm
C.18√2cm
D.272
2
cm
8已知椭圆C若+芳-1>6>0)的左，右焦点分别为R,F,点P在椭圆C上，PR:的延长
线交椭圆C于点Q,且|PF|=|PQ,△PFF2的面积为b2,记△PF,F2与△QFF2的面积
分别为S,S则8-
A.√2
B.+1
C.√2+1
2
D.2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知曲线C:x2+(1一m2)y2=1(其中m为常数)，则曲线C可能为
A.平行于x轴的两条直线
B.单位圆
C.焦点在x轴上的双曲线
D.焦点在x轴上的椭圆
10已知双曲线C导-苦-1Ka>0,b>0)与直线y=3x无公共点，过C的右焦点P作C的一条商
近线的垂线，垂足为M,O为坐标原点，若sin∠MOF>sin∠MFO,则C的离心率可以是
A.√2
B.2
C.3
D.4
,11.如图，曲线C可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线C上除原点外的所有点均满足其到原
点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值a(α
>0),则
A.曲线C关于直线y=x对称
B.曲线C经过点（一1，一1），其方程为(x2十y2)3=2√2|xy
C曲线C围成的图形面积小于客
D.存在a∈(2,6)，使得曲线C上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线2x+4y一3=0与x+2y一1=0间的距离为
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餐国金开封五校2024~2025学年上学期期中联考·高二数学
参考答案、提示及评分细则
1.A直线1：x一3y十1=0和直线m:3x十y-1=0的斜率分别为3，-3，因为号×(-3)=-1，所以Lm
故选A.
2D由题意可知十1=，所以。3，所以双曲线C,亏-=1的渐近线方程为y=士号x放选D
3.B因为(a十b)⊥b,所以(a十b)·b=a·b十b=1-m-1十3=0，解得m=3.故选B.
4C由题意312.解得{所以m+r=29.故选C
11+2=n2-12,
5.A圆C的标准方程为(x十2)2十y2=2,圆心C(一2,0)，半径n=√2，圆C2的标准方程为(x十1)2十
(y+1)2=8,圆心C2(-1,一1)，半径2=2√2，所以CC2=√2=2一n,圆C,C2内切，所以与圆C,C2
都相切的直线只有1条.故选A.
6.B设c=√a2一b,由椭圆定义易得△ABF2的周长为4a,由对称性可得AF=BF2,所以
|AF2|+|FF2|+|B:Fz|=|AF:|+FF2|+AF1=2a+2c,所以△ABF2的周长与
AR+RF十B,R的比值为2子。放选B
4a
7.D该塔简的轴截面如图所示，以C为喉部对应点，以OC所在直线为x轴，过点O且与
3
OC垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设A与B分别为上，下底面对应点，设双曲
线的方程为后-苦=1。>0,6>0).因为双曲线的离心率为V而=√1+（会），所以
B=9a,又喉部（中间最细处）的直径为8cm,所以2a=8,a=4,所以双曲线的方程为高
-1.由题意可知4=3区-号.代入双曲线方程，得 =3反%=
21w2
2
2
所以该塔筒的高为以一%=27，放选D
8.C不妨设PF=m,PF:=,焦距FF,=2c,由△PFF的面积为，得之m·sin∠FPP:=,
由余弦定理，得|F,F2|2=|PF,|2十|PF:|2-2|PF||PF|cos∠FPF2,则42=m2十n
2mcos∠F1PF2=(m十n)2-2mm(1十cos∠F1PF2）=4a2-2mn(1十cos∠F:PF2),所以
mm(1+cos∠FPF)=2a2-2c2-2b,即m(1+cos∠FPF2)=msin∠FPF2,所以1+cos∠F,PF2
sin∠FPF,所以2sin(∠FPF-年）=1，易得∠FPF,=交，|PF|=PQ|=m,所以|FQ|=√2m,
所以|PF2|=2a-m,QF2|=2a-√2m,所以|PQ|=|PFg|+|QF2|=4a-(√2+1)m=m,所以m=4a
-2,所以1PF-(2反-2)aor1-(6-4v),所以8-8尉-{名58-E+1
(6-4v2)a
故选C.
9.BC当1一m2=0,即m=士1时，x-士1，表示平行于y轴的两直线，A错误；当m=0时，x2十y2=1,表示以
原点为圆心，半径为1的单位圆.B正确：当1-㎡<0.即m<-1或m>1时，曲线C:-千=1表示焦
m2-1
点在x轴上的双曲线.C正确：当1一m>0,且m≠0时.则0<1一㎡<1，所以>1，因此曲线
1
-=1表示焦点在y轴上的椭圆，D错误.故选BC.
1-
10BC因为双曲线C:号一苦=1的渐近线方程为bx士ay=0,所以C的右焦点F到6x士ay=0的距离d
6c=b,即1FMl=b,因为1OF1=c,所以OM=a,因为sin∠MOF>sin∠MFO,所以>：，所
Va2+62
以会>1，所以C的离心率e一√+吾一厄.又因为C与直线y=3x无公共点，所以白≤36-√1+
√10，所以√2【高二上学期期中联考·数学参考答案第1页（共4页）】
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