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【浙江中考】提分作业本数学高效提分训练29 图形的旋转
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A.不是轴对称图形，它是中心对称图形，故A不符合；
B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合；
C.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C不符合；
D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合.
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的概念，逐一判断.
2．如图，矩形ABCD绕点旋转得到矩形BEFG，在旋转过程中，FG恰好过点，过点作交AB，CD于点M，N.若，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ 矩形ABCD绕点旋转得到矩形BEFG，，
∴BG=AB=3，AD=BC=5，∠CGB=90°.
∴GC=.
∴S阴影部分=S矩形ABCD-S矩形BMNC=AB·AD-GC·BG×2=3×5-×3×4×2=3.
故答案为：A．
【分析】先利用勾股定理求出GC，再根据S阴影部分=S矩形ABCD-S矩形BMNC求出阴影部分面积.
3．如图，Rt的斜边在轴上，，含角的顶点与原点重合，直角顶点在第二象限.将Rt绕原点按顺时针方向旋转后得到，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，
∵ 含角的顶点与原点重合，直角顶点在第二象限 ，将Rt绕原点按顺时针方向旋转后得到，，
∴OC'=，∠C'OB'=30°，∠B'C'O=90°.
∴B'C'=BC=OCtan∠C'OB'=.
∴ 点的对应点的坐标为 (，-1).
故答案为：A．
【分析】先画出旋转后的图形，再求点的对应点的坐标.
4．如图，E，F是正方形ABCD的边BC，CD上的点，，连结AE，AF.若，且正方形的边长为1，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连结EF，过点E作AF的垂线，垂足为G，
∵四边形.ABCD是正方形，正方形的边长为1，
∴AB=BC=CD=DA=1，∠D=∠B=∠C=90°，
∵BE=x，DF=y，
∴CE=1-x，CF=I-y，
∴
∵∠EAB=∠EAF，
∴EG=EB=x.
∴S△ABE=，S△CEF==，
S△ADF=，S△AEF=，
∵S正方形ABCD=S△ABE+S△CEF+S△ADF+S△AEF=1，
∴，
∴
∴.
故答案为：B．
【分析】连结EF，过点E作AF的垂线，垂足为G，先用x，y分别表示CE，CF，再利用勾股定理求出AF，再根据求解S正方形ABCD=S△ABE+S△CEF+S△ADF+S△AEF=1.
5．如图，在Rt中，，DE是的中位线，点在AB上，把点绕点按顺时针方向旋转)得到点，连结AF，BF.有下列结论：①△ABF是直角三角形；②若△ABF和△ABC全等，则α=2∠BAC或2∠ABC；③若α=90°，连结EF，则4.5.其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】三角形的面积；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①∵DE是△ABC的中位线，
∴AD=DB.
∵把点绕点按顺时针方向旋转)得到点，
∴DF=DB，
∴AD=BD=DF，
∴∠DAF=∠AFD，∠DBF=∠DFB.
∵∠DAF+∠AFB+∠ABF=180°，
∴∠AFD+∠DFB=90°，
∴∠AFB=90°，
∴△ABF是直角三角形，故①正确；
∵∠C=90°，
∴∠BAC+ㄥABC=90°.
若△ABF和△ABC全等，
当∠ABF=∠ABC时，
a=180°-2∠ABF=180°-2∠ABC=2(90°-∠ABC)=2∠BAC；
当∠ABF=∠BAC时，
a=180°-2∠ABF=180°-2∠BAC=2(90°-∠BAC)=2∠ABC，
综上所述，若△ABF和△ABC全等，则a=2∠BAC或2∠ABC，故②正确；
过点F作FG⊥DE交ED的延长线于点G，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC
∴∠AED=∠C=90°，
∵FG⊥DE，
∴∠G=90°.
∵∠FDB=90°，
∴∠ADF=90°，
∴∠FDG+∠ADE=90°，
∵∠DAE+ ∠ADE=90°，
∴∠FDG=∠DAE.
∵∠AFB=90°，D为AB中点，
∴FD=AD.
在ΔFDG和AADE中，
∴△FDG ≌ΔADE(AAS)
∴FG=DE=3，
∴S△DEF=，故 ③ 正确.
综上所述，其中正确的结论是 ①②③ .
故答案为：D．
【分析】①先利用旋转的性质和中位线的性质说明AD=BD=DF，再根据等腰三角形的性质得到∠DAF=∠AFD，∠DBF=∠DFB，利用三角形的内角和可说明∠AFD+∠DFB=90°，从而有∠AFB=90°；
②分∠ABF=∠ABC与∠ABF=∠BAC两种情况讨论，计算后得出结果；
③利用AAS证明△FDG ≌ΔADE，可得FG的值，再利用三角形面积公式求解即可.
6．如图，以正六边形ABCDEF的顶点为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形的顶点落在直线BC上，则正六边形ABCDEF至少旋转　 　.
【答案】
【知识点】旋转的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BCD=180°-=120°.
∴按顺时针方向旋转，使得新正六边形的顶点落在直线BC上，则正六边形ABCDEF至少旋转180°-120°=60°.
故答案为：60°.
【分析】先根据正六边形的概念求出∠BCD，再求出它的补角即可.
7．如图，点A，B，C对应的刻度分别为0，2，4，将线段CA绕点按顺时针方向旋转，当点首次落在矩形BCDE的边BE上时，其运动的路径长为　 　.
【答案】
【知识点】弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵点A，B，C对应的刻度分别为0，2，4，
∴BC=2，AC=4，
∵四边形BCDE是矩形，
∴∠A1BC=90°.
将线段CA绕点按顺时针方向旋转，当点首次落在矩形BCDE的边BE上时，
CA1=AC=4，
∴cos∠A1CB=
∵∠A1CB是锐角，
∴∠A1CB=60°.
当点首次落在矩形BCDE的边BE上时，其运动的路径长为
故答案为：．
【分析】先根据点A，B，C的位置，确定BC，AC的长，再根据矩形的性质，可得∠A1BC=90°，接着利用余弦求出∠A1CB，再利用弧长公式求解.
8．如图，在中，，将绕着点旋转得到，旋转后点的对应点落在BC上.若AD是的平分线，则　 　.
【答案】
【知识点】旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵将绕着点旋转得到，
∴∠BAD=∠CAE=，AB=AD.
∴∠B=∠ADB.
∵AD是的平分线，
∴∠BAC=2∠BAD=2∠DAC=2α.
∵∠ADB是△ADC的一个外角，
∴∠ADB=∠DAC+∠C.
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴∠DAC+∠C+2∠DAC+∠C=180°，
∵，
∴α+35°+2α+35°=180°，
∴α=.
故答案为：．
【分析】先根据旋转的意义，可得∠BAD=∠CAE=，AB=AD，再利用等腰三角形的性质，可得∠B=∠ADB，再根据三角形的外角的性质可得∠ADB=∠DAC+∠C，再利用三角形的内角和定理得到关于α方程求解.
9．如图，在中，，将边AB绕点按顺时针方向旋转得到AD，边AC绕点按逆时针方向旋转)得到AE，连结DE.若，，且，则　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过点E作CN的垂线，垂足为N，
∵ 将边AB绕点按顺时针方向旋转得到AD，边AC绕点按逆时针方向旋转)得到AE，连结DE.若，，
∴AD=AB=3，AC=AE=2，∠DAB=α，∠CAE=β.
∵，，
∴∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠EAC=α+β+∠BAC=∠B+∠BAC=180°-∠C=120°.
∴∠NAE=180°-∠DAE=60°.
∴AN=AE=1，
∴NE=AN=.
∴DE=.
故答案为：．
【分析】先利用旋转的性质可得AD=AB=3，AC=AE=2，∠DAB=α，∠CAE=β，再根据，，可求得∠DAE，再利用平角的意义求得∠NAE，再根据含有30度角的直角三角形的性质求得AN与NE，再利用勾股定理求得DE.
10．图①是由七根连杆链接而成的机械装置，图②是其示意图.已知O，P两点固定，连杆两点的间距与OQ的长度相等.当OQ绕点转动时，点A，B，C的位置随之改变，点恰好在线段MN上来回运动.当点运动至点或点时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一条直线(如图③).
（1）点P到MN的距离为　 　cm.
（2）当点P，Q，A在同一条直线上时，点Q到MN的距离为　 　cm.
【答案】（1）160
（2）
【知识点】旋转的性质；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：（1）如图，延长PO交MN于点T，过点Q作OH⊥PQ于H.
∵两点的间距与OQ的长度相等，OQ=50cm，
∴OP=OQ=50cm，
∴PH=HQ=40cm
∵PA=140cm，AQ=60cm，
∴PQ=PA-AQ=140-60=80（cm）.
∴PM=PA+BC=140+60=200（cm）.
∵当点运动至点或点时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一条直线，
∴P、Q在MN的垂直平分线上，
∴PT⊥MN.
∴cos∠P=，
∴，解得PT=160cm.
∴点P到MN的距离为160cm.
故答案为：60.
（2）如图，设HA=x cm.当O、P、A在同一条直线上时，过点Q作QH的垂线，垂足为H，
∵PT=160cm，PQ=140cm，
∴AT=PT-PA=20cm.
∵PA=140cm，OP=50cm，
∴OA=PA-OP=90cm，
∵QH⊥OA，
∴QH2=AQ2-AH2=OQ2-OH2，
∴602-x2=502-(90-x)2，解得x=，
∴HT=AH+AT=cm，
∴点Q到MN的距离为cm.
故答案为：．
【分析】（1）如图，延长PO交MN于点T，过点Q作OH⊥PQ于H.先求出OP，PH，进而可求得PM，再利用余弦得到关于PT的方程求解，求出PT，即为点P到MN的距离；
（2）如图，设HA=x cm.当O、P、A在同一条直线上时，过点Q作QH的垂线，垂足为H，先求出AT，再利用勾股定理求得AH，根据HT=AH+AT求出HT，即为点Q到MN的距离.
11．如图是由边长为1的正方形构成的网格，每一个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，仅用无刻度直尺在给定的网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC，连结BC.
（2）线段AB旋转到AC时扫过图形的面积为　 　.
（3）在BC上取一点D，使得BD：CD=1∶3.
【答案】（1）
（2）
（3）BD：CD=1：3，点D为所求作的点.
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质；作图﹣旋转；线段n等分点模型
【解析】【解答】解：（2）∵ 将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC，
∴∠A=90°，AC=.
∴ 线段AB旋转到AC时扫过图形的面积为
【分析】(1)根据题意作出图形；
(3)如图，AC与网络线交于点E，点E将AC分为AE：CE=1：3，过点E作AB的平行线交BC于点D，则BD：CD=1：3，点D为所求作的点.
12．将一物体(视为边长为的正方形从地面PQ上挪到货车车厢内.如图所示，刚开始点与斜面EF上的点重合，先将该物体绕点按逆时针方向旋转至正方形的位置，再将其沿EF方向平移至正方形的位置(此时点与点重合)，最后将物体移到车厢平台面MG上.已知，，过点作于点.
（1）求线段FG的长度.
（2）求在此过程中，点A运动至点A2所经过的路程.
【答案】（1）∵∠FBP=30°，MG//PQ，
∴∠FGH=∠FBP=30°，
∵，FH=m，
∴FG=2FH=m.
（2）如图，连结A1A2.
∵正方形的边长为，
∴点A运动至点A2所经过的路程为m.
【知识点】弧长的计算；旋转的性质
【解析】【分析】 (1) 先利用平行线的性质求得∠FGH，再根据含有30度角的直角三角形的性质求得FG；
（2）点A先绕点B逆时针旋转了60度，再沿斜坡平移到A2，由此求出点A运动至点A2所经过的路程.
1 / 1【浙江中考】提分作业本数学高效提分训练29 图形的旋转
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，矩形ABCD绕点旋转得到矩形BEFG，在旋转过程中，FG恰好过点，过点作交AB，CD于点M，N.若，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．
3．如图，Rt的斜边在轴上，，含角的顶点与原点重合，直角顶点在第二象限.将Rt绕原点按顺时针方向旋转后得到，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，E，F是正方形ABCD的边BC，CD上的点，，连结AE，AF.若，且正方形的边长为1，则（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在Rt中，，DE是的中位线，点在AB上，把点绕点按顺时针方向旋转)得到点，连结AF，BF.有下列结论：①△ABF是直角三角形；②若△ABF和△ABC全等，则α=2∠BAC或2∠ABC；③若α=90°，连结EF，则4.5.其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．如图，以正六边形ABCDEF的顶点为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形的顶点落在直线BC上，则正六边形ABCDEF至少旋转　 　.
7．如图，点A，B，C对应的刻度分别为0，2，4，将线段CA绕点按顺时针方向旋转，当点首次落在矩形BCDE的边BE上时，其运动的路径长为　 　.
8．如图，在中，，将绕着点旋转得到，旋转后点的对应点落在BC上.若AD是的平分线，则　 　.
9．如图，在中，，将边AB绕点按顺时针方向旋转得到AD，边AC绕点按逆时针方向旋转)得到AE，连结DE.若，，且，则　 　.
10．图①是由七根连杆链接而成的机械装置，图②是其示意图.已知O，P两点固定，连杆两点的间距与OQ的长度相等.当OQ绕点转动时，点A，B，C的位置随之改变，点恰好在线段MN上来回运动.当点运动至点或点时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一条直线(如图③).
（1）点P到MN的距离为　 　cm.
（2）当点P，Q，A在同一条直线上时，点Q到MN的距离为　 　cm.
11．如图是由边长为1的正方形构成的网格，每一个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，仅用无刻度直尺在给定的网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC，连结BC.
（2）线段AB旋转到AC时扫过图形的面积为　 　.
（3）在BC上取一点D，使得BD：CD=1∶3.
12．将一物体(视为边长为的正方形从地面PQ上挪到货车车厢内.如图所示，刚开始点与斜面EF上的点重合，先将该物体绕点按逆时针方向旋转至正方形的位置，再将其沿EF方向平移至正方形的位置(此时点与点重合)，最后将物体移到车厢平台面MG上.已知，，过点作于点.
（1）求线段FG的长度.
（2）求在此过程中，点A运动至点A2所经过的路程.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A.不是轴对称图形，它是中心对称图形，故A不符合；
B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合；
C.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C不符合；
D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合.
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的概念，逐一判断.
2．【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ 矩形ABCD绕点旋转得到矩形BEFG，，
∴BG=AB=3，AD=BC=5，∠CGB=90°.
∴GC=.
∴S阴影部分=S矩形ABCD-S矩形BMNC=AB·AD-GC·BG×2=3×5-×3×4×2=3.
故答案为：A．
【分析】先利用勾股定理求出GC，再根据S阴影部分=S矩形ABCD-S矩形BMNC求出阴影部分面积.
3．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，
∵ 含角的顶点与原点重合，直角顶点在第二象限 ，将Rt绕原点按顺时针方向旋转后得到，，
∴OC'=，∠C'OB'=30°，∠B'C'O=90°.
∴B'C'=BC=OCtan∠C'OB'=.
∴ 点的对应点的坐标为 (，-1).
故答案为：A．
【分析】先画出旋转后的图形，再求点的对应点的坐标.
4．【答案】B
【知识点】三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连结EF，过点E作AF的垂线，垂足为G，
∵四边形.ABCD是正方形，正方形的边长为1，
∴AB=BC=CD=DA=1，∠D=∠B=∠C=90°，
∵BE=x，DF=y，
∴CE=1-x，CF=I-y，
∴
∵∠EAB=∠EAF，
∴EG=EB=x.
∴S△ABE=，S△CEF==，
S△ADF=，S△AEF=，
∵S正方形ABCD=S△ABE+S△CEF+S△ADF+S△AEF=1，
∴，
∴
∴.
故答案为：B．
【分析】连结EF，过点E作AF的垂线，垂足为G，先用x，y分别表示CE，CF，再利用勾股定理求出AF，再根据求解S正方形ABCD=S△ABE+S△CEF+S△ADF+S△AEF=1.
5．【答案】D
【知识点】三角形的面积；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①∵DE是△ABC的中位线，
∴AD=DB.
∵把点绕点按顺时针方向旋转)得到点，
∴DF=DB，
∴AD=BD=DF，
∴∠DAF=∠AFD，∠DBF=∠DFB.
∵∠DAF+∠AFB+∠ABF=180°，
∴∠AFD+∠DFB=90°，
∴∠AFB=90°，
∴△ABF是直角三角形，故①正确；
∵∠C=90°，
∴∠BAC+ㄥABC=90°.
若△ABF和△ABC全等，
当∠ABF=∠ABC时，
a=180°-2∠ABF=180°-2∠ABC=2(90°-∠ABC)=2∠BAC；
当∠ABF=∠BAC时，
a=180°-2∠ABF=180°-2∠BAC=2(90°-∠BAC)=2∠ABC，
综上所述，若△ABF和△ABC全等，则a=2∠BAC或2∠ABC，故②正确；
过点F作FG⊥DE交ED的延长线于点G，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC
∴∠AED=∠C=90°，
∵FG⊥DE，
∴∠G=90°.
∵∠FDB=90°，
∴∠ADF=90°，
∴∠FDG+∠ADE=90°，
∵∠DAE+ ∠ADE=90°，
∴∠FDG=∠DAE.
∵∠AFB=90°，D为AB中点，
∴FD=AD.
在ΔFDG和AADE中，
∴△FDG ≌ΔADE(AAS)
∴FG=DE=3，
∴S△DEF=，故 ③ 正确.
综上所述，其中正确的结论是 ①②③ .
故答案为：D．
【分析】①先利用旋转的性质和中位线的性质说明AD=BD=DF，再根据等腰三角形的性质得到∠DAF=∠AFD，∠DBF=∠DFB，利用三角形的内角和可说明∠AFD+∠DFB=90°，从而有∠AFB=90°；
②分∠ABF=∠ABC与∠ABF=∠BAC两种情况讨论，计算后得出结果；
③利用AAS证明△FDG ≌ΔADE，可得FG的值，再利用三角形面积公式求解即可.
6．【答案】
【知识点】旋转的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BCD=180°-=120°.
∴按顺时针方向旋转，使得新正六边形的顶点落在直线BC上，则正六边形ABCDEF至少旋转180°-120°=60°.
故答案为：60°.
【分析】先根据正六边形的概念求出∠BCD，再求出它的补角即可.
7．【答案】
【知识点】弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵点A，B，C对应的刻度分别为0，2，4，
∴BC=2，AC=4，
∵四边形BCDE是矩形，
∴∠A1BC=90°.
将线段CA绕点按顺时针方向旋转，当点首次落在矩形BCDE的边BE上时，
CA1=AC=4，
∴cos∠A1CB=
∵∠A1CB是锐角，
∴∠A1CB=60°.
当点首次落在矩形BCDE的边BE上时，其运动的路径长为
故答案为：．
【分析】先根据点A，B，C的位置，确定BC，AC的长，再根据矩形的性质，可得∠A1BC=90°，接着利用余弦求出∠A1CB，再利用弧长公式求解.
8．【答案】
【知识点】旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵将绕着点旋转得到，
∴∠BAD=∠CAE=，AB=AD.
∴∠B=∠ADB.
∵AD是的平分线，
∴∠BAC=2∠BAD=2∠DAC=2α.
∵∠ADB是△ADC的一个外角，
∴∠ADB=∠DAC+∠C.
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴∠DAC+∠C+2∠DAC+∠C=180°，
∵，
∴α+35°+2α+35°=180°，
∴α=.
故答案为：．
【分析】先根据旋转的意义，可得∠BAD=∠CAE=，AB=AD，再利用等腰三角形的性质，可得∠B=∠ADB，再根据三角形的外角的性质可得∠ADB=∠DAC+∠C，再利用三角形的内角和定理得到关于α方程求解.
9．【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，过点E作CN的垂线，垂足为N，
∵ 将边AB绕点按顺时针方向旋转得到AD，边AC绕点按逆时针方向旋转)得到AE，连结DE.若，，
∴AD=AB=3，AC=AE=2，∠DAB=α，∠CAE=β.
∵，，
∴∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠EAC=α+β+∠BAC=∠B+∠BAC=180°-∠C=120°.
∴∠NAE=180°-∠DAE=60°.
∴AN=AE=1，
∴NE=AN=.
∴DE=.
故答案为：．
【分析】先利用旋转的性质可得AD=AB=3，AC=AE=2，∠DAB=α，∠CAE=β，再根据，，可求得∠DAE，再利用平角的意义求得∠NAE，再根据含有30度角的直角三角形的性质求得AN与NE，再利用勾股定理求得DE.
10．【答案】（1）160
（2）
【知识点】旋转的性质；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：（1）如图，延长PO交MN于点T，过点Q作OH⊥PQ于H.
∵两点的间距与OQ的长度相等，OQ=50cm，
∴OP=OQ=50cm，
∴PH=HQ=40cm
∵PA=140cm，AQ=60cm，
∴PQ=PA-AQ=140-60=80（cm）.
∴PM=PA+BC=140+60=200（cm）.
∵当点运动至点或点时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一条直线，
∴P、Q在MN的垂直平分线上，
∴PT⊥MN.
∴cos∠P=，
∴，解得PT=160cm.
∴点P到MN的距离为160cm.
故答案为：60.
（2）如图，设HA=x cm.当O、P、A在同一条直线上时，过点Q作QH的垂线，垂足为H，
∵PT=160cm，PQ=140cm，
∴AT=PT-PA=20cm.
∵PA=140cm，OP=50cm，
∴OA=PA-OP=90cm，
∵QH⊥OA，
∴QH2=AQ2-AH2=OQ2-OH2，
∴602-x2=502-(90-x)2，解得x=，
∴HT=AH+AT=cm，
∴点Q到MN的距离为cm.
故答案为：．
【分析】（1）如图，延长PO交MN于点T，过点Q作OH⊥PQ于H.先求出OP，PH，进而可求得PM，再利用余弦得到关于PT的方程求解，求出PT，即为点P到MN的距离；
（2）如图，设HA=x cm.当O、P、A在同一条直线上时，过点Q作QH的垂线，垂足为H，先求出AT，再利用勾股定理求得AH，根据HT=AH+AT求出HT，即为点Q到MN的距离.
11．【答案】（1）
（2）
（3）BD：CD=1：3，点D为所求作的点.
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质；作图﹣旋转；线段n等分点模型
【解析】【解答】解：（2）∵ 将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AC，
∴∠A=90°，AC=.
∴ 线段AB旋转到AC时扫过图形的面积为
【分析】(1)根据题意作出图形；
(3)如图，AC与网络线交于点E，点E将AC分为AE：CE=1：3，过点E作AB的平行线交BC于点D，则BD：CD=1：3，点D为所求作的点.
12．【答案】（1）∵∠FBP=30°，MG//PQ，
∴∠FGH=∠FBP=30°，
∵，FH=m，
∴FG=2FH=m.
（2）如图，连结A1A2.
∵正方形的边长为，
∴点A运动至点A2所经过的路程为m.
【知识点】弧长的计算；旋转的性质
【解析】【分析】 (1) 先利用平行线的性质求得∠FGH，再根据含有30度角的直角三角形的性质求得FG；
（2）点A先绕点B逆时针旋转了60度，再沿斜坡平移到A2，由此求出点A运动至点A2所经过的路程.
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