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第 2 课时
解一元一次方程
第五章 一元一次方程
授课：XXX
学习目标
理解移项法则，会运用移项解形如“”一元一次方程.
能够从实际问题中列出一元一次方程，进一步体会方程模型思想的作用及应用价值.
01
02
知识回顾
用合并同类项解一元一次方程的步骤
第一步：合并同类项
即将等号同侧的含未知数的项、常数项分别合并，把方程转化为 的形式.
即在方程两边同时除以未知数的系数（或乘未知数系数的倒数），将未知数的系数化为1，得到 .
第二步：系数化为1
知识回顾
解：
解下列方程：
（1）；
（2）.
（1）合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
知识回顾
解：
解下列方程：
（1）；
（2）.
（2）合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
新知探究
把一批图书分给某班学生阅读，若每人分 3 本，则剩余 20 本；若每人分 4 本，则缺 25 本. 这个班有多少名学生？
这批书的总数有几种表示方法？
设这个班有 名学生，这批书的总数有两种表示方法：
每人分3本，共分出本，加上剩余的20本，这批书共本.
每人分4本，共分出本，减去缺少的25本，这批书共本.
新知探究
把一批图书分给某班学生阅读，若每人分 3 本，则剩余 20 本；若每人分 4 本，则缺 25 本. 这个班有多少名学生？
它们之间有什么关系？
这批书的总数是一个定值，
所以表示它的两个式子应相等.
“表示同一个量的两个不同的式子相等”，是一个基本的相等关系.
新知探究
把一批图书分给某班学生阅读，若每人分 3 本，则剩余 20 本；若每人分 4 本，则缺 25 本. 这个班有多少名学生？
根据这一相等关系如何列出方程？
根据这一相等关系列得方程
新知探究
方程 与前面学过的一元一次方程在结构上有什么不同？
方程两边都有含的项和不含字母的常数项.
而上一节课中的方程中含 的项在等号的一侧，
常数项在等号的另一侧.
新知探究
怎样才能把该方程转化为 （常数）的形式呢？
为了使方程的左边没有常数项，等号两边减 20，
为了使方程的右边没有含 的项，等号两边减 ，
等式的性质1
等式的性质1
新知探究
把上面的方程与原方程作比较，这个变形相当于
原方程：
变形后：
把原方程左边的 变为 移到右边，
把右边的 变为 移到左边.
把某项从等式的一边移到另一边时，这项有什么变化？
该项系数的符号发生改变
新知探究
移项
把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项.
新知探究
移项
下面继续解这个方程.
合并同类项，得
系数化为1，得
由上可知，这个班有 45 名学生.
新知探究
前面解方程中“移项”的依据是什么？起了什么作用？
依据：等式的性质1.
通过移项，将含有未知数的项移到方程的一边，将常数项移到方程的另一边，使方程更接近于 的形式.
新知探究
注意
方程中的项包括它前面的符号.
把等式一边的某项移到等号的另一边时，必须改变该项的符号.
移项指的是把某一项从等号的一边移到另一边，在等号的同一边变动某项的位置，不属于移项，也不需改变该项的符号.
新知探究
移项与加法交换律有什么区别？
移项
移项是在等式中，把某些项从等号的一边移到另一边，移动的项要变号.
加法交换律是交换加数的位置，只改变排列的顺序，不改变符号.
加法交换律
例题解析
解下列方程：
例3
解：
（1）； （2）.
（1）移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
例题解析
解下列方程：
例3
解：
（1）； （2）.
（2）移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
新知探究
归纳一下通过移项解一元一次方程的步骤.
移项
合并同类项
系数化为1
将含有未知数的项移到方程的一边，将常数项移到方程的另一边.
把方程化为 的形式.
方程两边同时除以未知数的系数，得到 .
跟踪训练
解下列方程：
解：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
（1）移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
跟踪训练
解下列方程：
解：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
（2）移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
跟踪训练
解下列方程：
解：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
（3）移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
跟踪训练
解下列方程：
解：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
（4）移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
例题解析
某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多 200 t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少 100 t. 新、旧工艺的废水排量之比为 2：5，采用两种工艺的废水排量各是多少吨？
例4
题中含有怎样的相等关系？
根据题意，可以列出下列式子：
旧工艺废水排量环保限制的最大量，
新工艺废水排量环保限制的最大量，
新工艺废水排量：旧工艺废水排量.
例题解析
某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多 200 t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少 100 t. 新、旧工艺的废水排量之比为 2：5，采用两种工艺的废水排量各是多少吨？
例4
应怎样设未知数，如何根据相等关系列出方程？
因为新、旧工艺的废水排量之比为 2：5，
所以可设它们分别为 t 和 t.
例题解析
某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多 200 t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少 100 t. 新、旧工艺的废水排量之比为 2：5，采用两种工艺的废水排量各是多少吨？
例4
应怎样设未知数，如何根据相等关系列出方程？
旧工艺废水排量环保限制的最大量，
新工艺废水排量环保限制的最大量.
例题解析
解：
设采用新、旧工艺的废水排量分别为 t 和 t.
根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
所以
，
答：采用新、旧工艺的废水排量分别为 200 t 和 500 t.
拓展知识
约820年，阿拉伯数学家花拉子米著有《代数学》（又称《还原与对消计算概要》），其中，“还原”指的是“移项”，“对消”隐含着移项后合并同类项.
我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法.
跟踪训练
1. 解根据本章引言中的问题列出的方程.
解：
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
跟踪训练
2. 李明出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是李明年龄的3倍. 求现在李明的年龄.
解：
设李明现在 岁，则父亲现在 岁，
根据题意，得：
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
答：现在李明的年龄为14岁.
跟踪训练
3. 王芳和张华同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘8kg，张华平均每小时采摘7kg. 采摘结束后王芳从她采摘的樱桃中取出0.25kg给了张华，这时两人的樱桃一样多. 她们采摘用了多长时间？
解：
设她们采摘用了 小时，
根据题意，得
解得 .
答：她们采摘用了 0.5 小时.
课堂小结
通过移项解一元一次方程的步骤
移项
合并同类项
系数化为1
将含有未知数的项移到方程的一边，将常数项移到方程的另一边.
把方程化为 的形式.
方程两边同时除以未知数的系数，得到 .
随堂练习
1. 下列四个变形中，属于移项的是 （ ）
【解析】
移项是指把等式一边的某项变号后移到另一边.
A. 由 ，得
B. 由 ，得
C. 由 ，得
D. 由 ，得
随堂练习
2. 方程 的解是 （ ）
【解析】
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为1得，.
A. B.
C. D.
随堂练习
3. 若代数式与的值相等，则的值是（ ）
【解析】
根据题意得：，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为1得，.
A. B. C. D.
随堂练习
4. 下列方程中，与 的解相同的是（ ）
【解析】
对于方程，移项得，合并同类项得 ，系数化为1得 .
A项，移项得，故A不符合题意；B项，移项得，系数化为1得，故B不符合题意；C项，移项得，合并同类项得，系数化为1得，故C不符合题意；D项，移项得，故D符合题意.
A. B.
C. D.
随堂练习
5. 若是互为相反数，则关于的一元一次方程 的解是（ ）
【解析】
移项得，，系数化为1得，，
∵ 是互为相反数，
∴ ，
∴ .
A. B. C. 1 D. 任意有理数
随堂练习
6.《九章算术》一书中记载了一道题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六. 问人数、鸡价各几何？
题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就还差16文钱. 则买鸡的人数和鸡的价钱各是( )
【解析】
设买鸡的人有 个，根据题意，得 .
解得 ，所以鸡的价钱是 （文）.
故买鸡的人有9个，鸡的价钱是70文.
A. 8人，61文 B. 9人，70文
C. 10人，79文 D. 11人，110文
随堂练习
7. 某同学在解关于 的方程 时，移项过程中 没有改变符号，得到方程的解为，求的值及原方程的解.
【解析】
根据题意，得是关于的方程 的解，
所以 ，解得 .
把 代入原方程，得 ，解得 .
所以的值为3，原方程的解是 .
第五章 一元一次方程
授课：XXX
谢谢观看(共40张PPT)
第 2 课时
解一元一次方程
第五章 一元一次方程
授课：XXX
学习目标
理解移项法则，会运用移项解形如“”一元一次方程.
能够从实际问题中列出一元一次方程，进一步体会方程模型思想的作用及应用价值.
01
02
知识回顾
用合并同类项解一元一次方程的步骤
第一步：合并同类项
即将等号同侧的含未知数的项、常数项分别合并，把方程转化为 的形式.
即在方程两边同时除以未知数的系数（或乘未知数系数的倒数），将未知数的系数化为1，得到 .
第二步：系数化为1
知识回顾
解：
解下列方程：
（1）；
（2）.
（1）合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
知识回顾
解：
解下列方程：
（1）；
（2）.
（2）合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
新知探究
把一批图书分给某班学生阅读，若每人分 3 本，则剩余 20 本；若每人分 4 本，则缺 25 本. 这个班有多少名学生？
这批书的总数有几种表示方法？
设这个班有 名学生，这批书的总数有两种表示方法：
每人分3本，共分出本，加上剩余的20本，这批书共本.
每人分4本，共分出本，减去缺少的25本，这批书共本.
新知探究
把一批图书分给某班学生阅读，若每人分 3 本，则剩余 20 本；若每人分 4 本，则缺 25 本. 这个班有多少名学生？
它们之间有什么关系？
这批书的总数是一个定值，
所以表示它的两个式子应相等.
“表示同一个量的两个不同的式子相等”，是一个基本的相等关系.
新知探究
把一批图书分给某班学生阅读，若每人分 3 本，则剩余 20 本；若每人分 4 本，则缺 25 本. 这个班有多少名学生？
根据这一相等关系如何列出方程？
根据这一相等关系列得方程
新知探究
方程 与前面学过的一元一次方程在结构上有什么不同？
方程两边都有含的项和不含字母的常数项.
而上一节课中的方程中含 的项在等号的一侧，
常数项在等号的另一侧.
新知探究
怎样才能把该方程转化为 （常数）的形式呢？
为了使方程的左边没有常数项，等号两边减 20，
为了使方程的右边没有含 的项，等号两边减 ，
等式的性质1
等式的性质1
新知探究
把上面的方程与原方程作比较，这个变形相当于
原方程：
变形后：
把原方程左边的 变为 移到右边，
把右边的 变为 移到左边.
把某项从等式的一边移到另一边时，这项有什么变化？
该项系数的符号发生改变
新知探究
移项
把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项.
新知探究
移项
下面继续解这个方程.
合并同类项，得
系数化为1，得
由上可知，这个班有 45 名学生.
新知探究
前面解方程中“移项”的依据是什么？起了什么作用？
依据：等式的性质1.
通过移项，将含有未知数的项移到方程的一边，将常数项移到方程的另一边，使方程更接近于 的形式.
新知探究
注意
方程中的项包括它前面的符号.
把等式一边的某项移到等号的另一边时，必须改变该项的符号.
移项指的是把某一项从等号的一边移到另一边，在等号的同一边变动某项的位置，不属于移项，也不需改变该项的符号.
新知探究
移项与加法交换律有什么区别？
移项
移项是在等式中，把某些项从等号的一边移到另一边，移动的项要变号.
加法交换律是交换加数的位置，只改变排列的顺序，不改变符号.
加法交换律
例题解析
解下列方程：
例3
解：
（1）； （2）.
（1）移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
例题解析
解下列方程：
例3
解：
（1）； （2）.
（2）移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
新知探究
归纳一下通过移项解一元一次方程的步骤.
移项
合并同类项
系数化为1
将含有未知数的项移到方程的一边，将常数项移到方程的另一边.
把方程化为 的形式.
方程两边同时除以未知数的系数，得到 .
跟踪训练
解下列方程：
解：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
（1）移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
跟踪训练
解下列方程：
解：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
（2）移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
跟踪训练
解下列方程：
解：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
（3）移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
跟踪训练
解下列方程：
解：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
（4）移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
例题解析
某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多 200 t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少 100 t. 新、旧工艺的废水排量之比为 2：5，采用两种工艺的废水排量各是多少吨？
例4
题中含有怎样的相等关系？
根据题意，可以列出下列式子：
旧工艺废水排量环保限制的最大量，
新工艺废水排量环保限制的最大量，
新工艺废水排量：旧工艺废水排量.
例题解析
某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多 200 t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少 100 t. 新、旧工艺的废水排量之比为 2：5，采用两种工艺的废水排量各是多少吨？
例4
应怎样设未知数，如何根据相等关系列出方程？
因为新、旧工艺的废水排量之比为 2：5，
所以可设它们分别为 t 和 t.
例题解析
某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多 200 t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少 100 t. 新、旧工艺的废水排量之比为 2：5，采用两种工艺的废水排量各是多少吨？
例4
应怎样设未知数，如何根据相等关系列出方程？
旧工艺废水排量环保限制的最大量，
新工艺废水排量环保限制的最大量.
例题解析
解：
设采用新、旧工艺的废水排量分别为 t 和 t.
根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
所以
，
答：采用新、旧工艺的废水排量分别为 200 t 和 500 t.
拓展知识
约820年，阿拉伯数学家花拉子米著有《代数学》（又称《还原与对消计算概要》），其中，“还原”指的是“移项”，“对消”隐含着移项后合并同类项.
我国古代数学著作《九章算术》的“方程”章，更早使用了“对消”和“还原”的方法.
跟踪训练
1. 解根据本章引言中的问题列出的方程.
解：
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
跟踪训练
2. 李明出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是李明年龄的3倍. 求现在李明的年龄.
解：
设李明现在 岁，则父亲现在 岁，
根据题意，得：
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
答：现在李明的年龄为14岁.
跟踪训练
3. 王芳和张华同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘8kg，张华平均每小时采摘7kg. 采摘结束后王芳从她采摘的樱桃中取出0.25kg给了张华，这时两人的樱桃一样多. 她们采摘用了多长时间？
解：
设她们采摘用了 小时，
根据题意，得
解得 .
答：她们采摘用了 0.5 小时.
课堂小结
通过移项解一元一次方程的步骤
移项
合并同类项
系数化为1
将含有未知数的项移到方程的一边，将常数项移到方程的另一边.
把方程化为 的形式.
方程两边同时除以未知数的系数，得到 .
随堂练习
1. 下列四个变形中，属于移项的是 （ ）
【解析】
移项是指把等式一边的某项变号后移到另一边.
A. 由 ，得
B. 由 ，得
C. 由 ，得
D. 由 ，得
随堂练习
2. 方程 的解是 （ ）
【解析】
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为1得，.
A. B.
C. D.
随堂练习
3. 若代数式与的值相等，则的值是（ ）
【解析】
根据题意得：，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为1得，.
A. B. C. D.
随堂练习
4. 下列方程中，与 的解相同的是（ ）
【解析】
对于方程，移项得，合并同类项得 ，系数化为1得 .
A项，移项得，故A不符合题意；B项，移项得，系数化为1得，故B不符合题意；C项，移项得，合并同类项得，系数化为1得，故C不符合题意；D项，移项得，故D符合题意.
A. B.
C. D.
随堂练习
5. 若是互为相反数，则关于的一元一次方程 的解是（ ）
【解析】
移项得，，系数化为1得，，
∵ 是互为相反数，
∴ ，
∴ .
A. B. C. 1 D. 任意有理数
随堂练习
6.《九章算术》一书中记载了一道题：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六. 问人数、鸡价各几何？
题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就还差16文钱. 则买鸡的人数和鸡的价钱各是( )
【解析】
设买鸡的人有 个，根据题意，得 .
解得 ，所以鸡的价钱是 （文）.
故买鸡的人有9个，鸡的价钱是70文.
A. 8人，61文 B. 9人，70文
C. 10人，79文 D. 11人，110文
随堂练习
7. 某同学在解关于 的方程 时，移项过程中 没有改变符号，得到方程的解为，求的值及原方程的解.
【解析】
根据题意，得是关于的方程 的解，
所以 ，解得 .
把 代入原方程，得 ，解得 .
所以的值为3，原方程的解是 .
第五章 一元一次方程
授课：XXX
谢谢观看【注意】字体安装之后
必须要重启PPT，字体
（适用于字体种类较少的情况） 才能显示出来。
找到压缩包中 鼠标左键双击 双击后，选择左上角的“安装”
的字体文件夹 字体文件
【注意】字体安装之后
也必须重启PPT。
（适用于字体种类较多的情况）
找到压缩包中 打开后有较多字体安装包，Ctrl+A全选 将字体文件包粘贴到：C盘 >
的字体文件夹 windows文件夹 > fonts文件夹
（Mac系统的安装与windows系统类似，仅提供路径）
找到压缩包中的字体文件夹 应用窗口中打开“字体册”
鼠标左键双击字体文件 界面左上方点击“+”
双击后，选择左上角的“安装” 选中要安装的字体，点击“打开”
【注意】Mac系统与Windows系统一样，都需要重启PPT，字体才能显示出来。
“明明自己电脑上安装成功了，播放也正常的，但拿去教室
电脑上播放，字体又变得乱七八糟！”
老师们自己电脑上安装成功了，代表安装在自己电脑上的C盘
（一般情况下），但如果教室电脑上没有安装过PPT内所用的
特殊字体，在打开PPT时，会出现字体不一或缺失的情况。
把字体文件复制粘贴到教室电脑上的 C盘> windows > fonts文件夹里即可。
在教室电脑上找到压 打开后框选中字体 将字体文件包粘贴到：C盘 >
缩包中的字体文件夹 包，Ctrl+C复制 windows文件夹 > fonts文件夹
【注意】转图片后，图
片会自动对齐页面正中
在自己的电脑上将有特殊字体的可编辑文字转化成图片即可。 心，需自己移动到原位
选中含有特殊字体的可编 Ctrl+V粘贴，点击右下角 点击“粘贴选项” 下右边
辑文字框，Ctrl+X剪切 图标 的图标，选择粘贴为图片
“下载了字体，安装也成功了，电脑也重启了，但PPT内却
找不到这款字体了？！”
一般这种情况出现在有多种字重的情况（例：阿里巴巴普惠
体），部分字体隐藏了。字重：可以理解为改款字体的不同粗细呈现
最直接的方法是 完毕后，
打开PPT，直接搜索字体+字重。
前提是确保完成一下操作：①字体安装后重启PPT； ②把这款字体整个系列（全部字重）都已下载

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