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2024~2025学年第一学期高一年级期中学业诊断
数学试卷
（考试时间：上午7:30－9:00）
说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分.
题号 一 二 三 四 总分
得分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.已知，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
3.函数的定义域是
A. B. C. D.
4.“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.函数（，且的图象必经过的定点是
A. B. C. D.
5.已知不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
6.已知函数，且，则
A.－1 B.1 C.－2 D.2
7.已知，且满足，若恒成立，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是
A. B.是增函数
C.是偶函数 D.不等式的解集为
10.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列结论正确的是
A. B.是函数的最大值
C.当时， D.不等式的解集是
11.已知函数对于一切实数，都有，当时，，，则下列结论正确的是
A. B.若，则
C.是增函数 D.
三、填空题（本题共3小题，每小题3分，共9分）
12.命题“，”的否定是________
13.已知函数在上是增函数，则实数的取值范围________.
14.对实数和，定义运算“◎”：，设函数，.若函数的图象与轴恰有2个公共点，则实数的取值范围是________.
四、解答题（本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.计算下列各式的值（每小题4分，共8分）
（1）；
（2）.
16.（本小题满分8分）已知全集，，，.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
17.（本小题满分10分）已知函数.
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）根据定义证明：在上单调递增.
18.（本小题满分10分）
实行垃圾分类，保护生态环境，促进资源再利用。某企业新建了一座垃圾回收工厂，在2021年年初用98万元购进一套垃圾回收分类生产设备，并投入生产。该设备可为企业每年创收50万元，已知该设备使用年的维修保养总费用为万元，相应的盈利总额（纯利润）为万元.
（1）写出与之间的函数解析式，并求从哪年（2021年为第一年）开始，该设备开始盈利（盈利总额为正）；
（2）使用若干年后，对设备的处理方案有以下两种：
方案一，当年平均盈利额（年平均盈利额盈利总额使用年限）达到最大值时，以30万元价格卖掉该设备；
方案二，当盈利总额达到最大值时，以12万元价格卖掉该设备
自设备投入到卖掉处理，从总利润和效益上看，该企业应选用哪种方案处理？请说明你的理由.
19.（本小题满分13分）
若函数对于定义域的某个或某些区间内的任意一个，满足，则称函数为上的“局部奇函数”；满足，则称函数为上的“局部偶函数”.已知函数，其中为常数.
（1）若为上的“局部奇函数”，求不等式的解集；
（2）已知函数是上的“局部奇函数”，也是上的“局部偶函数”.
（1）当时，求函数的值域；
（2）对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围.
2024－2025学年第一学期高一年级期中学业诊断数学试题
参考答案及评分标准
一.单项选择题：B C D B A B D A
二.多项填空题：9.BD 10.AD 11.AD
三.填空题：
12.， 13. 14.
四.解答题：
15.解：（1）； …………4分
（2）. …………8分
16.解：（1），
； …………4分
（2）由（1）得，
， ，
实数的取值范围为. …………8分
17.（1）是上的奇函数. …………1分
证明：由题意得的定义域为，，都有，
，是上的奇函数. …………5分
（2）证明：，，且，
则， …………8分
，，，，，
，，在上单调递增， …………10分
18.解：（1）由题意得，， …………2分
令，则，，
故从2023年开始，该设备开始盈利； …………5分
（2）方案一：年平均盈利额，
当且仅当时，即当时，上式等号成立，
故到2027年，该设备的年平均盈利额达到最大值，
此时卖掉此设备后，该企业可获得的总利润为； …………7分
方案二：盈利总额，
当时，取最大值，故到2030年，该设备的盈利总额达到最大值102，
此时卖掉此设备后，该企业可获得的总利润为； …………9分
因为两种方案企业获得的总利润相同，而方案一用时较短，故应选用方案一. …………10分
19.解：（1）由题意得，恒成立，即恒成立，整理可得恒成立，，，
在上单调递增，且，
不等式的解集为. …………4分
（2）①由（1）可得当时，的取值范围为； …………5分
由题意得，恒成立，即恒成立，
整理可得恒成立，，，
在上单调递增，在上值域为，
当时，的值域为；
综上所述，当时，的值域为. …………9分
②由题意得当时，则，即，，
当时，显然成立；
当时，则，即，；
综上所述，实数的取值范围为. …………13分
注：以上各题其它解法请酌情赋分.

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