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2025届高三数学一轮复习复数练习卷
一、单选题
1．若复数与（为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数（i为虚数单位，），若，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．若复数，则在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知复数满足，则复数的虚部为
A． B． C． D．
6．任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（ ）
A． B． C． D．1
7．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．
8．欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若复数满足，则是纯虚数
10．已知是关于的方程的两根，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
11．已知复数，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件
三、填空题
12．计算： .
13．已知向量对应的复数为，把绕原点O按顺时针方向旋转后，再把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数为 (用代数形式表示)．
14．已知复数的实部和虚部都不为0，满足①；②.则 ， .（写出满足条件的一组和）
四、解答题
15．已知复数，为虚数单位.
（1）求；
（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数的值.
16．已知复数满足，其中为虚数单位.
(1)求；
(2)若复数，在复平面内对应的点分别为，若四边形是复平面内的平行四边形，求点对应的复数.
17．已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为．
(1)确定点的集合构成图形的形状；
(2)求的最大值和最小值．
18．已知复数z满足，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设在复平面上的对应点分别为A B C，求△ABC的面积.
19．对于，记为关于的“差比模”.若取遍，记关于的“差比模”的最大值为，最小值为，若，则称关于的“差比模”是协调的.
(1)若，求关于的“差比模”；
(2)若，是否存在，使得关于的“差比模”是协调的？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
(3)若且，若关于的“差比模”是协调的，求的值.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B B B B B A AD ACD
题号 11
答案 AC
12．
13．.
14．
15．解：（1）复数
，
．
（2）复数是关于的方程的一个根，
，即
，
解得，．
16．（1）设，则，
故，
所以解得：，
∴；
（2）由（1）得：，
因为四边形是复平面内的平行四边形
所以
故点对应的复数为.
17．（1）设复数在复平面内的对应点为，
则，
故点的集合是以点为圆心，2为半径的圆，如下图所示．
（2）设复数在复平面内的对应点为，则,如下图所示，
，
则的最大值即的最大值是；
的最小值即的最小值是．
18．（1）设，
①，
的虚部为，所以②，
由①②解得或.
所以或.
（2）当时，，，
所以，
，
所以三角形的面积为.
当时，，，
所以，
，所以三角形的面积为.
19．（1）由题意得，
故关于的“差比模”为.
（2）先证明共轭复数有如下性质：若任意，则.
证明：设，
则，
而，
故.
；
；
故.
综上，共轭复数的性质得证.
记当“差比模”取最大值时的复数为，即.
由已知发现，
由已证明共轭复数的性质与复数模的性质可得
因为，
所以若当时取得，则时取到，
故可知，
由取遍，不恒为常数，则，
故由基本不等式可得，
故不存在，使得关于的“差比模”是协调的.
（3）且，设，
则，
平方整理可得：
所以，
即，
平方整理得：，
令，设方程，
则，
故方程有两个不等的实数根，设为，不妨设.
由题意知， ，
则，且，
故方程有两不等的正实数根，
由关于的不等式，
解得， 则，，
由已知关于的“差比模”是协调的，则，
所以，
利用韦达定理，，
则有，
化简可得，
故．

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