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2024-2025学年天津市南开中学高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知：，：，则( )
A. 是的充分不必要条件 B. 是的充要条件
C. 是的必要不充分条件 D. 是的充分不必要条件
3.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.记为各项均为正数的等比数列的前项和，，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值与最小值的和等于( )
A. B. C. D.
7.设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，给出下列命题：
若，，则；
若，，则；
若，，，则；
若，，则与所成的角和与所成的角相等．
其中正确命题的序号是( )
A. B. C. D.
8.双曲线的一条渐近线方程为，，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的点到的距离最小值为，则双曲线方程为( )
A. B. C. D.
9.如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，点为该三棱柱外接球的球心，则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知复数满足为虚数单位，则 ______．
11.的展开式中含项的系数为______．
12.将圆心角为，半径为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为______．
13.已知，过点恰好只有一条直线与圆：相切，则 ______，该直线的方程为______．
14.袋子中有个大小相同的球，其中红球个，白球个，依次从中不放回的取球，则第一次取到白球且第二次取到红球的概率是______；若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到红球的概率是______．
15.如图，三角形中，，，为中点，为中线的中点则中线的长为______，与所成角的余弦值为______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，正三棱柱的底面边长为，．
求证：；
若点在线段上，且，求三棱锥的体积．
17.本小题分
在非等腰中，，，分别是三个内角，，的对边，且，，．
求的值；
求的周长；
求的值．
18.本小题分
三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点．
求证：平面；
求平面与平面所成夹角的余弦值；
求点到平面的距离．
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，且经过点．
求椭圆的方程；
设为的左焦点，过点的直线与交于，两点，且，求直线的斜率．
20.本小题分
已知函数．
若，
求函数在上的切线方程；
求函数的单调区间；
若时，，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.证明：取中点，连接，，则，
因为平面平面，平面平面，
所以面，因为面，
所以，
因为，，
所以，
所以，又，，
所以平面，又平面，
所以C.
解：由题可得：，
所以，又点到平面的距离为，
三角形的面积为，
所以，
所以，
故三棱锥的体积为．
17.解：在中，，，，
由正弦定理，得 ，解得；
在中，由余弦定理得，即，解得或，
非等腰，，的周长为；
中，，，，，
．
18.解：证明：连接，A.
由，分别是，的中点，根据中位线性质，，且，
由棱台性质，，于是，
由，可知四边形是平行四边形，则，
又平面，平面，于是平面．
过作，垂足为，过作，垂足为，连接，E.
由面，面，故AA，
又，，，平面，则平面．
由平面，故，
又，，，平面，于是平面，
由平面，故AC于是平面与平面所成角即．
又，，则，
故，在中，，则，
于是，
所以平面与平面所成夹角的余弦值为；
方法一：几何法
过作，垂足为，作，垂足为，连接，，过作，垂足为．
由题干数据可得，，，
根据勾股定理，，
由平面，平面，则，
又，，，平面，于是平面．
又平面，则，
又，，，平面，故平面．
在中，，
又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍，
即点到平面的距离是．
方法二：等体积法
辅助线同方法一．
设点到平面的距离为．
，
．
由，即，
所以点到平面的距离是．
19.解：因为椭圆的离心率为，且经过点，
所以，
解得，，
则椭圆的方程为；
设，，
因为，
若，
此时，
即．
设直线的方程为，
可得，
整理得，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
因为，
所以，
解得，
此时满足．
故直线的斜率为．

20.解：如果，那么函数的定义域为．
，那么，
所以切线为，所以．
(ⅱ)设，
那么可得，
所以当时，导函数，函数单调递增；
当时，导函数，函数单调递减，
因此，所以，
所以函数无单调递减区间，单调递增区间为．
根据题意函数的定义域为，
设，那么导函数；
如果，则当时，，在上单调递瑊，，
此时在上单调递减，
则当且时，，不符合题意．
如果，那么当时，导函数，导函数在上单调递增，
，此时函数在上单调递增，
因此当且时，，符合题意．
若，则当时，，单调递减，
所以，此时在上单调递减，
所以当且时，，不符合题意．
综上所述，的取值范围是．
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