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1.3等比数列 练习
一、单选题
1．已知数列是等比数列，，则“”是“数列单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若是2和8的等比中项，则实数的值是（ ）
A．5 B．或5 C．4 D．或4
3．在等比数列中，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列为等比数列，，，则（ ）
A．4 B． C． D．
5．数列是首项为1，公比为2的等比数列，其前项和为，，为数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
6．等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．3 D．12
7．记为正项等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
8．已知等比数列的前项和为，则（ ）
A．1 B． C． D．
二、多选题
9．已知等比数列的首项，在中每相邻两项之间都插入个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列，则（ ）
A．
B．当时，
C．当时，不是中的项
D．若是数列中的项，则
10．已知等比数列的各项均为正数，公比为，且，记的前项积为，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知等比数列的公比为，且，设该等比数列的前项和为，前项积为，下列选项正确的是（ ）
A．
B．当时，为递增数列
C．单调递增的充要条件为
D．当时，满足的的最小值为9
三、填空题
12．已知是公比不为1的正项等比数列，若，则的最小值为 ．
13．已知等比数列的前项和为，且，，则 ．
14．等比数列的公比，其前项和为，且，则 .
四、解答题
15．已知数列的首项为1，前n项和为，且对任意的，均有.
(1)当时，证明为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)当时，均为整数，若使得对一切恒成立的的所有可能取值有9个，求T的值.
16．已知数列的各项均为正实数，，且（）.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若数列满足，求数列中的最大项与最小项.
17．已知正项等比数列的前项和为且.
(1)求；
(2)求数列的前项的和.
18．已知数列的首项，且满足，设.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最小正整数．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C A B A B D ABD ABC
题号 11
答案 ABC
1．B
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】由于，则即为，解得或，
不能推出数列单调递增；
若数列单调递增，则，从而，
故是数列单调递增的必要不充分条件.
故选：B．
2．D
【分析】根据给定条件，利用等比中项的意义求得结果.
【详解】依题意，，所以.
故选：D
3．C
【分析】设等比数列的公比为，由已知条件求出的值，由此可得出，即可得解.
【详解】设等比数列的公比为，则，可得，
因此，.
故选：C.
4．A
【分析】根据等比中项的性质求解即可.
【详解】设的公比为，则，又，故.
故选：A
5．B
【分析】根据题设有，结合三角函数性质有，即可求值.
【详解】由题设，，且当为偶数时，当为奇数时，
所以
.
故选：B
6．A
【分析】按与两种情况分类讨论，根据等比数列前项和公式进行求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，当时，，不合题意；
当时，等比数列前项和公式，
依题意，得：，解得：.
故选：A
7．B
【分析】运用等比数列前项和的性质，即：等比数列依次项的和仍为等比数列求解即可.
【详解】设正项等比数列的公比为，
由题意知，，
所以，，成等比数列，
所以，即，
解得（舍负）.
故选：B.
8．D
【分析】设出公比，根据题目条件得到方程组，求出，，由等比数列通项公式基本量计算得到答案.
【详解】设公比为，则，
故，其中，，
则
故选：D
9．ABD
【分析】根据等比数列的通项公式判断A的真假；时，求的通项公式判断B的真假；时，求判断它是不是数列中的项，判断C的真假；求的通项公式，根据是数列中的项，确定的值，判断D的真假.
【详解】对A：易知，故A正确；
对B：当时，为等比数列，设公比为，且，，所以，
所以，所以，故B正确；
对C：当时，，所以是数列的第7项，故C错误；
对D：对数列，，，则公比，
所以，所以，
由是数列中的项，所以，所以，故D正确.
故选：ABD
10．ABC
【分析】由，得，从而可得且，再逐一分析判断即可.
【详解】因为等比数列各项均为正数，所以公比，
又，所以数列递增或递减或为常数列，
化简不等式，得，
所以，所以一个大于，一个小于，
所以有且，所以数列为递减数列，即，
故A正确，B正确；
又因为，所以，
，所以C正确，D不正确.
故选：ABC.
11．ABC
【分析】分析可知.对于A：利用基本不等式分析判断；对于C：分析可知单调递增，等价于，结合等比数列通项公式分析判断；对于BD：结合等比数列通项公式判断B；分析可知当时，；当时，；结合等比数列性质判断D.
【详解】因为，可知，
对于选项A：因为，且，
则，当且仅当，即时，等号成立，
所以，故A正确；
对于选项C：若单调递增，等价于，
又因为数列为等比数列，则，
即对任意恒成立，等价于，
即单调递增，等价于，所以单调递增的充要条件为，故C正确；
对于选项BD：若，则，且，即，
所以数列为递增数列，故B正确；
当时，；当时，；
当时，为递减数列，且；
当时，为递增数列，且；
综上所述：当时，；当时，；
所以满足的的最小值为10，故D错误；
故选：ABC.
12．
【分析】结合等比数列性质及基本不等式“1”的活用计算即可得.
【详解】设数列的公比为，则，故，
则，
当且仅当时，等号成立，即的最小值为.
故答案为：.
13．180
【分析】根据等比数列定义计算可得其公比为，得出首项再利用等比数列的前项和可得结果.
【详解】设的公比为，
由得，两式相除得，
解得，所以，从而．
故答案为：180
14．/
【分析】由题意可得，可得，解方程即可得出答案.
【详解】因为，所以，
所以，解得：，，
.
故答案为：.
15．(1)证明过程见解析，；
(2)，20，21.
【分析】（1）利用得到为公比为2的等比数列，且；
（2）利用得到，，利用和得到，由于，随着的增大，的取值范围内的整数个数越大，经验证，，20，21时满足要求.
【详解】（1）当时，①，当时，，
当时，②，①－②得，即，
又，所以为公比为2的等比数列，且；
（2）时，③，
当时，，当时，④，
式子③－④得，
故，故，
，，即，故，，
，即，，
，
其中，，故不等式恒成立，
，，
解得，
其中，
由于，故
所以，，
同理可得，
故需满足的范围为，
由于，随着的增大，的取值范围内的整数个数越大，
当时，，
的所有可能取值为，为8个，不合要求，
当时，，
的所有可能取值为，为9个，满足要求，
经验值和时，满足要求，
当时，，
的所有可能取值为，为10个，不合要求，
因为对一切恒成立的的所有可能取值有9个，
所以，20，21.
【点睛】对于公式，
（1）当时，用替换中的得到一个新的关系式，利用，可得时的表达式，
（2）当时，，求出，
（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写，如果不符合，则要分开写.
16．(1)证明见解析
(2)最大项为；最小项为
【分析】（1）根据等比数列的定义，结合题目中的等式，可得答案；
（2）由（1）可得数列的通项公式，结合对数运算可得数列的通项公式，利用幂函数单调性，可得答案.
【详解】（1）证明：由，则，，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，
当时，，则数列的最小项为，
由函数在上单调递减，则数列的最大项为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列的性质可得，即可根据求解公比，进而可求解；
（2）利用等比求和公式可得，进而利用裂项相消法求和即可求解.
【详解】（1）设公比为，由可得，
又，解得或，
由于为正项数列，所以，故；
（2）由可得，
，
故
.
18．(1)证明见解析
(2)2024
【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；
（2）利用分组求和的方法得到，然后利用的增减性解不等式即可.
【详解】（1）证明：由，得，
所以，
又，所以数列为首项为，公比为等比数列.
（2）由（1）知，数列为首项为，公比为等比数列，且，
所以
，
即，
所以，
而因为在上均单调递增，
则随着的增大而增大，
要使，即，则，
即的最小值为2024.

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