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第十二章　全等三角形
时间：100分钟　满分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列各组给出的两个图形中，全等的是（　D　）
A. B.C. D.
2. 下列说法：①全等图形的面积相等；②全等图形的形状相同；③全等图形的对应边相等；④全等图形的对应角相等.其中说法正确的个数为（　D　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3. 如图，已知△ABC≌△DEC，且∠C＝40°，∠BOE＝100°，则∠D的度数是（　B　）
第3题图
A.20° B.30° C.50° D.80°
4. 如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点.若△ABD的面积为12，AB＝8，则线段DP的长不可能是（　A　）
第4题图
A.2 B.3 C.4 D.5.5
5. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P的坐标是（0，3），把线段PA绕点P逆时针旋转90°后得到线段PQ，则Q点的坐标为（　C　）
A.（2，6） B.（5，4） C.（3，7） D.（7，3）
6. 在△ABC中，AC＝5，中线AD＝4，则边AB的取值范围为（　B　）
A.1＜AB＜9 B.3＜AB＜13
C.5＜AB＜13 D.9＜AB＜13
7. 如图，已知AB＝AD，添加下列哪个条件后，能判定△ABC≌△ADC？（　D　）
第7题图
A.AC＝AC B.∠B＝∠D
C.∠BCA＝∠DCA D.∠BAC＝∠DAC
8. 一块三角形玻璃被打碎后，店员带着如图所示的一片碎玻璃去重新配一块与原来的全等的三角形玻璃，能够全等的依据是（　A　）
第8题图
A.ASA B.AAS C.SAS D.SSS
9. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1＋∠2＋∠3＝（　C　）
第9题图
A.90° B.120° C.135° D.150°
10. 如图，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF交于点D，则下列结论中不正确的是（　D　）
第10题图
A.△ABE≌△ACF B.点D在∠BAC的平分线上
C.△BDF≌△CDE D.D是BE的中点
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 如图，AD是△ABC的角平分线，E是AB的中点，若AE＝4，BD＝DC，△ADE的面积为6，则AC的长为　6　　.
12. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝7，DP＝3，平移距离为4，则阴影部分的面积为　22　　.
第12题图
13. 如图，AD＝AC，BD＝BC，O为AB上一点，则图中共有　3　对全等三角形.
第13题图
14. 如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为　4　.
第14题图
15. 课间，康康拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两墙之间（如图），∠ACB＝90°，AC＝BC，每块砌墙用的砖块厚度为8 cm，康康很快就知道了两个墙脚之间的距离DE的长为　56　cm.
第15题图
三、解答题（本大题共7个小题，共75分）
16. （9分）如图1，△ABC与△DBC全等，且∠ACB＝∠DBC＝90°，BC＝8，AC＝4.如图2，将△DBC沿射线BC方向平移得到△D1B1C1，连接AC1，BD1.
（1）求证：AB＝D1C1且AB∥D1C1.
证明：由题图1可知，△ACB≌△DBC，
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB.
∴AB∥DC.
由平移的性质可知，DC＝D1C1，DC∥D1C1，
∴AB＝D1C1，AB∥D1C1.
（2）△DBC沿射线BC方向平移的距离等于　8　　时，点A与点D1之间的距离最小，最小值为　8　　.
17. （9分）如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，AD＝DC＝2.5，BC＝4.
（1）求∠CBE的度数.
解：（1）∵∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，
∴∠ABD＋∠CBE＝132°.
∵△ABC≌△DBE，
∴∠ABC＝∠DBE.
∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC.
∴∠ABD＝∠CBE＝132°÷2＝66°.
即∠CBE的度数为66°.
（2）求△CDP与△BEP的周长和.
解：（2）∵△ABC≌△DBE，
∴DE＝AC＝AD＋DC＝5，BE＝BC＝4.
∴△CDP与△BEP的周长和为DC＋DP＋PC＋BP＋PE＋BE＝DC＋DE＋BC＋BE＝2.5＋5＋4＋4＝15.5.
18. （10分）数学家鲁弗斯设计了一个仪器，它可以三等分一个角.如图所示，A，B，C，D分别固定在以O为公共端点的四根木条上，且OA＝OB＝OC＝OD，E，F可以在中间的两根木条上滑动，AE＝CE＝BF＝DF.
求证：∠AOE＝∠EOF＝∠FOD.
证明：在△AOE和△COE中，
∴△AOE≌△COE（SSS）.
∴∠AOE＝∠COE.
同理可证∠FOB＝∠FOD.
∴∠AOE＝∠EOF＝∠FOD.
19. （11分）如图，在四边形ABCD中，E为BC边的中点.若AE平分∠BAD，∠AED＝90°，点F为AD边上一点，AF＝AB.
求证：
（1）△ABE≌△AFE.
证明：（1）∵D是△ABC的边BC的中点，
∴BD＝CD.
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°.
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）.
∴∠B＝∠C.
（2）AD＝AB＋CD.
（2）∵Rt△BDF≌Rt△CDE，
∴DF＝DE.
∵DF⊥AB，DE⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
20. （12分）如图，这是由小正方形拼成的大长方形，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形.
解：如图所示：（每图4分）
21. （12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D.
（1）求证：AE＝CD.
证明：∵BD⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°.
∴∠D＝∠AEC.
在△DBC和△ECA中，
∴△DBC≌△ECA（AAS）.
∴AE＝CD.
（2）若AC＝12 cm，求BD的长.
解：由（1）知△DBC≌△ECA，
∴BD＝CE.
∵AE是BC边上的中线，
∴BD＝EC＝BC＝AC.
∵AC＝12cm，
∴BD＝6cm.
22. （12分）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接DE，CE.
（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，求证：BD＝CE.
证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE＋∠CAD＝∠BAC＋∠CAD.
∴∠BAD＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS）.∴BD＝CE.
（2）设∠BAC＝a，∠DCE＝β.
①当点D在线段BC的延长线上移动时，a与β之间有什么数量关系？请说明理由.
解：①当点D在线段BC的延长线上移动时，a与β之间的数量关系是a＝β.、
理由：由（1）知△BAD≌△CAE，
∴∠B＝∠ACE.∵∠ACD＝∠B＋∠BAC＝∠ACE＋∠DCE，
∴∠BAC＝∠DCE.∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β.
②当点D分别在线段BC上、线段BC的反向延长线上移动时，a与β之间有什么数量关系？请说明理由.
解：②当点D分别在线段BC上、线段BC的反向延长线上移动时，分两种情况：
i）当D在线段BC上时，如图2，α＋β＝180°.
理由：同理可证明△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC，∠ABC＝∠ACE.
∵∠ADC＋∠ADB＝180°，
∴∠ADC＋∠AEC＝180°.
∴∠DAE＋∠DCE＝180°.
∵∠BAC＝∠DAE＝α，∠DCE＝β，
∴α＋β＝180°.
ii）当点D在线段BC反向延长线上时，α＝β.
理由：如图3，同理可证明△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE.
∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE，∠ABD＝∠ACD＋∠BAC，
∴∠ACD＋∠DCE＝∠ACD＋∠BAC.
∴∠BAC＝∠DCE.
∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，
∴α＝β.
综上，α与β的数量关系为α＝β或α＋β＝180°.第十二章　全等三角形
时间：100分钟　满分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列各组给出的两个图形中，全等的是（　　）
A. B.C. D.
2. 下列说法：①全等图形的面积相等；②全等图形的形状相同；③全等图形的对应边相等；④全等图形的对应角相等.其中说法正确的个数为（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3. 如图，已知△ABC≌△DEC，且∠C＝40°，∠BOE＝100°，则∠D的度数是（　　）
第3题图
A.20° B.30° C.50° D.80°
4. 如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点.若△ABD的面积为12，AB＝8，则线段DP的长不可能是（　　）
第4题图
A.2 B.3 C.4 D.5.5
5. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P的坐标是（0，3），把线段PA绕点P逆时针旋转90°后得到线段PQ，则Q点的坐标为（　　）
A.（2，6） B.（5，4） C.（3，7） D.（7，3）
6. 在△ABC中，AC＝5，中线AD＝4，则边AB的取值范围为（　　）
A.1＜AB＜9 B.3＜AB＜13
C.5＜AB＜13 D.9＜AB＜13
7. 如图，已知AB＝AD，添加下列哪个条件后，能判定△ABC≌△ADC？（　　）
第7题图
A.AC＝AC B.∠B＝∠D
C.∠BCA＝∠DCA D.∠BAC＝∠DAC
8. 一块三角形玻璃被打碎后，店员带着如图所示的一片碎玻璃去重新配一块与原来的全等的三角形玻璃，能够全等的依据是（　　）
第8题图
A.ASA B.AAS C.SAS D.SSS
9. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1＋∠2＋∠3＝（　　）
第9题图
A.90° B.120° C.135° D.150°
10. 如图，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF交于点D，则下列结论中不正确的是（　　）
第10题图
A.△ABE≌△ACF B.点D在∠BAC的平分线上
C.△BDF≌△CDE D.D是BE的中点
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 如图，AD是△ABC的角平分线，E是AB的中点，若AE＝4，BD＝DC，△ADE的面积为6，则AC的长为　　　.
12. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝7，DP＝3，平移距离为4，则阴影部分的面积为　　　.
第12题图
13. 如图，AD＝AC，BD＝BC，O为AB上一点，则图中共有　　对全等三角形.
第13题图
14. 如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为　　.
第14题图
15. 课间，康康拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两墙之间（如图），∠ACB＝90°，AC＝BC，每块砌墙用的砖块厚度为8 cm，康康很快就知道了两个墙脚之间的距离DE的长为　　cm.
第15题图
三、解答题（本大题共7个小题，共75分）
16. （9分）如图1，△ABC与△DBC全等，且∠ACB＝∠DBC＝90°，BC＝8，AC＝4.如图2，将△DBC沿射线BC方向平移得到△D1B1C1，连接AC1，BD1.
（1）求证：AB＝D1C1且AB∥D1C1.
（2）△DBC沿射线BC方向平移的距离等于　　　时，点A与点D1之间的距离最小，最小值为　　　.
17. （9分）如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，AD＝DC＝2.5，BC＝4.
（1）求∠CBE的度数.
（2）求△CDP与△BEP的周长和.
18. （10分）数学家鲁弗斯设计了一个仪器，它可以三等分一个角.如图所示，A，B，C，D分别固定在以O为公共端点的四根木条上，且OA＝OB＝OC＝OD，E，F可以在中间的两根木条上滑动，AE＝CE＝BF＝DF.
求证：∠AOE＝∠EOF＝∠FOD.
19. （11分）如图，在四边形ABCD中，E为BC边的中点.若AE平分∠BAD，∠AED＝90°，点F为AD边上一点，AF＝AB.
求证：
（1）△ABE≌△AFE.
（2）AD＝AB＋CD.
20. （12分）如图，这是由小正方形拼成的大长方形，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形.
21. （12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D.
（1）求证：AE＝CD.
（2）若AC＝12 cm，求BD的长.
22. （12分）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接DE，CE.
（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，求证：BD＝CE.
（2）设∠BAC＝a，∠DCE＝β.
①当点D在线段BC的延长线上移动时，a与β之间有什么数量关系？请说明理由.
②当点D分别在线段BC上、线段BC的反向延长线上移动时，a与β之间有什么数量关系？请说明理由.

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