资源简介

玉溪一中 2024-2025 学年上学期高三年级期中考
数学试卷
考试时间：120 分钟； 满分：150 分
一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求）
1．已知集合 A x lnx 1 ，若a A，则 a可能是（ ）
A 1． e B．1 C．2 D．3
2．已知 a,b R， i是虚数单位，若 a i与 2 bi互为共轭复数，则 (a bi)2 （ ）
A．5 4i B．5 4i C．3 4i D．3 4i
3 1．已知 sin cos , cos sin 1 2 3，则
sin( ) （ ）
59 59 67 67A． B． C． D．
72 72 72 72
4．下列命题中，真命题的是（ ）
A 1 1．若 a b，则 B．若 a ba b ，则 a
2 ab b2
C．若0 a b c，则 logc a logc b D．若a 2b 2，则 2a 4b 4
ex e x
5．函数 f x 1 x2 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
a
6．设 S 5n是数列 an 的前 n项和，且a1 1， Sn 2Sn 1 Sn 1，则 S （ ）11
A 1 2 3． B． C． 2 D．
2 3 4
2 2
7 x y．已知椭圆C : F2 2 1的左、右焦点分别为 1，F2，过点 F1的直线与椭圆C交于 A,B两点，a b
| AF | 3若 1 = | F1B | ，且 AF2B 90 2 ，则椭圆的离心率为（ ）
A 2 B 3 5 2． ． C． D．
2 3 5 3
8 3 2．已知函数 f x ax 3x 4a a 0 ，若 f x 存在唯一的零点 x0，且 x0 0，则 a的取值范
第 1 页 共 4 页
围是（ ）
A． , 0 1, B． ,0 0,1 C． , 1 0, D．(1, + ∞)
二、多选题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。）
9．已知 a，b，c为非零实数，则下列说法一定正确的有（ ）
A．若 a，b，c成等差数列，则 a2，b2 ， c2成等差数列
B．若 a 1 1 1，b， c成等比数列，则 a ， b， c成等比数列
C．若 a，b， c成等差数列，则 2a， 2b，2c成等比数列
D．若a2，b2 ， c2成等比数列，则 a，b，c成等比数列
10．在VABC中，内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c，若 A,B,C 成等差数列，b 3，D是 AC
中点，则下面正确的是（ ）
A．VABC周长的最大值为3 3 B．VABC 3 3面积的最大值为
2
3
C．中线 BD长度的最大值为 D．若A为锐角，则 c (1, 2]
2

11．若Ox,Oy是平面内两条相交成120 角的数轴，e 和e 是 x轴、 y1 2 轴正方向上的单位向量，
uuur
若向量OP xe1 ye2 ，则规定有序数对 (x, y)为向量OP在坐标系 xOy中的坐标，记作OP x, y ，

设OA 1,1 ,OB 1,1 ,OC 1, t ，则（ ）

A． OA 2 B．OA OB

C．若BC / /OA，则 t 3 D．若 ABC构成锐角三角形，则 t 2,5
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分）
12
π
．向量 a,b 满足 | a | 2,|b | 1,a与b的夹角为 3，则 | a

2b | ．
13．已知正四棱台上底面边长为 2cm，侧棱和下底面边长都是 4cm，则它的体积为
cm3 .
14．已知函数 f x asin x bcos x 0 π满足下列条件：① 为 y f x 的极值点；② f x
3
3π
在区间 ,
4π
5 5 上是单调函数，则 的取值范围是 .
四、解答题（本题共 5小题，共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知数列 an 的前 n项和为 Sn，且 Sn 1 Sn an 1,_________.
第 2 页 共 4 页
在① a3 a11 16；② a2 ,a5 ,a11成等比数列；③ S11 77三个条件中任选一个补充在横线上，并
解答下面问题：
(1)求数列 an 的通项公式；
1 1
(2)若数列 n T T
a a
的前 项和 n，求证： n .
n n 1 2
16．（15分）如图，在四棱锥 P ABCD中，AD//BC，PA BC 2AD 2AB 4，AD 平面PAB，
PA AB， E、 F分别是棱 PB、 PC的中点.
(1)证明：DF //平面 ACE；
(2)求平面 ACE与平面 PCD的夹角的余弦值.
17．（15分）在平面直角坐标系 xOy中，已知点 F1 2,0 ,F2 2,0 , MF1 MF2 2，动点M 的轨
迹为C．
(1)求C的方程；

(2)过F2作直线 l与C交于C、D两点，若CF2 3F2D，求直线CD的斜率．
18．（17 2分）已知函数 f x x 2a 1 x a ln x a R ．
(1)若函数 y f x 在 x 1处的切线平行于 x轴，求a的值；
(2)讨论 f x 的单调性；
(3)若 g x f x x2 a 1 ln x有两个不同的零点 x1, x2，求 a的取值范围．
第 3 页 共 4 页
19．（17分）第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展
展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折
服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑
曲线C : y f x 上的曲线段 AB，其弧长为 s，当动点从A沿曲线段 AB运动到 B点时，A点
的切线 lA也随着转动到 B点的切线 lB ，记这两条切线之间的夹角为 （它等于 lB 的倾斜角
与 lA的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固
Δ
定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K Δs 为曲线段 AB的平均曲率；显然当
B
越接近A，即 s越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义
y ''
K lim Δ
Δs 0 Δs 3（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率（. 其中 y ，y 分别表示 = 1 y 2 2
在点A处的一阶 二阶导数）
(1)已知抛物线 x2 2 py( p 0)的焦点到准线的距离为 3，则在该抛物线上点 3, y 处的曲率是
多少？
(2) g x 1 1
ex e x
若函数 x ，不等式 g2 1 2
g 2 cos x
2 对于 ∈ 恒成立，求
的取值范

围；
(3)若动点A的切线沿曲线 f x 2x2 8运动至点 B xn , f xn 处的切线，点 B的切线与 x轴的
x , 0 n N*交点为 n 1 .若 x1 4，bn xn 2，Tn是数列 的前 n项和，证明Tn 3 .
第 4 页 共 4 页
玉溪一中 2024-2025 学年上学期高三年级期中考
数学试卷参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A D C B C A BC ACD
题号 11
答案 BCD
二、填空题
15 15 30
12 2 13 28 14． ． 14． 0, ,
3 7 4 7
三、解答题
15．(1) an n 1 (2)证明见解析
【详解】（1）由 Sn 1 Sn an 1，得 Sn 1 Sn an 1，得 an 1 an 1，所以数列{an}为等差数列，公差 d 1．
若选①，因为 a3 a11 16，所以 2a7 16，得 a7 8，所以a7 a1 6d 8， a1 2，所以
an a1 (n 1)d 2 n 1 n 1 ，
2 2
若选②，因为 a2 ,a5 ,a11成等比数列，所以 a5 a2a11，所以 (a1 4d) (a1 d)(a1 10d)，所以
(a1 4)
2 (a1 1)(a1 10)，所以 a1 2，所以 an a1 (n 1)d 2 n 1 n 1 ．
S 11a 11 10若选③，因为 11 1 77，所以 a1 2，所以 an a1 (n 1)d 2 n 1 n 1 ，2
1 1 1 1
（2） a a ，所以Tn (
1 1
) (1 1 ) ( 1 1 ) 1 1 ，
n n 1 n 1 n 2 n 1 n 2 2 3 3 4 n 1 n 2 2 n 2
1 1 1 1
又因为 0，所以T ．
n 2 n 2 n 2 2
16．(1)证明见解析 (2) 7 6
18
【详解】（1）如图所示，连接 EF .
因为 E， F 分别是棱 PB， PC的中点，所以 EF∥BC， BC 2EF .
因为 AD∥BC，BC 2AD，所以EF∥AD ， EF AD，
所以四边形 ADFE是平行四边形，则 AE / /DF .
因为 AE 平面 ACE，DF 平面 ACE，所以 DF / /平面 ACE .
（2）因为 AD 平面 PAB， PA、 AB 平面 PAB，所以 AD PA， AD AB，
又因为 PA AB，所以 AB， AP， AD两两垂直，
答案第 1页，共 4页

以A为坐标原点，AB，AP，AD的方向分别为 x， y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

由题中数据可得 0,0,0 ，C 2,0,4 ， E 1,2,0 ， P 0,4,0 ，D 0,0,2 ， AC 2,0, 4 ， AE 1, 2,0 ，

PC (2, 4,4),PD (0, 4,2)，


n AC 2x 4z 0,
设平面 ACE的法向量为 = , , ，则
n AE x 2y 0, x
y
令 x 2，得 n 2, 1, 1 .
m PC 2a 4b 4c 0
设平面 PCD的一个法向量为m (a,b, c)，则 ，
m PD 4b 2c 0

令b 1，得m 2, 1, 2 .设平面 ACE与平面 PCD的夹角为 ，则
n m
cos cosn ,m 4 1 2 7 6 . 7 6即平面 ACE与平面 PAD的夹角的余弦值为 .n m 6 3 18 18
y217．(1) x2 1 (2) 15或 15 .
3
【详解】（1）（1）根据题意由 MF1 MF2 2 F1F2 4可知，
动点M 的轨迹为以 F1 2,0 , F2 2,0 为焦点，实轴长为 2a 2的双曲线，
即 c 2,a 1，所以a2 1,b2 c2 a2 3，
2
所以可得E的方程为 x2 y 1 .
3

（2）由（1）知 F2 2,0 ，显然当直线 l的斜率不存在或 l的斜率为 0时，CF2 3F2D不成立，
故直线 l的斜率存在，且不为 0，设 l : x my 2 m 0 ，C x1, y1 ，D x2 , y2 ，
x my 2
联立 y2 3m2 1 y2 12my 9 0 ，x2 1 3
36m2 36 0 3m2则 ，且 1 0即m2 1 ，
3
y y 12m 9 ，1 2 2 ,y y3m 1 1 2

3m2 1
12m
2y2 2 ①
又CF2 3F2D，所以 y1 3y ，所以
3m 1
2 ，
3y2 92 3m2
②
1
答案第 2页，共 4页
①2所以由 得 16m
2 4
，解得m2 1 1 ，故 15，
② 3m2 1 3 15 m2
故直线CD的斜率为 15或 15 .
1 1 e
18．(1)a 1 (2)答案见解析 (3) a 2 2e
【详解】（1） f x 2x 2a 1 a ，故 f 1 2 2a 1 a 0,则 a 1.
x
a 2x2 2
2a 1 x a 2x 1 x a
（ ） f x 2x 2a 1 ，
x x x
a 1 1 1当 时，令 ′ > 0，解得 x a或0 x ，令2 2
′ < 0，解得 x a，2
f x 1 故此时 在 0, , a,
1
单调递增，在 ,a

的单调递减，
2 2
当 a
1
时， ′ ≥ 0在 0, + ∞ 上恒成立，故此时 f x 在 0, + ∞ 单调递增，2
1 1 1
当0 a 时，令 ′ > 0，解得 x 或0 x a，令 ′ < 0，解得 a x ，2 2 2
f x 0,a , 1 1 故此时 在 , 单调递增，在 a, 的单调递减，
2 2
1
a 0 f x x2 x f x 0, 1当 时， ，故 在 的单调递减，在 ,

单调递增，
2 2
1 1
当 a 0时，令 ′ > 0，解得 x ，令 ′2 < 0
，解得0 x ，
2
故此时 f x 1 1在 0, 的单调递减，在 ,

单调递增，
2 2
2
（3） g x f x x a 1 ln x x2 2a 1 x a ln x x2 a 1 ln x 2a 1 x ln x，
令 g x 2a 1 x ln x 0 2a 1 ln x h x ln x 1 ln x，则 ，记 ，则 h x ，
x x x2
x e h x 1 ln x 0 0 x e h x 1 ln x当 时， 2 ，当 时， 2 0，x x
故 在 0,e 单调递增，在 e, 单调递减，
且 h e 1 ，当 x 1时 > 0恒成立，
e
ln x
要使 g x 有两个零点，则 2a 1 由两个交点，
x
0 2a 1 1 1 1 e故 ，解得 a
e 2 2e
19．(1) 2 (2) 1,1 (3)证明见解析
12
【详解】（1） 抛物线 x2 2 py( p 0)的焦点到准线的距离为 3， p 3，
答案第 3页，共 4页
1
即抛物线方程为 x2 6y，即 f x y x2 f x 1，则 x f x 1， ，
6 3 3
1 1
3 3 2
又抛物线在点 3, y K 2处的曲率，则 3
1 2 2 2 12
，即在该抛物线上点 3, y 处的曲率为 ；
1 3
2 12

9
1 1 2 x2 g x 1 1 1（ ） ， g x 在 上为奇函数，又 g x 在 上为减
2 x

1 2 2x
g x
1 2 2 2x 1
ex e x x x
函数. g g 2 cos x 对于 ∈ e e恒成立等价于2 cos x 2 对于 ∈ 恒成立. 2
x x
又因为两个函数都是偶函数，记 p x cos x， q x 2 e e ，则曲线 p x 恒在曲线 q x 上方，
2
ex xp x sin x e， q x ，又因为 p 0 q 0 1，
2
p 0 q 0
所以在 x 0处三角函数 p x 的曲率不大于曲线 q x 的曲率，即 3 3 ，
1 p 2 0 2 1 q
2 0 2
x x
2
又因为 p x cos x，q x e e ，p 0 2，q 0 1，所以 2 1，解得： 1 1，
2
因此， 的取值范围为 1,1 ；
（3）由题可得 f x 4x，所以曲线 = 在点 xn , f xn 处的切线方程是 y f xn f xn x xn ，
即 y 2x 2n 8 4xn x xn ，令 y 0，得 x 2n 4 2xn x 2n 1 xn ，即 xn 4 2xnxn 1，
x 2 x 2 x 2 2x x 2
2
显然 n 0， x
n n xn 2
n 1 x 2 x ，由 n 1 2 x ，知 xn 1 2 2
n ，同理 x n
2 x 2x n 1
2 ，
n n n n 2xn
2
x x 2 x 2 x 2
故 n 1
2 x 2
n 1 n n n ，从而 lg 2lg ，设 lg an，即 a 2ax 2 x 2 x 2 n 1 n，所以数列 是等比xn 1 2 xn 2 n 1 n n
a 2n 1a 2n 1 lg x1 2 2n 1 lg3 lg xn 2 2 n 1lg3 xn 2 2
n 1
数列，故 n 1 3x1 2
，即 xn 2
，从而 x 2 ，n
2 32n 1 4 2n 1 1
所以 x ， bn x 2
bn 1 3 1 1 1 1 1
n 2n 1
0， n n 1 n 1 1 1 ，
n 32
n 1 2 2 2 2
1 3 1 bn 3 1 3 1 3 3 3
1 1 2 1 n 1
当 n 1 时，显然T1 b1 2 3；当 n 1时，bn bn 1 bn 2 b1，3 3 3

b 1 1
n

1 1 n 1 1
n
Tn b1 b2 bn b1 b
b 3 1 *
3 1 3

1
1 3 3 3
，综上，Tn 3 n N .
1 3
3
答案第 4页，共 4页

展开更多......

收起↑