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“定义法”
求圆锥曲线的轨迹方程
数学微专题
（以椭圆、双曲线为例）
一.方法探究
二.典例精讲
三.方法小结
一.方法探究
一.方法探究
例1 已知?ABC的一边BC的长为6，且B(3,0),C(-3,0), ?ABC的周长为16，则顶点A的轨迹方程是什么？
解:由题意可知: AB+AC+BC=16
即: AB+AC =10为定值,且10>6
∴点A的轨迹为以B、C为定点的椭圆
∴椭圆的焦点在x轴,2a =10，c =3,
综上: A点的轨迹方程为:????225+????216=1
?
找到动点满足
的等量关系式
写出对应的方程
除去不符合
题意的点
(y≠0)
(1)定曲线：
（2）定方程：
（3）定范围：
1
3
2
“定义法”求解圆锥曲线轨迹方程的一般步骤：
找到等量关系式所对应“定义”的曲线方程
通过图形关系找到动点A(x,y)所满足的等量关系式
结合实际除去不符合题意的点的范围
二.典例精讲
二.典例精讲
例2. 已知圆C:(x+1)2+????2=8,定点A(1,0),M为圆上动点,且满足 AM=2AP,????????·????????=0,求N点的轨迹方程.
?
分析：
1.A、M、P三点共线，且P为线段AM的中点
2.NP ?AM
可得:NP为线段AM的垂直平分线
解:由题意可得: NP为MA的垂直平分线
∴?????????=?????????
∴?????????+??????????=??????????+??????????=?22?>2
即: N的轨迹是以A、 C为焦点，22?为定值的椭圆.
∴a=2,c=1,b=1
综上: N的轨迹方程是:????22+????2?=1
?
例2. 已知圆C:(x+1)2+????2=8,定点A(1,0),M为圆上 动点,且满足 AM=2AP,????????·????????=0,求N点的轨迹方程.
?
一、定曲线
二、定方程
三、定范围
M
Y
X
x
y
外切
外切
内切
内切
内切
外切
外切
内切
两圆的位置关系：
关键在于找圆心距
圆M与圆C1、圆C?都相切的情况有:
例3. 已知两圆????1?:(x+4)2?+????2?=2,????2?:(x?4)2?+????2?=2,??动圆M与两圆都相切,求动圆圆心M的轨迹方程.
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}与圆????1相切
与圆????2相切
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
Y
X
x
y
M
M
（一）当动圆M与两圆都外切时
则????????1=????????2
∴点M轨迹为线C1C2的中垂线
即x=0
?
（二）当动圆M与两圆都内切时
则????????1=????????2
∴点M轨迹为线段C1C2的中垂线
即x=0
?
例3. 已知两圆????1?:(x+4)2?+????2?=2,????2?:(x?4)2?+????2?=2,?? 动圆M与两圆都相切,求动圆圆心M的轨迹方程.
?
M
Y
X
x
y
（三）
1、当动圆M与圆C1外切，与圆C2内切设圆M的半径为r
例3. 已知两圆????1?:(x+4)2?+????2?=2,????2?:(x?4)2?+????2?=2,??动圆M与两圆都相切,求动圆圆心M的轨迹方程.
?
由题意：圆????1，圆????2的半径均为2，
则????????1=????+2,????????2=?????2
∴????????1?????????2=22
∴点M轨迹为以????1、????2为焦点的双曲线右支
?
一、定曲线
二、定方程
M
Y
X
x
y
1、当动圆M与圆C1内切，与圆C2外切
则????????1=????+2,????????2=?????2
∴????????1?????????2=22
∴点M轨迹为以????1、????2为焦点的双曲线右支
?
2、当动圆M与圆C2内切，与圆C1外切
则????????2=????+2，????????1=?????2,
∴????????2?????????1=22
∴点M轨迹为以????1、????2为焦点的双曲线左支
综上1和2：2????=22,
∴M点轨迹方程为????22?????214=1
?
例3. 已知两圆????1?:(x+4)2?+????2?=2,????2?:(x?4)2?+????2?=2,?? 动圆M与两圆都相切,求动圆圆心M的轨迹方程.
?
三、定范围
三.方法小结
三、方法小结
定曲线
定方程
定范围
排除不符合题意
的点的范围
根据等量关系式
找到所对应的图形的标准方程
找到动点满足的等量关系式
1、动点到两个定点距离之和为定值——椭圆
2、动点到两个定点距离之差为定值——双曲线
3、动点到定点和定直线距离相等——抛物线
“定义法”求解圆锥曲线轨迹方程的一般步骤：
数形结合
逻辑推理
转化化归
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