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数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图象中，可以表示函数的为（ ）
A. B.
C. D.
2.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
3.下列各组函数中，表示同一函数的为（ ）
A.， B.，
C.， D.，
4.已知，，则（ ）
A.27 B.9 C.3 D.
5.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
6.“，”的一个充分条件可以是（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数是奇函数，则（ ）
A. B. C. D.2
8.已知实数x，y满足，则和的最大值分别为（ ）
A.2， B.2，1 C.4， D.4，
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知集合，，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
10.已知正数x，y满足，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数满足对，都有，则下列说法正确的有（ ）
A. B.为偶函数
C. D.在上可能为增函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“任何正数的立方根都是正数”的否定为_____，否定后的命题是_____命题（填“真”或“假”）.
13.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____.
14.已知函数，且对恒成立，，，则的取值范围为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知幂函数，.
（1）求的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
16.（15分）近年来，国家发展改革委、国务院、工信部、生态环境部等有关部门纷纷出台污水处理领域指导、支持及规范类政策，该相关政策的落实不仅促进了环境保护，同时也带动了一批企业的发展.已知某企业每年生产某种智能污水处理设备的最大产能为100台，其年度总利润（单位：万元）与产能（单位：台）的函数关系为
（1）当产能不超过40台时，求每年生产多少台时，平均每台设备的年利润最大？
（2）当产能为多少台时，该企业所获年度总利润最大？最大利润是多少？
17.（15分）按照要求解答下列问题.
（1）已知函数在区间上不单调，求实数的取值范围；
（2）求函数，的最小值.
18.（17分）已知函数.
（1）求的值；
（2）判断的单调性，并用定义法进行证明；
（3）证明：.
19.（17分）已知函数的定义域为，给定，设，，若存在使得，则称为函数的一个“点”.
（1）若为上的单调函数，证明：不存在“点”；
（2）若，讨论的“点”个数，并在存在“点”的前提下，求出所有的“点”；
（3）若，证明：“为函数的一个‘点’”的充要条件是“”.
数学参考答案
1.B【解析】由函数的定义可知定义域中任意一个自变量，都存在唯一确定的函数值与之对应，选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，选项B符合题意.
故选B.
2.C【解析】由题意得解得且，故函数的定义域为.故选C.
3.C【解析】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于B，两个函数的定义域和对应关系都不同，所以不是同一函数；
对于C，两个函数的定义域、对应关系均相同，所以是同一函数；
对于D，，，两个函数的对应关系不同，故不是同一函数.
故选C.
4.A【解析】因为，故.
故选A.
5.D【解析】因为，
所以.
故选D.
6.B【解析】若函数在上恒成立，
则只需
解得，即的取值范围是，故“，”的一个充分条件可以是“”.
故选B.
7.C【解析】因为是奇函数，所以，所以，又，所以.此时可知，满足，所以是奇函数，所以.
故选C.
8.D【解析】因为，因为，所以，解得.
又因为，所以，所以，即，即，解得，所以，所以，故的最大值为4，的最大值为.故选D.
9.BD【解析】由题意可得，，故，则，，故A错误，B正确；，故，故C错误；，故，故D正确.
故选BD.
10.AD【解析】对于A，因为正数x，y满足，所以，因为，所以，当且仅当时取等号，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，当且仅当时取等号，故C错误；对于，当且仅当时取等号，故D正确.
故选AD.
11.ABC【解析】令，得，解得，代入，得，所以A正确，D错误；用替换中的，得，用替换中的，得，所以，根据偶函数的定义可知B正确；在中，取得，取得，所以，故C正确.
故选ABC.
12.存在正数的立方根不是正数（不一定和答案保证一字不差，表达意思对即给3分）；假（2分）
【解析】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为“存在一些正数的立方根不是正数”，易知其是假命题.
13.【解析】为保证分段函数在整个定义域内单调递增，需同时满足解得，所以的取值范围是.
14.【解析】由题意可得在上单调递增，当时，；当时，，所以，由对恒成立，得，，故，故的取值范围为.
15.解：（1）由幂函数的定义可得，（3分）
解得，（4分）
则，（5分）
故.（6分）
（2）易知在上单调递增，（8分）
又，
所以，（10分）
即，
解得，故的取值范围为（2，3）.（13分）
16.解：（1）因为当时，.
则平均每台设备的年利润为，（3分）
，当且仅当时取等号，（4分）
由于，，且，（6分）
故当生产14台时，平均每台设备的年利润最大.（7分）
（2）当时，，
易知当时，取最大值，（万元）；（9分）
当时，
（万元），（12分）
当且仅当时等号成立.（13分）
因为，（14分）
故当产能为35台时，所获年度总利润最大，最大利润为2050万元.（15分）
17.解：（1）由题意可得，（3分）
解得，
故的取值范围是.（6分）
（2）由题意可得，（8分）
当时，函数和单调递增，故函数在上单调递减，
故；（10分）
当时，函数在上单调递增，故；（12分）
当时，，可知.（14分）
综上可知的最小值为3.（15分）
18.解：（1）.（3分）
（2）在上单调递减.证明如下：取，，且，
则
，（6分）
因为
故，（7分）
即，，则，
即，（10分）
故，即，（11分）
所以在上单调递减.（12分）
（3）证明：由（2）可得，（13分）
又因为，（15分）
故，（16分）
故.（17分）
19.解：（1）证明：若在上单调递增，则时，对，有，
则，不存在“点”；（2分）
若在上单调递减，则时，对，有，则不存在“点”.（4分）
综上所述，不存在“点”.（5分）
（2）当时，在上单调递增，则不存在“点”；（6分）
当时，则使在时有解的的个数即为的“点”的个数，（7分）
整理得，由得，故，即存在唯一“点”.（9分）
综上所述，当时，不存在“点”；当时，存在唯一“点”，.（10分）
（3）证明：由题得在时有解，即，等式两边平方后有，即，又，（11分）
故等式两边平方得，且此时，
即“为函数的一个‘点’”的充要条件是“在时有解且满足”.（12分）
又在时，单调递增，故，解得，
由得，即，恒成立，故；（14分）
的正数解为且在此时成立，得，解得，（16分）
则“为函数的一个‘点’”的充要条件是“”.（17分）

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