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2024-2025学年福建省福州市福清市高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题：“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ，使得 D. ，使得
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
4.“”是“函数是上的增函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.用长的铁丝折成一个矩形，则该矩形面积的最大值为( )
A. B. C. D.
6.下列函数中与函数相等的函数是( )
A. B. C. D.
7.命题“，”为真命题，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.图中阴影部分用集合表示正确的是( )
A. B. C. D.
10.若，，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
11.已知，函数，若满足关于的方程，则下列命题为真命题的有( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的最大值为______．
13.，则 ______．
14.已知函数，则 ______用含的式子表示；若在定义域上是减函数，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，，，
若，求实数的值．
请写出所有满足的集合．
16.本小题分
已知，．
比较与的大小；
若，求的最小值．
17.本小题分
已知，，，表示，的最小者，记为．
请在如图所示的坐标系中作出函数的图象，并写出解析式；
请判断函数的单调性，并说明单调区间及值域无需说明理由；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
设．
求证：；
证明：为奇函数；
试判断在上的单调性，并说明理由．
19.本小题分
若一个集合仅有个元素，且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“完美集”例如就是一个元“完美集”，这是因为．
请再写出一个不同于的元“完美集”无需写出求解过程；
求证：对任意一个元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于；
是否存在某个元“完美集”，其元素均为正整数？若存在，求出所有符合条件的元“完美集”；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
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10.
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12.
13.
14.
15.解：集合，
当时，，符合题意，
当时，，
因为，
所以或，
解得或，
综上所述，实数的值为或或；
，
所以，
所以，，，，，，．
16.解：因为，．
所以，
所以；
若，则，当且仅当时取等号，
所以，
故的最小值为．
17.解：因为，，
由题意可得，
图象如图所示：
由图象知，函数的单调递减区间为，无单调递增区间，且值域为；
因为，
由函数在上单调递减，所以，即，
解得：或，
所以实数的取值范围为或．
18.证明：因为，
所以；
证明：因为，
所以，
故为奇函数；
解：在上的单调递增，证明如下：
任取，
所以，，
则，
所以，
所以在上单调递增．
19.解：答案不唯一，满足均可；
证明：由题，设元“完美集”为，其中，且，，
则，
由得，，，
因为，所以；
假设为元“完美集”，且，，，
所以，
则，又，，
所以或，即或，这与矛盾，
故不存在满足题意的元“完美集”．
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