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2024-2025学年北京市西城区回民学校高一上学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
2.若，则下列正确的是( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，与是同一函数的是( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则，，之间的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.函数在下列哪个区间存在零点( )
A. B. C. D.
6.若函数的定义域为，则“为奇函数”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.若函数在上为减函数，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
8.下列各式正确的是( )
A. B.
C. D.
9.设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.设函数若存在最小值，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域为 ．
12.已知函数，若，则 ．
13.已知函数同时满足以下条件：
定义域为；值域为；，都有．
试写出一个函数解析式 ．
14.方程组的解集 ．
15.已知符号表示不超过的最大整数，若函数，给出下列四个结论：当时，；为偶函数；在单调递减；若方程有且仅有个根，则的取值范围是其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知全集，集合，．
当时，求集合，，；
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
求下列不等式的解集．
；
；
；
．
18.本小题分
已知函数，
判断函数的奇偶性？并证明；
试用函数单调性的定义证明：在上为增函数；
若，且，求的取值范围．
19.本小题分
已知二次函数图象过点，，．
求函数的解析式；
已知函数有两个不同的正数零点．
求的取值范围；
若，求的值．
20.本小题分
据气象中心观察和预测：发生于地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度与时间的函数图象如图所示，过线段上一点作横轴的垂线，梯形在直线左侧部分的面积即为内沙尘暴所经过的路程
当时，求的值；
将随变化的规律用数学关系式表示出来；
若城位于地正南方向，且距地，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到城？如果不会，请说明理由．
21.本小题分
已知集合，其中且，非空集合，记为集合中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，．
若，写出所有可能的集合；
若，且是的倍数，求集合的个数；
若，证明：存在非空集合，使得是的倍数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.
16.由题意得，，
当时，，
，．
由得，．
，，解得，
实数的取值范围为．

17.由得，
解得，
不等式的解集为．
由得，或，解得或，
不等式的解集为或．
由，，即，不等式等价于
不等式的解集为．
当时，不等式转化为，不等式的解集为．
当时，不等式转化为，
当时，不等式可化为，不等式的解集为或，
当时，不等式可化为，不等式的解集为．
综上得，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为．

18.函数为奇函数证明如下：
函数定义域，关于原点对称．
，为奇函数．
，且，
．
，，，，
，即，
在上为增函数．
，，，
在上为增函数，
，解得或，
的取值范围为．

19.设二次函数的解析式为，
由题意得，，解得
函数解析式为．
由知，
．
有两个不同的正数零点，
有两个不相等正实数根，
，解得，
的取值范围是．
由得，，
，
，
，．

20.解：由图像可知，当时，，所以．
当时，；
当时，；
当时，
．
综上可知，．
因为当时，，
当时，，
所以当时，令，
解得．
因为，所以．
故沙尘暴发生后将侵袭到城．

21.所有可能的集合为：，，，．
不妨设：，由于，且，
所以．
由题意，是的倍数时，或．
当时，因为，
所以当且仅当时，成立，故符合题意．
当时，
若，则，故或符合题意；
若，则，故符合题意；
若，则，无解．
综上，所有可能的集合为，，，．
故满足条件的集合的个数为．
当时，设，则
，
这个数取个值，故其中有两个数相等．
又因为，于是，
从而互不相等，互不相等，
所以存在，使得．
又因，故．
则，则，结论成立．
当时，不妨设，
则，在这个数中任取个数，．
若与都是的倍数，，
这与矛盾．
则至少有个数，它们之差不是的倍数，不妨设不是的倍数．
考虑这个数：，，，，，．
若这个数除以的余数两两不同，则其中必有一个是的倍数，又，且均不为，
故存在，使得．
若为偶数，取，则，结论成立；
若为奇数，取，则，结论成立．
若这个数除以的余数中有两个相同，则它们之差是的倍数，又，均不是的倍数，
故存在，使得．
若为偶数，取，则，结论成立；
若为奇数，取，则，结论成立．
综上，存在非空集合，使得是的倍数．

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