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22.2 二次函数与一元二次方程
■重点01 抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
【典例1】　（2023秋 连云港期末）抛物线与轴的交点个数是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【分析】令函数值为0，得到一元二次方程，再根据根的判别式判断有几个解就是与轴有几个交点．
【解答】解：令，即，
△，
方程没有实数根，
抛物线与轴没有交点，
故选：．
【典例2】　（2024秋 新丰县期中）抛物线与轴的交点个数为　　
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】
【分析】抛物线与轴的交点个数即为抛物线对应的一元二次方程的解的个数，据此利用判别式求解即可．
【解答】解：△，
抛物线与轴的交点个数为0个，
故选：．
【典例3】　（2024秋 朝阳区校级期中）抛物线与轴的交点坐标为 　　．
【答案】或．
【分析】根据函数与方程的关系求解．
【解答】解：当时，，
解得：或，
抛物线与轴的交点坐标为或，
故答案为：或．
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根．抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离．
■重点02 二次函数与一元二次方程
对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）， （1）当Δ＝b2﹣4ac＞0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有2个交点（x1，0），（x2，0）； 一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （2）当Δ＝b2﹣4ac＝0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有1个交点（x1，0）； 一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根x1=x2． （3）当Δ＝b2﹣4ac＜0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有交点； 一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实数根．
【典例1】　（2024秋 惠州期中）二次函数的图象如图所示，则的两个根为 　　．
【答案】，3．
【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，，根据对称性解决问题即可．
【解答】解：设抛物线与轴的另一个交点为，，
抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点是，
，
，
抛物线与轴的两个交点为，，
的两个根为，3．
故答案为：，3．
【典例2】　（2024秋 新市区月考）如图，抛物线与直线交于，两点，则方程的解为 　　．
【答案】，．
【分析】直接根据图象交点的横坐标可得答案．
【解答】解：，两点的横坐标为，3，
方程的解为，，
故答案为：，．
【典例3】　（2024秋 西华县期中）已知关于的一元二次方程．
（1）试判断原方程根的情况；
（2）若抛物线与轴交于，、，两点，则、两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）有两个不相等的实数根
（2）存在最小值，最小值是2
【分析】（1）根据题意可得△，据此即可得出答案；
（2）利用公式法解一元二次方程即可得出、两点的坐标，于是可求得、两点间的距离，然后根据二次函数的图象与性质即可得出答案．
【解答】解：（1）△，
，，
即△，
方程有两个不相等的实数根；
（2）在中，当时，即，
解得，
，
当时，有最小值2，
答：、两点间的距离存在最小值，最小值是2．
图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
■重点03 二次函数与一元二次不等式
利用二次函数图象求二次不等式的步骤： （1）作出二次函数的图象，并由图象确定图象与x轴有无交点，有几个交点； （2）观察图象，根据y＝ax2+bx+c图象位于x轴上方的部分求得不等式ax2+bx+c>0的解； 根据y＝ax2+bx+c图象位于x轴下方的部分求得不等式ax2+bx+c<0的解． 若y＝ax2+bx+c的图象没有位于x轴上方的部分，则不等式ax2+bx+c>0无解． 若y＝ax2+bx+c的图象没有位于x轴下方的部分，则不等式ax2+bx+c<0无解．
【典例1】　（2023秋 兴宾区期末）抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是 　　
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，然后写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，
而抛物线与轴的一个交点坐标为，
所以抛物线与轴的另一个交点坐标为，
所以当时，．
故答案为．
【典例2】　（2024秋 惠城区校级月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，当时，的取值范围是 　　．
【答案】．
【分析】先根据二次函数的对称性求出其与轴的另一个交点坐标，再根据图象法即可得．
【解答】解：由图象可知，抛物线的对称轴为，抛物线与轴的一个交点坐标为，
则其与轴的另一个交点坐标为．
设抛物线的解析式为，
当时，，
则，
解得：，
，
抛物线开口向下，则在轴上方，
结合图象得：当时，．
故答案为：．
【典例3】　（2024秋 通州区期中）已知抛物线．
（1）在所给的坐标系中画出这条抛物线；
（2）利用图象回答：取什么值时，函数值小于0？
【答案】（1）见解答；
（2）．
【分析】（1）利用列表、描点、连线即可解决；
（2）直接根据函数图象可得出结论．
【解答】解：（1）列表
． 0 1 2 3 ．
． 0 0 ．
描点、连线，
（2）由函数图象知，当抛物线在轴上方时，或，
当时，函数值大于0．
利用二次函数图象解二次不等式时注意抛物线的开口方向．
■难点01 根据抛物线与x轴交点的个数求字母的值（或范围）
求二次函数图象与x轴的交点个数问题，可转化为判断对应的一元二次方程的根的个数．
【典例1】　（2024秋 泰山区期中）抛物线与轴只有一个公共点，则的值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】抛物线与轴有一个交点，的方程就有两个相等的实数根，根的判别式就等于0．
【解答】解：抛物线与轴只有一个公共点，
方程有两个相等的实数根，
△，
．
故选：．
【典例2】　（2024秋 望奎县校级月考）已知：抛物线开口向下，且与轴有两个交点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】抛物线开口向下，二次项系数，与轴有两个交点△，联立解不等式组即可．
【解答】依题意，得
解得：．
故选：．
【典例3】　（2024 市中区二模）已知抛物线与轴有且只有一个交点，则　　．
【答案】．
【分析】把二次函数转化为关于的一元二次方程，再根据一元二次方程根与系数的关系得出结论
【解答】解：抛物线与轴有且只有一个交点，
△，
解得，
故答案为：．
运用数形结合的数学思想，在理解的基础上，掌握二次函数图象与x轴交点的坐标与一元二次方程根的关系．
■易错点01 利用二次函数求一元二次方程的近似解
利用抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标求一元二次方程ax2+bx+c=0的根．具体过程如下： ①在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx+c； ②观察图象，确定抛物线与x轴的交点的横坐标； ③交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0的根．
【典例1】　（2024秋 峰峰矿区月考）下表是若干组二次函数的自变量与函数值的对应值：
0.7 0.8 0.9 1.0
0.28 0.05
则下面哪个数是关于的方程的一个近似根（精确到　　
A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3
【答案】
【分析】根据表格可知，二次函数值为0时，的一个值在之间，由于0.05比更接近0，则二次函数值为0时，的一个值的近似值为0.8（精确到再求出对称轴为直线，据此得到二次函数值为0时，的另一个值的近似值为3.2，据此可得答案．
【解答】解：当时，，
当时，，
由以上结果可以推断出：二次函数值为0时，的一个值在之间，
比更接近0，
当二次函数值为0时，的一个值的近似值为0.8（精确到，
对称轴为，
二次函数值为0时，的另一个值的近似值为3.2，
故选：．
【典例2】　（2023 晋城模拟）根据表格估计方程其中一个解的近似值．
1.63 1.64 1.65 1.66
5.9169 5.9696 6.0225 6.0756
根据上表，求方程的一个解大约是 　　（精确到
【答案】1.65．
【分析】先根据表中所给的数，再与6相减，然后所得的值进行比较，差值越小的越接近方程的解．
【解答】解：根据题意得：
，
，
，
可见6.0225比5.9696更逼近6，
当精确度为0.01时，方程的一个解约是1.65；
故答案为：1.65．
【典例3】　（2023秋 林州市期中）已知：由函数的图象知道，当时，，当时，，所以方程有一个根在和0之间．
（1）参考上面的方法，求方程的另一个根在哪两个连续整数之间；
（2）若方程有一个根在0和1之间，求的取值范围．
【答案】（1）方程的另一个根在2和3之间；
（2）．
【分析】（1）计算和时，的值，确定其所在范围是；
（2）根据题意得到，解得即可．
【解答】解：（1）利用函数的图象可知，
当时，，当时，，
所以方程的另一个根在2和3之间；
（2）函数的图象的对称轴为直线，
由题意，得，
解得．
1．用两点夹逼法估计一元二次方程的根，具体方法如下：在交点（抛物线与x轴的交点）的两侧各取一点， 则一元二次方程的根在这两个点的横坐标之间． 2．通过取平均数求根的近似值，具体的操作过程如下： ①取使函数值异号且绝对值较小的两个自变量的值m，n； ②分别将，n（或，m）作为自变量的值代入函数解析式，判断其函数值是否异号； ③重复执行步骤①②，以提高根的估计值的精确度．中小学教育资源及组卷应用平台
22.2 二次函数与一元二次方程
■重点01 抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
【典例1】　（2023秋 连云港期末）抛物线与轴的交点个数是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例2】　（2024秋 新丰县期中）抛物线与轴的交点个数为　　
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【典例3】　（2024秋 朝阳区校级期中）抛物线与轴的交点坐标为 　　．
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根．抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离．
■重点02 二次函数与一元二次方程
对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）， （1）当Δ＝b2﹣4ac＞0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有2个交点（x1，0），（x2，0）； 一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （2）当Δ＝b2﹣4ac＝0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有1个交点（x1，0）； 一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根x1=x2． （3）当Δ＝b2﹣4ac＜0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴没有交点； 一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实数根．
【典例1】　（2024秋 惠州期中）二次函数的图象如图所示，则的两个根为 　　．
【典例2】　（2024秋 新市区月考）如图，抛物线与直线交于，两点，则方程的解为 　　．
【典例3】　（2024秋 西华县期中）已知关于的一元二次方程．
（1）试判断原方程根的情况；
（2）若抛物线与轴交于，、，两点，则、两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．
图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
■重点03 二次函数与一元二次不等式
利用二次函数图象求二次不等式的步骤： （1）作出二次函数的图象，并由图象确定图象与x轴有无交点，有几个交点； （2）观察图象，根据y＝ax2+bx+c图象位于x轴上方的部分求得不等式ax2+bx+c>0的解； 根据y＝ax2+bx+c图象位于x轴下方的部分求得不等式ax2+bx+c<0的解． 若y＝ax2+bx+c的图象没有位于x轴上方的部分，则不等式ax2+bx+c>0无解． 若y＝ax2+bx+c的图象没有位于x轴下方的部分，则不等式ax2+bx+c<0无解．
【典例1】　（2023秋 兴宾区期末）抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是 　　
【典例2】　（2024秋 惠城区校级月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，当时，的取值范围是 　　．
【典例3】　（2024秋 通州区期中）已知抛物线．
（1）在所给的坐标系中画出这条抛物线；
（2）利用图象回答：取什么值时，函数值小于0？
利用二次函数图象解二次不等式时注意抛物线的开口方向．
■难点01 根据抛物线与x轴交点的个数求字母的值（或范围）
求二次函数图象与x轴的交点个数问题，可转化为判断对应的一元二次方程的根的个数．
【典例1】　（2024秋 泰山区期中）抛物线与轴只有一个公共点，则的值为　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 望奎县校级月考）已知：抛物线开口向下，且与轴有两个交点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【典例3】　（2024 市中区二模）已知抛物线与轴有且只有一个交点，则　　．
运用数形结合的数学思想，在理解的基础上，掌握二次函数图象与x轴交点的坐标与一元二次方程根的关系．
■易错点01 利用二次函数求一元二次方程的近似解
利用抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标求一元二次方程ax2+bx+c=0的根．具体过程如下： ①在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx+c； ②观察图象，确定抛物线与x轴的交点的横坐标； ③交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0的根．
【典例1】　（2024秋 峰峰矿区月考）下表是若干组二次函数的自变量与函数值的对应值：
0.7 0.8 0.9 1.0
0.28 0.05
则下面哪个数是关于的方程的一个近似根（精确到　　
A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3
【典例2】　（2023 晋城模拟）根据表格估计方程其中一个解的近似值．
1.63 1.64 1.65 1.66
5.9169 5.9696 6.0225 6.0756
根据上表，求方程的一个解大约是 　　（精确到
【典例3】　（2023秋 林州市期中）已知：由函数的图象知道，当时，，当时，，所以方程有一个根在和0之间．
（1）参考上面的方法，求方程的另一个根在哪两个连续整数之间；
（2）若方程有一个根在0和1之间，求的取值范围．
1．用两点夹逼法估计一元二次方程的根，具体方法如下：在交点（抛物线与x轴的交点）的两侧各取一点， 则一元二次方程的根在这两个点的横坐标之间． 2．通过取平均数求根的近似值，具体的操作过程如下： ①取使函数值异号且绝对值较小的两个自变量的值m，n； ②分别将，n（或，m）作为自变量的值代入函数解析式，判断其函数值是否异号； ③重复执行步骤①②，以提高根的估计值的精确度．

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