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22.3 实际问题与二次函数
■重点01 销售利润问题
二次函数与利润最大问题 （1）调整价格分涨价和降价． （2）总利润=单件商品的利润×销售量． （3）商品价格上涨，销售量会随之下降；商品价格下降，销售量会随之增加．两种情况都会导致利润的变化．
【典例1】　（2024秋 闽侯县期中）某商品每件进价20元，销售期间发现，当售价为25元时，每天可售出120个，销售单价每降价1元，每天销量增加10个，现商家决定降价销售，每个降价元，设每天销售量为个，每天销售商品获得的利润元，则下列函数关系式正确的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】当每个降价元时，每个的销售利润为元，利用每天的销售量每个降低的钱数，可找出关于的函数关系式，再利用每天销售该商品获得的利润每个的销售利润每天的销售量，可找出关于的函数关系式．
【解答】解：当每个降价元时，每个的销售利润为元，每天的销售量（个．
又每天销售该商品获得的利润元，
．
故选：．
【典例2】　（2024秋 蜀山区校级期中）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加2件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元，主播每天的利润为（元，则与之间的函数解析式为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据每件利润实际售价成本价，销售量原销售量因价格下降而增加的数量，总利润每件利润销售数量，即可得出与之间的函数解析式．
【解答】解：每件电子产品售价为（元，主播每天的利润为（元，
则每件盈利元，每天可销售件，
根据题意得：，
故选：．
【典例3】　（2024秋 津南区期中）某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查反映：若每千克涨价1元，每天销售量减少20千克，设每千克涨价（单位：元），且，每天售出商品的利润为（单位：元），则与的函数关系式是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】当每千克涨价元时，每千克盈利元，每天可销售千克，利用每天售出商品的利润每千克的销售利润日销售量，即可得出与的函数关系式，此题得解．
【解答】解：当每千克涨价元时，每千克盈利元，每天可销售千克，
根据题意得：．
故选：．
【典例4】　（2024秋 江夏区校级期中）某超市销售一种成本为20元件的商品，若某个月的第天为整数）的售价与销量的相关信息如下表所示：
第天 售价（元件） 日销售量（件
设销售该商品的日销售利润为元．
（1）直接写出与的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？
（3）如果超市每销售一件商品，就捐赠元给希望工程，若仅在第15天销售利润额达到最大值，求的取值范围．
【答案】（1）与的函数关系式为；
（2）销售该商品第25天时，日销售利润最大，最大日销售利润4900元；
（3）的取值范围为．
【分析】（1）根据每天的销售利润单件的利润销售量列出函数解析式即可；
（2）把函数解析式化为顶点式，由函数的性质解答即可；
（3）先求出捐赠后利润关于的解析式，求出对称轴，再根据仅在第15天销售利润额达到最大值得出关于的不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）由题意得：，
与的函数关系式为；
（2），
，，
抛物线开口向下，
当时，取得最大值为4900，
销售该商品第25天时，日销售利润最大，最大日销售利润4900元；
（3）设捐赠后的销售利润为元，
由题意得：，
对称轴为直线，
仅在第15天销售利润额达到最大值，
，
解得．
的取值范围为．
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
■重点02 抛物线形问题
用二次函数解决抛物线形问题 （1）建立恰当的平面直角坐标系； （2）将已知条件转化为点的坐标，正确写出关键点的坐标； （3）合理地设出函数解析式； （4）将点的坐标代入函数解析式求出解析式； （5）利用解析式求解．
【典例1】　（2024秋 大连期中）如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线（单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为　　
A．7米 B．6米 C．5米 D．4米
【答案】
【分析】根据及抛物线的对称性，判断出用未知数表示的点的坐标，代入抛物线解析式可得未知数的值，进而可得的长．
【解答】解：四边形是矩形，
，，
，抛物线关于轴对称，
设点的纵坐标为，则点的横坐标为，即点的坐标为，
点在抛物线上，
，
解得：，（舍去），
点的纵坐标为6，
，
．
故选：．
【典例2】　（2024秋 温州期中）某弹性小球从地面以初速度v（米/秒）竖直向上抛出，其高度h（米）与时间t（秒）的关系为h＝vt﹣4.9t2．当初速度为v1时，达到最大高度h1后落回地面用时t1（如图1）；落地后再次以初速度v2竖直向上弹起至最大高度h2再落回地面用时t2（如图2）．已知h1：h2＝5：2，则v1：v2的值为（　　）
A．5：2 B． C．3：2 D．
【答案】D
【分析】利用h＝vt﹣4.9t2，求出h1，h2，再根据h1：h2＝5：2得出结论．
【解答】解：由题意得，h1＝，h2＝，
∵h1：h2＝5：2，
∴＝＝，
故选：D．
【典例3】　（2024秋 长安区校级期中）小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】
【分析】先求出顶点点的坐标，再根据题意求出点的纵坐标，求出的长度，进而求出的长度．
【解答】解：将二次函数的解析式化为顶点式可得：，
顶点的坐标为，
，
点的横坐标为4，把代入，
得，
，
．
故选：．
【典例4】　（2024秋 长安区校级期中）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有函数关系．
（1）求小球飞行时的高度．
（2）小球的飞行高度能否达到？请说明理由．
【答案】（1）；（2）小球的飞行高度能达到，理由见解析；
【分析】（1）依据题意，当时，可得，进而可以得解；
（2）依据题意，由函数为，从而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，当时，
．
答：小球飞行时的高度为．
（2）小球的飞行高度能达到．理由如下：
由题意，函数为，
当时，取最大值为20．
小球的飞行高度能达到．
1．在解题过程中要充分利用抛物线的对称性，同时要注意对数形结合思想的应用． 2．利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
■重点03 图形面积问题
求面积最大（小）值问题，常以三角形、四边形、圆等基本图形为背景，以某条变化的线段的长度为自变量，构建二次函数模型求解．
【典例1】　（2024秋 河西区期中）如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了20米木栏．
（Ⅰ）若米，所围成的矩形菜园的面积为32平方米，求利用旧墙的长；
（Ⅱ）若米，求矩形菜园面积的最大值．
【答案】（1）的长为8米；
（2）当时，矩形菜园面积的最大值为50平方米．
【分析】（1）设米，则米，列方程求解即可；
（2）设米，由题意得关于的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设米，则米，由题意得：
，
解得：，，
当时，，不合题意舍去；
当时，，
答：的长为8米；
（2）设米，则
，
时，的最大值是50．
答：当时，矩形菜园面积的最大值为50平方米．
【典例2】　（2024秋 和平区期中）用一条长的绳子围成一个矩形．
（Ⅰ）若围成的矩形面积为，求该矩形的长和宽．
能围成一个面积为的矩形吗？若能，求出它的长和宽．若不能，请求出能围成矩形的最大面积．
【答案】（Ⅰ）长为，宽为；不能围成一个面积为的矩形，理由见解析；当长为，宽为时，得到面积最大的矩形，最大面积为．
【分析】（Ⅰ）设矩形的长为 ，则宽为，根据面积列出方程，解方程即可；
根据题意，列出方程，判断一元二次方程有无实数根即可；又设矩形的长为 ，则宽为，设矩形的面积为 ，列出函数表达式，根据二次函数的性质进行解答即可．
【解答】解：（Ⅰ）设矩形的长为 ，则宽为，
，
，
，，
当时，，
当时，，
矩形的长为，宽为；
不能围成一个面积为的矩形，理由如下：
设矩形的长为 ，则宽为，
，
，
△，
没有实数根，
不能围成一个面积为的矩形；
又设矩形的长为 ，则宽为，设矩形的面积为 ，
，
，
抛物线开口向下，二次函数有最大值，即当时，有最大值100，
此时长为，宽为，得到面积最大的矩形，最大面积为．
【典例3】　（2024秋 海珠区校级期中）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米．
（1）设苗圃园的面积为，求与的函数关系式，写出自变量的取值范围；
（2）当为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？
【答案】（1），；（2）当时，这个苗圃园的面积有最大值，最大值是平方米．
【分析】（1）根据题意和图形，与的函数关系式，注意墙长是18米；
（2）根据题意和图形，可以得到与的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求得当取何值时，这个苗圃园的面积有最大值，最大值是多少．
【解答】解：（1）由题意可得，
，
，，
；
（2）设这个苗圃园的面积为平方米，
由题意可得，
，
平行于墙的一边长米，且不大于18米，
，
解得，，
当时，取得最大值，此时，
答：当时，这个苗圃园的面积有最大值，最大值是平方米．
【典例4】　（2024秋 平湖市期中）如图是一块篱笆围成的矩形土地，并且由一条与边平行的篱笆分开，已知篱笆的总长为90米（厚度不计）．设米，米．
（1）用含有的代数式表示．
（2）设矩形土地面积为平方米，当时，求的最大值．
【分析】（1）根据题意可以周长列出，的关系式即可；
（2）长乘宽表示出面积，再用二次函数的性质即可求范围．
【解答】解：（1）由题意可得，，
整理得；
（2）根据题意得，
，开口向下，
，
当时，取得最大值，．
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案等．
■难点01 建立二次函数模型解决实际问题
建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤： （1）审题； （2）找出题中的已知量和未知量； （3）用一个未知量表示题中的其他未知量； （4）找出等量关系并列出函数解析式； （5）利用二次函数的图象及性质去分析、解决实际问题．
【典例1】　（2023秋 天山区校级期中）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价元为整数），每个月的销售量为件．
（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；
（2）设每月的销售利润为，请直接写出与的函数关系式．
【答案】（1）则；
（2），．
【分析】（1）当售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，，，当如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，，，
（2）由利润（售价成本）销售量列出函数关系式，
【解答】解：（1）当时，，即，
当时，，即．
则；
（2）由题意可得，
，
．
【典例2】　（2024 庐阳区校级四模）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年一季度新产品的研发资金（万元）关于的函数关系式为　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据该厂今年一月份新产品的研发资金及以后每月新产品的研发资金与上月相比的增长率，可得出该厂今年二月份、三月份新产品的研发资金，将该厂今年一、二、三月份新产品的研发资金相加，即可得出关于的函数关系式．
【解答】解：该厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，
该厂今年二月份新产品的研发资金为万元，三月份新产品的研发资金为万元．
根据题意得：．
故选：．
【典例3】　（2024秋 官渡区校级期中）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先根据、关于轴对称，得出点坐标为，再求出左边抛物线的顶点的坐标为，则右边抛物线的顶点的坐标为，设右边抛物线的解析式为，代入即可得出答案．
【解答】解：、关于轴对称，高，，
点坐标为，
轴，，最低点在轴上，
关于直线对称，
左边抛物线的顶点的坐标为，
右边抛物线的顶点的坐标为，
设右边抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
故右边抛物线的解析式为，
故选：．
【典例4】　（2024秋 宁波期中）杭州某地种植有机蔬菜，已知某种蔬菜的销售单价（元与销售月份之间的关系满足，每千克成本（元与销售月份之间的关系如图所示，图象为抛物线，其最低点坐标是．（其中是满足的整数）
（1）问：2月份每千克蔬菜成本是多少？
（2）判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求最大收益．
【分析】（1）利用待定系数法求出每千克成本与销售月份之间的关系式，再令求出的值即可；
（2）列出一年中销售每千克蔬菜的收益与销售月份之间的关系式，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设每千克成本与销售月份之间的关系式为：，把代入得，
，
解得，
，即，
当时，，
月份每千克蔬菜成本是元；
（2）由（1）可得，每千克蔬菜的收益
，
，
当时，有最大值，，
月销售每千克蔬菜的收益最大，最大为元．
应用二次函数解决实际问题的基本思路： ①理解题意； ②分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系； ③用函数解析式表示它们之间的关系； ④用数学方法求解； ⑤检验结果的合理性．
■难点02 二次函数的最值问题
求面积最大（小）值问题，常以三角形、四边形、圆等基本图形为背景，以某条变化的线段的长度为自变量，构建二次函数模型求解．
【典例1】　（2024秋 增城区校级月考）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者好评，某超市每天购进一批成本价为6元的该大米，以不低于成本价且不超过125元的价格销售．当售价为8元时．每天售出大米；当售价为9元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的质量与售价（元满足一次函数关系．
（1）请写出与的函数关系式；
（2）当售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到3500元；
（3）当售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【答案】（1）；
（2）当售价定为11元时，利润可达到3500元；
（3）当售价定为12元时，每天获利最大，最大利润为3600元．
【分析】（1）设与的函数关系式为，将，代入即可解得、，从而得到与的函数关系式；
（2）由（售价成本价）每天销售大米的质量利润可得关于的一元二次方程，求解后根据的取值范围即可得解；
（3）设利润为元，由（售价成本价）每天销售大米的质量利润推得，则根据二次函数的图象和性质可得当时，有最大值，每天获利最大，最大利润为3600元．
【解答】解：（1）设与的函数关系式为，
根据题意得，该函数经过点，，
将，代入，
得，
解得，
与的函数关系式为；
（2）根据题意，得，
，
解得，，
售价不低于成本单价且不超过12.5元，
当售价定为11元时，利润可达到3500元．
（3）设利润为元，根据题意得：
，
，，
当时，有最大值，此时，
当售价定为12元时，每天获利最大，最大利润为3600元．
【典例2】　（2024秋 邹平市校级月考）已知是关于的二次函数．
（1）求满足条件的的值；
（2）为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点；
（3）为何值时，函数有最大值？最大值是多少？
【答案】（1）；
（2），抛物线有最低点，；
（3），抛物线有最大值，其最大值为．
【分析】（1）根据二次函数的定义求出的值即可解决问题；
（2）运用“当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，据此解答便可；
（3）运用“当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，图象有最高点，据此解答便可．
【解答】解：（1）是关于的二次函数
，
解得．
当时，是二次函数．
（2）开口向上，
，
即，
根据第（1）问得，
．
该抛物线的解析式为，
最低点为，
故当时有最低点，坐标为，
（3）根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下，
，
即，
根据第（1）问得，
．
该抛物线的解析式为，
其函数最大值为，
故当时有最大值，其最大值为．
【典例3】　（2024 徐州）如图，、为一次函数的图象与二次函数的图象的公共点，点、的横坐标分别为0、4．为二次函数的图象上的动点，且位于直线的下方，连接、．
（1）求、的值；
（2）求△的面积的最大值．
【答案】（1），5；
（2）8．
【分析】（1）先求出，的坐标，再用待定系数法求出，；
（2）由（1）可得：，设，作，交于，则，则，得出面积，即可解答．
【解答】解：（1）当时，；当时，，则，，
则，
解得：；
（2）由（1）可得：，设，作，交于，
则，则，
，
当时，最大值为8．
【典例4】　（2023秋 庆云县期末）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）如果筝形的两条对角线长分别为、，求筝形的面积？
（2）已知筝形的对角线，的长度为整数值，且满足．试求当，的长度为多少时，筝形的面积有最大值，最大值是多少？
【答案】（1）；
（2）当，时，有最大值，最大值为．
【分析】（1）由和可得出点和点都在的垂直平分线上，推导出，即可解决问题．
（2）设的长为，用表示出筝形的面积，再求最值即可．
【解答】解：（1），
点在的垂直平分线上．
同理点在的垂直平分线上．
垂直平分．
．
，
，
．
又筝形的两条对角线长分别为，，
．
（2）令 ，则 ，
由（1）知，
，
又，的长度为整数值，
则当时，
有最大值，最大值为．
此时．
即当，时，有最大值，最大值为．
二次函数的最值：一般地，当a>0（a<0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（最高）点，也就是说，当x=时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（最大）值，最小（最大）值为．
■易错点01 动态几何问题
利用二次函数解决动态几何问题解决动态几何问题时，可先观察图形运动的整个过程，找出这一过程中变化的量与不变的量，再根据这些量之间的关系构造适当的数学模型．
【典例1】　（2023秋 宜州区期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向点以的速度移动（不与点重合）．如果，两点分别从，两点同时出发．
（1）求出的面积随出发时间的函数解析式；
（2）求经过多少秒，四边形的面积最小？最小值是多少？
【答案】（1）；
（2）当时，四边形面积最小，最小值是08．
【分析】（1）根据题意可以分别得到和的长，从而可表示出三角形的面积，从而可以明确的面积随出发时间如何变化以及以的函数关系式；
（2）四边形的面积，当时，有最小值．
【解答】解：（1）由题意得：，
，
；
（2）四边形的面积，
，
．
当时，四边形面积最小，最小值是08．
【典例2】　（2023秋 游仙区期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点出发，沿边以的速度向点移动．已知、两点分别从点，同时出发．问：
（1）经过几秒，的面积等于？
（2）五边形的面积最小值是多少？
【答案】（1）经过4秒或2秒，的面积等于；
（2）最小值为．
【分析】（1）设经过秒，的面积等于，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（2）设经过秒，五边形的面积最小，根据题意得出五边形的面积表达式，求出其最小值即可．
【解答】解：（1）设经过秒，的面积等于，
，，点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点出发，沿边以的速度向点移动，
，，
的面积，
解得或2，
经过4秒或2秒，的面积等于；
（2）设经过秒，五边形的面积最小，
由（1）知，的面积，
五边形的面积
，
当时，五边形的面积最小，最小值为．
【典例3】　（2023秋 新会区校级期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．如果，两点同时出发，分别到达，两点后就停止移动．
（1）设运动开始第后，四边形的面积为，写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（2）为何值时，最小？最小值是多少？
【答案】（1）；（2）3．
【分析】（1）根据秒时，、两点的运动路程，分别表示、的长度，可得的面积，用求面积即可；
（2）将（1）中所求函数式配方，可得函数的最小值．
【解答】解：（1），，，
，，
，
即：；
（2）；
，
当时，最小，最小值是27．
【典例4】　（2023秋 浦北县校级月考）如图，在△中，，，，动点以的速度从点开始沿边向点移动，动点以的速度从点开始沿边向点移动，若、两点分别从，两点同时出发，设运动时间为．
（1）　　，　　，　　；（用含的式子表示）
（2）为何值时，△的面积为；
（3）为何值时，△的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1） ，， ；
（2）2或4；
（3）3，．
【分析】（1）根据路程速度时间，求出和，然后再根据求出即可；
（2）根据直角三角形的面积两条直角边乘积的一半，列出关于的一元二次方程，解方程求出即可；
（3）根据直角三角形的面积公式求出△的面积，从而得到△的面积与时间的二次函数解析式，再把解析式化成顶点式
【解答】解：（1）由题意可知： ， ，
，，
，
故答案为： ，， ；
（2），
△的面积，
，
，
，
，
，
，，
解得：或4，
当或4时，△的面积为；
（3）△的面积
，
当时，△的面积最大，最大面积为．
要同时关注特殊情形，通过特殊情形逐步过渡到一般情形，从而找到解题的方法．中小学教育资源及组卷应用平台
22.3 实际问题与二次函数
■重点01 销售利润问题
二次函数与利润最大问题 （1）调整价格分涨价和降价． （2）总利润=单件商品的利润×销售量． （3）商品价格上涨，销售量会随之下降；商品价格下降，销售量会随之增加．两种情况都会导致利润的变化．
【典例1】　（2024秋 闽侯县期中）某商品每件进价20元，销售期间发现，当售价为25元时，每天可售出120个，销售单价每降价1元，每天销量增加10个，现商家决定降价销售，每个降价元，设每天销售量为个，每天销售商品获得的利润元，则下列函数关系式正确的是　　
A． B．
C． D．
【典例2】　（2024秋 蜀山区校级期中）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加2件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元，主播每天的利润为（元，则与之间的函数解析式为　　
A． B．
C． D．
【典例3】　（2024秋 津南区期中）某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查反映：若每千克涨价1元，每天销售量减少20千克，设每千克涨价（单位：元），且，每天售出商品的利润为（单位：元），则与的函数关系式是　　
A． B．
C． D．
【典例4】　（2024秋 江夏区校级期中）某超市销售一种成本为20元件的商品，若某个月的第天为整数）的售价与销量的相关信息如下表所示：
第天 售价（元件） 日销售量（件
设销售该商品的日销售利润为元．
（1）直接写出与的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大？最大日销售利润为多少元？
（3）如果超市每销售一件商品，就捐赠元给希望工程，若仅在第15天销售利润额达到最大值，求的取值范围．
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
■重点02 抛物线形问题
用二次函数解决抛物线形问题 （1）建立恰当的平面直角坐标系； （2）将已知条件转化为点的坐标，正确写出关键点的坐标； （3）合理地设出函数解析式； （4）将点的坐标代入函数解析式求出解析式； （5）利用解析式求解．
【典例1】　（2024秋 大连期中）如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线（单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为　　
A．7米 B．6米 C．5米 D．4米
【典例2】　（2024秋 温州期中）某弹性小球从地面以初速度v（米/秒）竖直向上抛出，其高度h（米）与时间t（秒）的关系为h＝vt﹣4.9t2．当初速度为v1时，达到最大高度h1后落回地面用时t1（如图1）；落地后再次以初速度v2竖直向上弹起至最大高度h2再落回地面用时t2（如图2）．已知h1：h2＝5：2，则v1：v2的值为（　　）
A．5：2 B． C．3：2 D．
【典例3】　（2024秋 长安区校级期中）小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【典例4】　（2024秋 长安区校级期中）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有函数关系．
（1）求小球飞行时的高度．
（2）小球的飞行高度能否达到？请说明理由．
1．在解题过程中要充分利用抛物线的对称性，同时要注意对数形结合思想的应用． 2．利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
■重点03 图形面积问题
求面积最大（小）值问题，常以三角形、四边形、圆等基本图形为背景，以某条变化的线段的长度为自变量，构建二次函数模型求解．
【典例1】　（2024秋 河西区期中）如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了20米木栏．
（Ⅰ）若米，所围成的矩形菜园的面积为32平方米，求利用旧墙的长；
（Ⅱ）若米，求矩形菜园面积的最大值．
【典例2】　（2024秋 和平区期中）用一条长的绳子围成一个矩形．
（Ⅰ）若围成的矩形面积为，求该矩形的长和宽．
能围成一个面积为的矩形吗？若能，求出它的长和宽．若不能，请求出能围成矩形的最大面积．
【典例3】　（2024秋 海珠区校级期中）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米．
（1）设苗圃园的面积为，求与的函数关系式，写出自变量的取值范围；
（2）当为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？
【典例4】　（2024秋 平湖市期中）如图是一块篱笆围成的矩形土地，并且由一条与边平行的篱笆分开，已知篱笆的总长为90米（厚度不计）．设米，米．
（1）用含有的代数式表示．
（2）设矩形土地面积为平方米，当时，求的最大值．
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案等．
■难点01 建立二次函数模型解决实际问题
建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤： （1）审题； （2）找出题中的已知量和未知量； （3）用一个未知量表示题中的其他未知量； （4）找出等量关系并列出函数解析式； （5）利用二次函数的图象及性质去分析、解决实际问题．
【典例1】　（2023秋 天山区校级期中）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价元为整数），每个月的销售量为件．
（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；
（2）设每月的销售利润为，请直接写出与的函数关系式．
【典例2】　（2024 庐阳区校级四模）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年一季度新产品的研发资金（万元）关于的函数关系式为　　
A． B．
C． D．
【典例3】　（2024秋 官渡区校级期中）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为　　
A． B． C． D．
【典例4】　（2024秋 宁波期中）杭州某地种植有机蔬菜，已知某种蔬菜的销售单价（元与销售月份之间的关系满足，每千克成本（元与销售月份之间的关系如图所示，图象为抛物线，其最低点坐标是．（其中是满足的整数）
（1）问：2月份每千克蔬菜成本是多少？
（2）判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求最大收益．
应用二次函数解决实际问题的基本思路： ①理解题意； ②分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系； ③用函数解析式表示它们之间的关系； ④用数学方法求解； ⑤检验结果的合理性．
■难点02 二次函数的最值问题
求面积最大（小）值问题，常以三角形、四边形、圆等基本图形为背景，以某条变化的线段的长度为自变量，构建二次函数模型求解．
【典例1】　（2024秋 增城区校级月考）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者好评，某超市每天购进一批成本价为6元的该大米，以不低于成本价且不超过125元的价格销售．当售价为8元时．每天售出大米；当售价为9元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的质量与售价（元满足一次函数关系．
（1）请写出与的函数关系式；
（2）当售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到3500元；
（3）当售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【典例2】　（2024秋 邹平市校级月考）已知是关于的二次函数．
（1）求满足条件的的值；
（2）为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点；
（3）为何值时，函数有最大值？最大值是多少？
【典例3】　（2024 徐州）如图，、为一次函数的图象与二次函数的图象的公共点，点、的横坐标分别为0、4．为二次函数的图象上的动点，且位于直线的下方，连接、．
（1）求、的值；
（2）求△的面积的最大值．
【典例4】　（2023秋 庆云县期末）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）如果筝形的两条对角线长分别为、，求筝形的面积？
（2）已知筝形的对角线，的长度为整数值，且满足．试求当，的长度为多少时，筝形的面积有最大值，最大值是多少？
二次函数的最值：一般地，当a>0（a<0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（最高）点，也就是说，当x=时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（最大）值，最小（最大）值为．
■易错点01 动态几何问题
利用二次函数解决动态几何问题解决动态几何问题时，可先观察图形运动的整个过程，找出这一过程中变化的量与不变的量，再根据这些量之间的关系构造适当的数学模型．
【典例1】　（2023秋 宜州区期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向点以的速度移动（不与点重合）．如果，两点分别从，两点同时出发．
（1）求出的面积随出发时间的函数解析式；
（2）求经过多少秒，四边形的面积最小？最小值是多少？
【典例2】　（2023秋 游仙区期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点出发，沿边以的速度向点移动．已知、两点分别从点，同时出发．问：
（1）经过几秒，的面积等于？
（2）五边形的面积最小值是多少？
【典例3】　（2023秋 新会区校级期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．如果，两点同时出发，分别到达，两点后就停止移动．
（1）设运动开始第后，四边形的面积为，写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（2）为何值时，最小？最小值是多少？
【典例4】　（2023秋 浦北县校级月考）如图，在△中，，，，动点以的速度从点开始沿边向点移动，动点以的速度从点开始沿边向点移动，若、两点分别从，两点同时出发，设运动时间为．
（1）　　，　　，　　；（用含的式子表示）
（2）为何值时，△的面积为；
（3）为何值时，△的面积最大？最大面积是多少？
要同时关注特殊情形，通过特殊情形逐步过渡到一般情形，从而找到解题的方法．

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