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23.1 图形的旋转
■重点01 生活中的旋转现象
旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．
【典例1】　（2024秋 石家庄期中）下列运动不属于旋转的是　　
A．大风车转动 B．火箭升空的运动
C．关上教室门 D．钟表的钟摆的摆动
【答案】
【分析】根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：．大风车转动，是旋转现象，故本选项不符合题意；
．火箭升空的运动，是平移现象，故本选项符合题意；
．关上教室门，是旋转现象，故本选项不符合题意；
．钟表的钟摆的摆动，是旋转现象，故本选项不符合题意．
故选：．
【典例2】　（2024秋 兴宁区校级期中）下列选项中，属于旋转的是　　
A．电梯升降的过程 B．火箭升空的过程
C．雨滴下落的过程 D．幸运大转盘转动的过程
【答案】
【分析】根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：．电梯升降的过程，是平移现象，故本选项不符合题意；
．火箭升空的过程，是平移现象，故本选项不符合题意；
．雨滴下落的过程，是平移现象，故本选项不符合题意；
．幸运大转盘转动的过程，是旋转现象，故本选项符合题意意．
故选：．
【典例3】　（2024秋 浙江期中）下列现象不是旋转的是　　
A．飞速旋转的电风扇 B．坐电梯从1楼到10楼
C．言言在荡秋千 D．关上教室门
【答案】
【分析】根据旋转的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：、飞速旋转的电风扇，属于旋转，故不符合题意；
、坐电梯从1楼到10楼，属于平移，故符合题意；
、言言在荡秋千，属于旋转，故不符合题意；
、关上教室门，属于旋转，故不符合题意；
故选：．
【典例4】　（2024秋 香洲区校级期中）下列运动属于旋转的是　　
A．足球在草地上滚动 B．火箭升空的运动
C．汽车在急刹车时向前滑行 D．钟表的钟摆摆动的过程
【答案】
【分析】平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转．据此进行判断即可．
【解答】解：．足球在草地上滚动不属于旋转，故此选项错误；
．火箭升空的运动属于平移，故此选项错误；
．汽车在急刹车时向前滑行属于平移，故此选项错误；
．钟表的钟摆摆动的过程属于旋转，故此选项正确．
故选：．
（1）旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键． （2）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形．
■重点02 旋转的相关概念
1．对应点：如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做旋转的对应点． 2．旋转的三要素： （1）旋转中心：旋转过程中的不动点； （2）旋转方向：分顺时针和逆时针两种； （3）旋转角度：转动的角．
【典例1】　（2024秋 连江县期中）如图，在的正方形网格中，△绕某点旋转一定的角度，得到△，则其旋转中心可能是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】连接、、，分别作、、的垂直平分线，看看三线都过哪个点，那个点就是旋转中心．
【解答】解：旋转中心是点，
理由：△绕某点旋转一定的角度，得到△，
连接、、，
作的垂直平分线过，，
作的垂直平分线过，
作的垂直平分线过，，
三条线段的垂直平分线正好都过，
即旋转中心是点．
故答案为：．
【典例2】　（2024秋 越秀区校级期中）如图，已知点，，，，连接，，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点与点重合，点与点重合），则这个旋转中心的坐标为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】画出平面直角坐标系，作出新的，的垂直平分线的交点，点即为旋转中心．
【解答】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是点，，
故选：．
【典例3】　（2024 同心县模拟）在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点，，，中，可能是旋转中心的是　　
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】
【分析】连接、、，作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交点为旋转中心．
【解答】解：
连接、、，作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交到在处，所以可知旋转中心的是点．
故选：．
【典例4】　（2024秋 栾城区期中）如图所示，将一个含角的直角三角板绕点旋转，使得点，，在同一条直线上，则三角板旋转的角度是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．
【解答】解：旋转角是．
故选：．
旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
■重点03 旋转的性质即简单应用
1．图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度． 2．对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等． 3．图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置．
【典例1】　（2024秋 福清市期中）如图，在△中，，将△绕点逆时针旋转得到△．当恰好落在上时，连接，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由旋转的性质可得，，即可求解．
【解答】解：将△绕点逆时针旋转得到△，
，，
，
故选：．
【典例2】　（2024秋 大兴区期中）如图，在△中，，将△绕点逆时针方向旋转得到△．若点恰好落在边上，则度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据旋转的性质得到，，，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：将△绕点逆时针方向旋转得到△．若点恰好落在边上，
，，，
，
，
，
，
故选：．
【典例3】　（2024 清镇市校级模拟）如图，将绕点顺时针旋转得到△，若点，，共线，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用旋转的性质和三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：将绕点顺时针旋转 得到△，且点，，共线，
，，
．
故选：．
【典例4】　（2024秋 越秀区校级期中）如图，△是由△绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为　　
A． B． C． D．无法确定
【答案】
【分析】先由旋转得△△，，则，因为，所以，代入计算，即可作答．
【解答】解：△是由△绕点按逆时针方向旋转得到的．，
由旋转的性质得：△△，
，
由全等的性质可知，，
，
，
故选：．
1．利用图形旋转主要解决一些数字问题，比如角度问题、线段问题、面积问题．在解决实际问题时需把握以下几点： （1）找准旋转中的“变”与“不变”； （2）找准旋转前后的“对应关系”； （3）充分挖掘旋转过程中线段之间的关系． 2．旋转中心的确定方法 确定旋转中心时，先看旋转中心是在图形上还是在图形外．如果是在图形上，哪一点在旋转过程中位置没有改变，哪一点就是旋转中心；如果是在图形外，对应点线段的垂直平分线的交点就是旋转中心．旋转的角度就是对应线段的夹角或对应点与旋转中心连线的夹角．
■难点 利用旋转的性质进行探究
旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等． （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． （3）旋转前、后的图形全等．
【典例1】　（2024秋 大兴区期中）已知，△是等腰三角形，，是△内的任意一点，连接，，．
（1）如图1，，，将△绕点顺时针旋转得到△．点恰好落在所在的直线上，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，设，．当 　　， 　　时，有最小值．
【答案】（1）．理由见解答过程；
（2）120，120．
【分析】（1）①根据旋转变换的性质，勾股定理解答；
（2）将△绕点按顺时针方向旋转得△，连接，根据等边三角形的性质解答．
【解答】解：（1）△绕点按顺时针方向旋转得△，
△△，．
，，．
△是等边三角形，
，，
，，
，
，．
．
在△中，，
．
．
（2）如图2，当时，有最小值．理由如下：
作图如图2，
将△绕点按顺时针方向旋转得△，连接．
△△，．
，，，．
△是等边三角形．
，．
，
．
四点，，，共线．
时值最小．
当时，有最小值，
故答案为：120，120．
【典例2】　（2024秋 丽水期中）如图，点在正方形的边上，将△绕点顺时针旋转到△的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．
（1）求证：垂直平分；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）的长是．
【分析】（1）由旋转得，因为于点，所以，则垂直平分；
（2）连接，由四边形是正方形，，，得，，由旋转得，，则点在的延长线上，由，且，，得，求得，则．
【解答】（1）证明：将△绕点顺时针旋转得到△，
，
于点，
，
垂直平分．
（2）解：连接，
四边形是正方形，，，
，，
由旋转得，，
，
点在的延长线上，
，且，，
，
解得，
，
的长是．
【典例3】　（2024秋 台江区期中）如图，将△绕点逆时针旋转得到△，点在线段上，的延长线与交于点，连接、，，．
（1）求证：；
（2）猜想线段、的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）；证明见解答过程．
【分析】（1）根据旋转的性质，首先证得△是等边三角形，得出，因为，根据平行线的判定即可证得；
（2）证得△△，得到，根据等腰三角形三线合一的性质得出，然后根据所对的直角边等于斜边的一半，即可证得．
【解答】（1）证明：，，
△是等边三角形，
，
，
；
（2）解：．
证明：△是等边三角形，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
．
【典例4】　（2024秋 青山区期中）如图，在△中，，，将△绕点顺时针旋转得到△，点恰好落在边上．
（1）求的值；
（2）点是边上一点，，连接．当 　　时，四边形为平行四边形．
【答案】（1）60；
（2）．
【分析】（1）先根据旋转的性质得到，，再证明△为等边三角形得到，从而得的值；
（2）先根据旋转的性得到，，再证明，根据平行四边形的判定方法，当时，四边形为平行四边形，接着△中利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，所以，从而得到的值．
【解答】解：（1）△绕点顺时针旋转得到△，点恰好落在边上，
，，
，
△为等边三角形，
，
即的值为60；
（2）△绕点顺时针旋转得到△，
，，
，
，
当时，四边形为平行四边形，
在△中，，，
，
，
，
．
故答案为：．
1．当旋转角是特殊角时，对应点和旋转中心的连线可以组成特殊的三角形．如当旋转角为60°时，组成的是等边三角形；当旋转角为90°时，组成的是等腰直角三角形． 2．旋转中心的确定方法 （1）确定两对对应点； （2）分别作两对对应点所连线段的垂直平分线； （3）两条垂直平分线的交点即为旋转中心．
■易错点 旋转对称图形
1．旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． 2．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
【典例1】　（2024 汉川市模拟）把如图所示的五角星图案，绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合．则旋转角至少为　　
A． B． C． D．
【分析】五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而、、都错误，能与其自身重合的是．
故选：．
【典例2】　（2024春 长春期末）风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转　　度．
A．60 B．120 C．180 D．270
【答案】
【分析】该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合．
【解答】解：该图形被平分成三部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合，
故的最小值为120．
故选：．
【典例3】　（2024秋 高碑店市月考）如图，点为正方形的中心，将正方形绕点顺时针旋转，要使其旋转后能与自身重合，至少需要旋转　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据正方形中心角的求法解答即可．
【解答】解：由题意可知：要满足要求，至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数是，
故选：．
【典例4】　（2024 郑州模拟）如果一个四边形绕对角线交点旋转，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是　　
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】
【分析】根据旋转对称图形的定义和正方形的判定作答．
【解答】解：由题意可得，此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形．
故选：．
1．图形的旋转 把一个图案进行旋转，选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，同一个图案会出现不同的效果． 2．旋转作图的基本步骤 （1）明确旋转中心、旋转方向和旋转角． （2）找出原图形中的关键点． （3）作出关键点经旋转后的对应点． （4）按原图形中各关键点的排列规律，将旋转后的对应点连成一个新的图形．中小学教育资源及组卷应用平台
23.1 图形的旋转
■重点01 生活中的旋转现象
旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．
【典例1】　（2024秋 石家庄期中）下列运动不属于旋转的是　　
A．大风车转动 B．火箭升空的运动
C．关上教室门 D．钟表的钟摆的摆动
【典例2】　（2024秋 兴宁区校级期中）下列选项中，属于旋转的是　　
A．电梯升降的过程 B．火箭升空的过程
C．雨滴下落的过程 D．幸运大转盘转动的过程
【典例3】　（2024秋 浙江期中）下列现象不是旋转的是　　
A．飞速旋转的电风扇 B．坐电梯从1楼到10楼
C．言言在荡秋千 D．关上教室门
【典例4】　（2024秋 香洲区校级期中）下列运动属于旋转的是　　
A．足球在草地上滚动 B．火箭升空的运动
C．汽车在急刹车时向前滑行 D．钟表的钟摆摆动的过程
（1）旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键． （2）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形．
■重点02 旋转的相关概念
1．对应点：如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做旋转的对应点． 2．旋转的三要素： （1）旋转中心：旋转过程中的不动点； （2）旋转方向：分顺时针和逆时针两种； （3）旋转角度：转动的角．
【典例1】　（2024秋 连江县期中）如图，在的正方形网格中，△绕某点旋转一定的角度，得到△，则其旋转中心可能是　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 越秀区校级期中）如图，已知点，，，，连接，，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点与点重合，点与点重合），则这个旋转中心的坐标为　　
A． B． C． D．
【典例3】　（2024 同心县模拟）在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点，，，中，可能是旋转中心的是　　
A．点 B．点 C．点 D．点
【典例4】　（2024秋 栾城区期中）如图所示，将一个含角的直角三角板绕点旋转，使得点，，在同一条直线上，则三角板旋转的角度是　　
A． B． C． D．
旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
■重点03 旋转的性质即简单应用
1．图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度． 2．对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等． 3．图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置．
【典例1】　（2024秋 福清市期中）如图，在△中，，将△绕点逆时针旋转得到△．当恰好落在上时，连接，则的度数为　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 大兴区期中）如图，在△中，，将△绕点逆时针方向旋转得到△．若点恰好落在边上，则度数为　　
A． B． C． D．
【典例3】　（2024 清镇市校级模拟）如图，将绕点顺时针旋转得到△，若点，，共线，则的度数为　　
A． B． C． D．
【典例4】　（2024秋 越秀区校级期中）如图，△是由△绕点按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为　　
A． B． C． D．无法确定
1．利用图形旋转主要解决一些数字问题，比如角度问题、线段问题、面积问题．在解决实际问题时需把握以下几点： （1）找准旋转中的“变”与“不变”； （2）找准旋转前后的“对应关系”； （3）充分挖掘旋转过程中线段之间的关系． 2．旋转中心的确定方法 确定旋转中心时，先看旋转中心是在图形上还是在图形外．如果是在图形上，哪一点在旋转过程中位置没有改变，哪一点就是旋转中心；如果是在图形外，．旋转的角度就是对应线段的夹角或对应点与旋转中心连线的夹角．
■难点 利用旋转的性质进行探究
旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等． （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． （3）旋转前、后的图形全等．
【典例1】　（2024秋 大兴区期中）已知，△是等腰三角形，，是△内的任意一点，连接，，．
（1）如图1，，，将△绕点顺时针旋转得到△．点恰好落在所在的直线上，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，设，．当 　　， 　　时，有最小值．
【典例2】　（2024秋 丽水期中）如图，点在正方形的边上，将△绕点顺时针旋转到△的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．
（1）求证：垂直平分；
（2）若，，求的长．
【典例3】　（2024秋 台江区期中）如图，将△绕点逆时针旋转得到△，点在线段上，的延长线与交于点，连接、，，．
（1）求证：；
（2）猜想线段、的数量关系，并证明你的猜想．
【典例4】　（2024秋 青山区期中）如图，在△中，，，将△绕点顺时针旋转得到△，点恰好落在边上．
（1）求的值；
（2）点是边上一点，，连接．当 　　时，四边形为平行四边形．
1．当旋转角是特殊角时，对应点和旋转中心的连线可以组成特殊的三角形．如当旋转角为60°时，组成的是等边三角形；当旋转角为90°时，组成的是等腰直角三角形． 2．旋转中心的确定方法 （1）确定两对对应点； （2）分别作两对对应点所连线段的垂直平分线； （3）两条垂直平分线的交点即为旋转中心．
■易错点 旋转对称图形
1．旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． 2．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
【典例1】　（2024 汉川市模拟）把如图所示的五角星图案，绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合．则旋转角至少为　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024春 长春期末）风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转　　度．
A．60 B．120 C．180 D．270
【典例3】　（2024秋 高碑店市月考）如图，点为正方形的中心，将正方形绕点顺时针旋转，要使其旋转后能与自身重合，至少需要旋转　　
A． B． C． D．
【典例4】　（2024 郑州模拟）如果一个四边形绕对角线交点旋转，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是　　
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
1．图形的旋转 把一个图案进行旋转，选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，同一个图案会出现不同的效果． 2．旋转作图的基本步骤 （1）明确旋转中心、旋转方向和旋转角． （2）找出原图形中的关键点． （3）作出关键点经旋转后的对应点． （4）按原图形中各关键点的排列规律，将旋转后的对应点连成一个新的图形．

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