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23.2 中心对称
23.3 课题学习 图案设计
■重点01 中心对称图形
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是对称中心． 如线段和平行四边形是最常见的中心对称图形．线段的对称中心是它的中点，平行四边形的对称中心是它两条对角线的交点．
【典例1】　（2024秋 长乐区期中）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中不是中心对称图形的是　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 周至县期中）下列图形中，是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【典例3】　（2024秋 长寿区校级期中）如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【典例4】　（2024 雨花区一模）下列图形中，是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
1．中心对称与中心对称图形的区别与联系 区别联系中心对称（1）针对两个图形而言； （2）是指两个图形的位置关系； （3）对称点在两个图形上； （4）对称中心可能在图形的外部，也可能在图形的内部或图形上（1）都是把图形旋转180°后能重合． （2）两者可以相互转化，如果把成中心对称的两个图形看成一个整体，那么这“一个”图形就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成“两个”图形，那么这“两个”图形成中心对称中心对称图形（1）针对一个图形而言； （2）是指具有某种性质的一个图形； （3）对称点在一个图形上； （4）对称中心可能在图形的内部
2．旋转图形中的角和“棱”都是偶数． 3．判断一个图形是不是中心对称图形的依据： （1）围绕某点；（2）旋转180°；（3）与本身重合．
■重点02 中心对称
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称． 这个点叫做对称中心（简称中心）．这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点．
【典例1】　（2024秋 浦北县期中）如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是　　
A． B．
C． D．点与点是对应点
【典例2】　（2023秋 莱州市期末）下列各图中，四边形是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是　　
A． B．
C． D．
【典例3】　（2024秋 南昌期中）如图，与△成中心对称，是的中位线，是△的中位线，已知，则　　．
【典例4】　（2024秋 罗定市期中）如图，已知△与△关于点中心对称，若，则的长为　　．
方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心． 方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的交点即是对称中心．
■重点03 关于原点对称的点的坐标
1．两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标都互为相反数．即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（–x，–y）． 2．第一象限内的点关于原点的对称点在第三象限，第二象限内的点关于原点的对称点在第四象限．坐标轴上的点关于原点的对称点仍在坐标轴上．
【典例1】　（2023秋 荔湾区期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 江南区期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是　　
A． B． C． D．
【典例3】　（2024秋 海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则的值为　　
A． B． C．1 D．3
【典例4】　（2024春 东坡区期末）在平面直角坐标系中，已知点，下列说法不正确的是　　
A．点在第四象限
B．点关于轴的对称点的坐标为
C．点关于轴的对称点的坐标为
D．点关于原点的对称点的坐标为
求一个点关于原点的对称点，横、纵坐标都变为原来的相反数．
■难点 在平面直角坐标系中利用中心对称作图
1．一般步骤 （1）定，确定对称中心； （2）连，连接各关键点与对称中心； （3）延，延长（2）中的连线； （4）截，截取等长线段，确定对称点； （5）画，按照原图形依次连接各对称点，即可得到已知图形的对称图形． 2．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
【典例1】　（2024秋 长寿区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△的三个顶点分别为，，．
（1）请画出△关于轴对称的△；
（2）请画出△关于原点对称的△；
（3）请直接写出点的坐标；
（4）请求出△的面积．
【典例2】　（2024秋 西工区期中）如图，是正方形的边上一点，把△绕点顺时针旋转得到△．
（1）请用尺规作图作出旋转后的△（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，若，求正方形的面积．
【典例3】　（2024秋 湖里区校级期中）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△的顶点均在格点上，点为原点，点，的坐标分别是、．
（1）作出△关于原点的对称△，则点的坐标为 　　；
（2）将△绕点逆时针旋转后得到△，请在图中作出△，并求出这时点的坐标为 　　．
【典例4】　（2024秋 思明区校级期中）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1，小正方形的顶点叫做格点），△的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）画出△绕点逆时针旋转的△，并写出点的对应点的坐标为 　　；
（2）画出△关于点成中心对称的△，并写出点的对应点的坐标为 　　．
一般步骤如下： （1）确定对称中心； （2）确定原图形的各个关键点（如三角形的各顶点）； （3）作出各个关键点关于对称中心的对称点； （4）顺次连接作出的各个对称点，即可得到要求作的图形．
■易错点 利用中心对称等分面积
利用中心对称，合理进行分割．
【典例1】　（2024秋 中山市期中）请你画出一条直线，把如图所示的平行四边形和圆两个图形分成面积相等的两部分（保留作图痕迹）．
【典例2】　（2024春 保定期末）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
（1）如图①，直线经过平行四边形对角线的交点，则__（填“”“ ”“ ” ；
（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，为小正方形对角线的交点，求作过点的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）．
【典例3】　（2024 平顶山二模）如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作关于点对称的△；
（2）在图2中，作绕点逆时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△；
（3）在图3中，找出格点并画出直线，使直线将分成面积相等的两部分．
【典例4】　（2023 未央区校级三模）有一块方角形钢板如图所示，如何用一条直线将其分为面积相等的两部分．
由两个中心对称图形组合而成的图形，等分面积时，往往连接两个对称中心．中小学教育资源及组卷应用平台
23.2 中心对称
23.3 课题学习 图案设计
■重点01 中心对称图形
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是对称中心． 如线段和平行四边形是最常见的中心对称图形．线段的对称中心是它的中点，平行四边形的对称中心是它两条对角线的交点．
【典例1】　（2024秋 长乐区期中）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．如图为部分“卦”的符号，其中不是中心对称图形的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：根据中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，
可知、、是中心对称图形，不是中心对称图形．
故选：．
【典例2】　（2024秋 周至县期中）下列图形中，是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
选项、、中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
【典例3】　（2024秋 长寿区校级期中）如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
．图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
．图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意，
故选：．
【典例4】　（2024 雨花区一模）下列图形中，是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：选项、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：．
1．中心对称与中心对称图形的区别与联系 区别联系中心对称（1）针对两个图形而言； （2）是指两个图形的位置关系； （3）对称点在两个图形上； （4）对称中心可能在图形的外部，也可能在图形的内部或图形上（1）都是把图形旋转180°后能重合． （2）两者可以相互转化，如果把成中心对称的两个图形看成一个整体，那么这“一个”图形就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成“两个”图形，那么这“两个”图形成中心对称中心对称图形（1）针对一个图形而言； （2）是指具有某种性质的一个图形； （3）对称点在一个图形上； （4）对称中心可能在图形的内部
2．旋转图形中的角和“棱”都是偶数． 3．判断一个图形是不是中心对称图形的依据： （1）围绕某点；（2）旋转180°；（3）与本身重合．
■重点02 中心对称
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称． 这个点叫做对称中心（简称中心）．这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点．
【典例1】　（2024秋 浦北县期中）如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是　　
A． B．
C． D．点与点是对应点
【答案】
【解答】解：与关于点成中心对称，
，
与为对应点，不符合题意；
对应点到对称中心的距离相等，
，不符合题意；
，，，
，
，不符合题意；
通过观察图象，可得与不是平行关系，符合题意，
故选：．
【典例2】　（2023秋 莱州市期末）下列各图中，四边形是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：根据中心对称的定义可知，选项中阴影部分两个三角形成中心对称．
故选：．
【典例3】　（2024秋 南昌期中）如图，与△成中心对称，是的中位线，是△的中位线，已知，则　　．
【答案】2．
【解答】解：与△成中心对称，
△，
，
是△的中位线，
．
故答案为：2．
【典例4】　（2024秋 罗定市期中）如图，已知△与△关于点中心对称，若，则的长为　　．
【答案】6．
【解答】解：根据题意可知，已知△与△关于点中心对称，，
△△，
，
．
故答案为：6．
方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心． 方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的交点即是对称中心．
■重点03 关于原点对称的点的坐标
1．两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标都互为相反数．即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（–x，–y）． 2．第一象限内的点关于原点的对称点在第三象限，第二象限内的点关于原点的对称点在第四象限．坐标轴上的点关于原点的对称点仍在坐标轴上．
【典例1】　（2023秋 荔湾区期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是：．
故选：．
【典例2】　（2024秋 江南区期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是．
故选：．
【典例3】　（2024秋 海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则的值为　　
A． B． C．1 D．3
【答案】
【解答】解：根据题意可知，
点和点关于原点对称，
，，
．
故选：．
【典例4】　（2024春 东坡区期末）在平面直角坐标系中，已知点，下列说法不正确的是　　
A．点在第四象限
B．点关于轴的对称点的坐标为
C．点关于轴的对称点的坐标为
D．点关于原点的对称点的坐标为
【答案】
【解答】解：．点在第四象限，选项正确，不符合题意；
．点关于轴的对称点的坐标为，选项正确，不符合题意；
．点关于轴的对称点的坐标为，选项正确，不符合题意；
．点关于原点的对称点的坐标为，选项错误，符合题意；
故选：．
求一个点关于原点的对称点，横、纵坐标都变为原来的相反数．
■难点 在平面直角坐标系中利用中心对称作图
1．一般步骤 （1）定，确定对称中心； （2）连，连接各关键点与对称中心； （3）延，延长（2）中的连线； （4）截，截取等长线段，确定对称点； （5）画，按照原图形依次连接各对称点，即可得到已知图形的对称图形． 2．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
【典例1】　（2024秋 长寿区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△的三个顶点分别为，，．
（1）请画出△关于轴对称的△；
（2）请画出△关于原点对称的△；
（3）请直接写出点的坐标；
（4）请求出△的面积．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）．
（4）．
【解答】解：（1）如图，△即为所求．
（2）如图，△即为所求．
（3）由图可得，点的坐标为．
（4）△的面积为．
【典例2】　（2024秋 西工区期中）如图，是正方形的边上一点，把△绕点顺时针旋转得到△．
（1）请用尺规作图作出旋转后的△（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，若，求正方形的面积．
【答案】（1）见解答．
（2）16．
【解答】解：（1）如图，以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，
则△即为所求．
（2）由旋转得，，，
四边形为正方形，
，
即，
，
，
．
在△中，由勾股定理得，，
正方形的面积为．
【典例3】　（2024秋 湖里区校级期中）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△的顶点均在格点上，点为原点，点，的坐标分别是、．
（1）作出△关于原点的对称△，则点的坐标为 　　；
（2）将△绕点逆时针旋转后得到△，请在图中作出△，并求出这时点的坐标为 　　．
【答案】（1）作图见解答过程；；
（2）作图见解答过程；．
【解答】解：（1）如图1，△为所求；
点的坐标为；
故答案为：；
（2）如图2，△为所作；
点的坐标为；
故答案为：．
【典例4】　（2024秋 思明区校级期中）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1，小正方形的顶点叫做格点），△的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）画出△绕点逆时针旋转的△，并写出点的对应点的坐标为 　　；
（2）画出△关于点成中心对称的△，并写出点的对应点的坐标为 　　．
【答案】（1）画图见解答；．
（2）画图见解答；．
【解答】解：（1）如图，△即为所求．
由图可得，点的坐标为．
故答案为：．
（2）如图，△即为所求．
由图可得，点的坐标为．
故答案为：．
一般步骤如下： （1）确定对称中心； （2）确定原图形的各个关键点（如三角形的各顶点）； （3）作出各个关键点关于对称中心的对称点； （4）顺次连接作出的各个对称点，即可得到要求作的图形．
■易错点 利用中心对称等分面积
利用中心对称，合理进行分割．
【典例1】　（2024秋 中山市期中）请你画出一条直线，把如图所示的平行四边形和圆两个图形分成面积相等的两部分（保留作图痕迹）．
【答案】作图见解析部分．
【解答】解：如图，直线即为所求作．
【典例2】　（2024春 保定期末）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
（1）如图①，直线经过平行四边形对角线的交点，则__（填“”“ ”“ ” ；
（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，为小正方形对角线的交点，求作过点的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）．
【解答】解：（1）如图①，直线经过平行四边形对角线的交点，则；
（2）如图所示：
（3）如图所示：
故答案为：．
【典例3】　（2024 平顶山二模）如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作关于点对称的△；
（2）在图2中，作绕点逆时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△；
（3）在图3中，找出格点并画出直线，使直线将分成面积相等的两部分．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）见解答．
【解答】解：（1）如图1，△即为所求．
（2）如图2，△即为所求．
（3）如图3，取格点，使四边形为平行四边形，作直线，交于点，
，
与面积相等，
即直线将分成面积相等的两部分，
则直线即为所求．
【典例4】　（2023 未央区校级三模）有一块方角形钢板如图所示，如何用一条直线将其分为面积相等的两部分．
【解答】解：如图所示，有三种思路：
由两个中心对称图形组合而成的图形，等分面积时，往往连接两个对称中心．

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