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专题2.1.1 直线与圆的位置关系（一）十大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：判断直线与圆的位置关系
【经典例题1】已知的半径为2，直线上有一点．若，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离或相交 C．相离或相切 D．相交或相切
【变式训练1-1】已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
【变式训练1-2】在 ABC中，，平分，交于点O．以点C为圆心，长为半径作，则与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【变式训练1-3】已知的半径为，若直线与圆心的距离为，则直线l与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交或相离 D．相交
【变式训练1-4】如图， 在矩形中，，， 是以为直径的圆，则直线 与的位置关系是 ．
【变式训练1-5】已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系为 （填“相交”、“相切”或“相离”）．
题型二：直线与圆的交点个数
【经典例题2】已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则l与的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式训练2-1】在平面直角坐标系中有两点A，B若在y轴上有一点P，连接，当时，则称点P为线段关于y轴的“半直点”；例：如图点，；则点就是线段关于y轴的一个“半直点”；若点，点，则线段关于y轴的“半直点”个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式训练2-2】已知的半径r为，圆心O到直线l的距离d为，直线l与的公共点个数为（　　）
A．0个 B．1个
C．2个 D．以上都不对
【变式训练2-3】已知的半径等于，圆心到直线上某点的距离为，则直线与的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．1或2 D．0或1
【变式训练2-4】已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与有 个交点．
【变式训练2-5】已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的公共点有 个．
【变式训练2-6】已知的半径为7，直线l与相交，点O到直线l的距离为4，则上到直线l的距离为3的点的个数为 个．
题型三：已知直线与圆的位置关系求半径的取值范围
【经典例题3】如图， ABC中，，，，如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-1】已知在中，，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边有交点，那么r的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
【变式训练3-2】在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是 ．
【变式训练3-3】如图，，，若与射线只有一个交点，则半径r的取值范围是 ．
【变式训练3-4】如图，，点M是射线上一点，，以点M为圆心，r为半径作，若与射线有两个公共点，则半径r的取值范围是 ．
【变式训练3-5】在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的范围是 ．
【变式训练3-6】已知的斜边，直角边，以点为圆心作．
(1)当半径为________时，直线与相切；
(2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________；
(3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________．
题型四：已知直线与圆的位置关系求线段的取值范围
【经典例题4】如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （ ）
13．已知的半径为，直线l与圆有公共点，且直线l和圆心O的距离为 ，则（　　）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】如图，已知是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-2】如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-4】如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 ．
【变式训练4-4】已知的半径为，直线与相交，则圆心到直线距离的取值范围是 ．
【变式训练4-5】如图，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ=90°，则线段CQ的取值范围是 ．
【变式训练4-6】如图，中，，，．点在边上，点是边上一点（不与点、重合），且，则的取值范围是 ．
题型五：已知直线与圆的位置关系求坐标的取值范围
【经典例题5】如图，点P是函数的图象上的一点，的半径为，当与直线有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（ ）

A． B．
C． D．
【变式训练5-1】如图，在平面直角坐标系中，⊙O的直径2，直线AB的函数解析式为y＝x﹣1，交坐标轴于点A和点B，将线段AB作平移变换，使所得的线段的两端都落在⊙O上，则平移后A点所对应的点的坐标是（　　）
A．（，）或（，）B．（，）或（，）
C．（，）或（，）D．（，）或（，）
【变式训练5-2】如图，直线与轴、轴分别相交于A、B两点，点，点，圆心的坐标为，圆与轴相切于点．若将圆沿轴向左移动，当圆与线段有公共点时，令圆心的横坐标为，则的取值范围是 ．

【变式训练5-3】若点在二次函数的图像上，以为圆心，为半径的圆与轴相交，则的取值范围是 ．
【变式训练5-4】如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．

(1)求与直线相切时点的坐标．
(2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围．
题型六：已知直线与圆的位置关系求面积最值问题
【经典例题6】如图，在矩形中，，，点E、F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连结，则四边形面积的最小值为（ ）
A．142 B．96 C．192 D．124
【变式训练6-1】如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【变式训练6-2】如图，已知直线y＝x－3，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最小值是（　 　）
A．6 B． C．5 D．
【变式训练6-3】如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ．
【变式训练6-4】如图，在 AOB中，，点到线段的距离为 ．以点为圆心，以2为半径作优弧，交于点，交于点，点在优弧上从点开始移动，到达点时停止，连接，则面积的取值范围是 ．
【变式训练6-5】如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为4的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最小值为 ．
【变式训练6-6】如图，已知直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A是以为圆心，2为半径的上的一个动点，连接、，则 ABC面积的最小值是 ．
题型七：求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离
【经典例题7】如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（ ）
A． B．1 C．或 D．1或3
【变式训练7-1】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．

【变式训练7-2】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．

【变式训练7-3】如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ．
【变式训练7-4】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　）
A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．1
【变式训练7-5】如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（ ）
A．1 B．5 C．3 D．1或5
题型八：求直线平移到与圆相切时运动的距离
【经典例题8】如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　）
A．1 B．1或2 C．3 D．1或3
【变式训练8-1】如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-2】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心的坐标为（-3，0），将圆沿轴的正方向平移，使得圆与轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．3或6 C．3 D．1或5
【变式训练8-3】已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切
【变式训练8-4】如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移 cm时与⊙O相切．
【变式训练8-5】如图，在中，，，，点为边上动点，过点作垂线交于点当点由点运动至点时，点运动路径长 ．
【变式训练8-6】如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且与点的距离为．如果以的速度，沿由A向B的方向移动，那么 秒种后与直线相切．
题型九：切线的实际应用
【经典例题9】如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（ ）
A．20m B． C． D．10m
【变式训练9-1】小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向树的方向走6里到达城堡边，再往前走4里到达树下．则该城堡的外围直径为（ ）里
A．3 B．6 C．8 D．10
【变式训练9-2】小明对出自秦九韶《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走到达城堡边，再往前走到达树下，则该城堡的外围周长为 ．
【变式训练9-3】某博物馆出土了一件文物，文物长度为，摆放在高度为的展示架上，一老师打算带舞蹈团去参观，舞蹈团的平均身高为，为了保证观看视角最大（视角：人眼与被观看物两边构成的角），栅栏应摆放在距多远的位置？

【变式训练9-4】综合与实践：
任务一：确定弦的长度．如图2，求所对弦的长度．
任务二：设计甲组扇面．如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为．请运用所给工具在中设计与图2相同的扇面，并标出相应数据．
任务三：确定卡纸大小．如图4，乙组利用矩形卡纸，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸的最小规格（即矩形的边长）．
活动主题 扇面制作
活动情景 如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接我市传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2，扇面形状为扇环，且，，．
活动小组 甲组 乙组
制作工具 直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀
制作材料
【变式训练9-5】已知太阳光线与水平线的夹角为（如图），如果一个圆形物体在水平线上形成的影长为米．
(1)请在图所示的直线上画出表示这个圆形物体影长的线段；
(2)求这个圆形物体的半径长．
【变式训练9-6】某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为海里的圆形海域内有暗礁，一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东方向上．
(1)若过点P作于点C，则 ；
(2)求A，P两点之间的距离；
(3)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？请直接写出海监船由B处开始沿南偏东至多 的方向航行能安全通过这一海域．
题型十：切线的应用之最值问题
【经典例题10】如图，在中，，，，D是上一动点，于E，交于点F，则的最大值是（ ）

A． B． C． D．
【变式训练10-1】如图，中，，，D在边上，且，P为形内一点，满足，直线交于点E，当最大时，的长是（ ）
A． B． C． D．6
【变式训练10-2】如图，在 ABC中，，，为中点，则当最大时，的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练10-3】如图，在矩形中，，，P是矩形内部的一个动点，且，连接并延长交于E，则的最大值为 ．

【变式训练10-4】如图，点在数轴上对应的数是，以原点为圆心，的长为半径作优弧，使点在原点的左上方，且，点为的中点，点在数轴上对应的数为4．
(1)求扇形的面积；
(2)点是优弧上任意一点，则求的最大值；
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专题2.1.1 直线与圆的位置关系（一）十大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：判断直线与圆的位置关系
【经典例题1】已知的半径为2，直线上有一点．若，则直线与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离或相交 C．相离或相切 D．相交或相切
【答案】D
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解题的关键．
直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．
【详解】解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于2．
此时和半径2的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能．
故选：D．
【变式训练1-1】已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
【答案】B
【分析】本题主要考查解一元二次方程以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．先解一元二次方程，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案．
【详解】解：，
，
解得，
的半径是，
，
直线与的位置关系是相交．
故选B．
【变式训练1-2】在 ABC中，，平分，交于点O．以点C为圆心，长为半径作，则与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】B
【分析】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．
根据等腰三角形的性质，三线合一即可得，根据三角形切线的判定即可判断是的切线，进而可得与的位置关系．
【详解】如图：
，平分，
，
为的半径，
是的切线，
与的位置关系是相切．
故选：B．
【变式训练1-3】已知的半径为，若直线与圆心的距离为，则直线l与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交或相离 D．相交
【答案】D
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．
【详解】解：根据题意，得
的半径为，若直线与圆心的距离为，
直线和圆相交；
故选：D．
【变式训练1-4】如图， 在矩形中，，， 是以为直径的圆，则直线 与的位置关系是 ．
【答案】相交
【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案．
【详解】解：根据题意为的直径，，
∴的半径为3．
又∵，，
∴则直线 与的位置关系是相交，
故答案为：相交．
【变式训练1-5】已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系为 （填“相交”、“相切”或“相离”）．
【答案】相切
【分析】本题主要考查了直线和圆的位置关系，求出半径为6cm，再根据圆心到直线的距离可得答案．
【详解】根据题意可知半径，圆心到直线的距离，
∴，
∴直线和圆的位置关系是相切．
故答案为：相切．
题型二：直线与圆的交点个数
【经典例题2】已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则l与的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r 圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案．
【详解】解：∵的半径为，圆心O到直线l的距离d，为，
∴，
∴圆与直线l相交，直线l与圆有两个交点，
故选：C．
【变式训练2-1】在平面直角坐标系中有两点A，B若在y轴上有一点P，连接，当时，则称点P为线段关于y轴的“半直点”；例：如图点，；则点就是线段关于y轴的一个“半直点”；若点，点，则线段关于y轴的“半直点”个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形判定与性质，圆与直线的位置关系，以为斜边，在左侧作等腰直角三角形，过E作轴，过C作于G，过D作于F，设，由，可得E坐标，以E为圆心，的长为半径作，判断与y轴交点个数即可求解．
【详解】以为斜边，在左侧作等腰直角三角形，过E作轴，过C作于G，过D作于F，如图：
设，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点，点，
∴，
解得，
∴，
∴，
以E为圆心，的长为半径作，过E作轴于H，如图：
∵，，
∴与y轴有两个交点M、N
此时，
∴线段关于y轴的“半直点”个数有2个，为M、N，
故选：C．
【变式训练2-2】已知的半径r为，圆心O到直线l的距离d为，直线l与的公共点个数为（　　）
A．0个 B．1个
C．2个 D．以上都不对
【答案】A
【分析】本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r 圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案．
【详解】解：∵的半径r为，圆心O到直线l的距离d为，
即圆心O到直线l的距离大于圆的半径，
∴直线l和相离，
∴直线l与没有公共点．
故选：A．
【变式训练2-3】已知的半径等于，圆心到直线上某点的距离为，则直线与的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．1或2 D．0或1
【答案】C
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和相交或相切，然后根据相切与相交的定义对各选项进行判断．
【详解】的半径为，圆心到直线上某点的距离为，
圆心到直线的距离
即圆心到直线的距离圆的半径，
直线和相切或相交，
直线与有个或个公共点．
故选：C．
【变式训练2-4】已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与有 个交点．
【答案】0
【分析】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，解出方程根据圆的半径大于0舍去方程得负数根，根据“圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆无交点；圆心到直线的距离等于半径，则直线与圆相切，有一个交点；圆心到直线的距离小于半径，则直线与圆有两个交点”得到结果，是解题的关键．
【详解】解：解，可得，
的半径是一元二次方程的一个根，
圆的半径为3，
圆心O到直线l的距离为4，
直线l与有0个交点，
故答案为：0．
【变式训练2-5】已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与⊙O的公共点有 个．
【答案】2
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，时，圆和直线相离；时，圆和直线相切；时，圆和直线相交．
【详解】解：∵圆心到直线的距离是圆的半径4，
∴直线和圆相交，即有2个公共点．
故答案为：2．
【变式训练2-6】已知的半径为7，直线l与相交，点O到直线l的距离为4，则上到直线l的距离为3的点的个数为 个．
【答案】3
【分析】根据平行线间的距离处处相等，先过点D作，即可求得上到直线l的距离为3的点的个数．
【详解】解：如图，∵的半径为7，点O到直线l的距离为4，即，
∴，
在上截取，过点D作，交于A、B两点，
∴上到直线l的距离为3的点为A、B、C，
故答案为：3．

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、平行线间的距离处处相等的性质，正确画出符合题意的图形、数形结合是解题的关键．
题型三：已知直线与圆的位置关系求半径的取值范围
【经典例题3】如图， ABC中，，，，如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系．根据直线与圆的位置关系得出相切时只有一交点，经过点时有两个交点，再结合图形即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
设，则，
由勾股定理得，即，
解得，
∴，，
过点作于点，
∴，
∴，
∴如果以点C为圆心，半径为R的与线段有两个交点，那么的半径R的取值范围是，
故选：A．
【变式训练3-1】已知在中，，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边有交点，那么r的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题注意两种情况：（1）圆与相切时；（2）点在圆内部，点在圆上或圆外时．根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．本题考查了直线与圆的位置关系和三角形的面积等知识点，解此题的关键是画出符合条件的所有情况．
【详解】解：依题意，，
根据勾股定理求得．
当圆与相切时，此时半径最小，即；
当点在圆上，此时半径最大，即，
综上：即．
故选：D．
【变式训练3-2】在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，勾股定理，先利用勾股定理求出，再根据三角形的面积求出斜边上的高，可知当时，所作的圆与斜边相切，进而即可求解，掌握直线和圆的位置关系是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
过点作，则，
即，
解得，
当时，所作的圆与斜边相切，
∴当时，所作的圆与斜边有两个公共点，
故答案为：．
【变式训练3-3】如图，，，若与射线只有一个交点，则半径r的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，含的直角三角形．熟练掌握圆与直线的位置关系，含的直角三角形是解题的关键．
如图，作于，则，当时，与射线相切，此时只有一个交点；当时，与射线只有一个交点；然后作答即可．
【详解】解：如图，作于，
∵，
∴，
∴当时，与射线相切，此时只有一个交点；
当时，与射线有两个交点；
∴当时，与射线只有一个交点；
综上，当与射线只有一个交点时，半径r的取值范围是或，
故答案为：或．
【变式训练3-4】如图，，点M是射线上一点，，以点M为圆心，r为半径作，若与射线有两个公共点，则半径r的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，解答本题的关键要画出图形，利用数形结合可轻松解答．
根据直线与圆的位置关系及直角三角形的性质解答.若，则直线与圆相交；若则直线与圆相切；若，则直线与圆相离．
【详解】解：作由图可知，的取值范围在和之间．
在直角三角形中，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
则的取值范围是，
故答案为：．
【变式训练3-5】在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的范围是 ．
【答案】或
【分析】本题需要分两种情况进行讨论：圆与斜边相切时， 点在圆内部、点在圆上或圆外时．首先根据勾股定理求出斜边的长，再根据圆与斜边的位置关系与公共点数量之间的联系进行分类讨论．其中，圆与斜边相切时的半径的长可利用三角形的面积公式求出．
【详解】解：如图，在中，
根据勾股定理，，
分两种情况：
圆与斜边相切时，
连接圆心与切点，
根据切线的性质可知：，
，
，
即；
点在圆内部、点在圆上或圆外时，
此时，
即，
，
此时以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点；
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，切线的性质，三角形的面积公式，直线与圆的位置关系等知识点，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【变式训练3-6】已知的斜边，直角边，以点为圆心作．
(1)当半径为________时，直线与相切；
(2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________；
(3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)或．
【分析】（）如图作于，求出的值即可判断；
（）当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ；
（）当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或，
本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）如图作于，

在中，，，，
∴由勾股定理得，
∵，
∴，
∴当半径时，直线与相切，
故答案为：；
（2）观察图形可知，
当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ，
故答案为：或；
（3）观察图形可知，
当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或，
故答案为：或．
题型四：已知直线与圆的位置关系求线段的取值范围
【经典例题4】如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （ ）
13．已知的半径为，直线l与圆有公共点，且直线l和圆心O的距离为 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一般地，直线到圆心的距离为d，圆的半径为r，则当时，直线与圆没有交点；当时，直线与圆有一个交点；当时，直线与圆有两个交点，据此求解即可．
【详解】解：∵直线l与圆有公共点，
∴直线l与圆的圆心的距离小于等于半径，
∵的半径为，
∴，
故选：B．
【变式训练4-1】如图，已知是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交，相切时，设切点为C，连接，根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是，所以x的取值范围是．
【详解】解：设切点为，连接，则
圆的半径，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理，原点左侧的距离也是，且线段是正数
所以x的取值范围是
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及直径所对的圆周角是直角等知识，解题关键是求出相切的时候的x值，即可分析出x的取值范围．
【变式训练4-2】如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线和圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案．
【详解】解：根据题意，得圆必须和直线相交，设直线和圆相切于点E，
连接，则，，
又∵，
∴此时．
根据梯形的中位线定理，得 ，
∴，
∴，
∴直线要和圆相交，则．
故选D．
【变式训练4-3】如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．解决本题的关键是确定圆的半径，进而可知直线与圆心的距离d的取值范围．先求出圆的半径为，再根据直线与圆相交时，d的取值范围．
【详解】解：∵圆的半径为
∴当直线与圆相交时，直线与圆心的距离，
故选：C．
【变式训练4-4】如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】根据题意可得的最小值为圆P与相切，切点为M；最大值为圆与圆E内切，切点为Q，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题．
【详解】解：根据题意可知：的最小值为圆P与相切，切点为M，如图所示：
∴，
在直角梯形中，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
最大值为圆与圆E内切，切点为Q，
∴，
当时，此时圆P与线段开始有2个交点，不符合题意，
设，则，
∴，
∴，
则长度的取值范围是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系．
【变式训练4-4】已知的半径为，直线与相交，则圆心到直线距离的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据直线AB和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径即可得问题答案．
【详解】∵⊙O的半径为5，直线AB与⊙O相交，
∴圆心到直线AB的距离小于圆的半径，
即0≤d＜5；
故答案为：0≤d＜5．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系；熟记直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解决问题的关键．同时注意圆心到直线的距离应是非负数．
【变式训练4-5】如图，已知Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P是边AB上的动点，Q是边BC上的动点，且∠CPQ=90°，则线段CQ的取值范围是 ．
【答案】≤CQ≤12．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，分析以CQ为直径的圆和斜边AB的公共点的情况：一是半圆和AB相切，二是半圆和AB相交，首先求得相切时CQ的值，即可进一步求解相交时CQ的范围．
【详解】∵Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，
∴AB=13，
①当半圆O与AB相切时，如图，连接OP，
则OP⊥AB，且AC=AP=5，
∴PB=AB﹣AP=13﹣5=8；
设CO=x，则OP=x，OB=12﹣x；
在Rt△OPB中，OB2=OP2+OB2，
即(12﹣x)2=x2+82，
解之得x=，
∴CQ=2x=；
即当CQ=且点P运动到切点的位置时，△CPQ为直角三角形．
②当＜CQ≤12时，半圆O与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形；
③当0＜CQ＜时，半圆O与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆O外，∠CPQ＜90°，此时△CPQ不可能为直角三角形；
∴当≤CQ≤12时，△CPQ可能为直角三角形．
故答案为：≤CQ≤12．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，圆周角定理的推论，以及切线的性质等，熟练掌握基本性质进行综合分析是解题关键．
【变式训练4-6】如图，中，，，．点在边上，点是边上一点（不与点、重合），且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用以为圆心，的长为半径画圆，当圆与相切时，即可求出的最小值，当圆与相交时，即可求出的最大值，综合起来即可．
【详解】以为圆心，的长为半径画圆，当圆与相切，如图①，时，
，
∴，
∵
∴
，
∵到的最短距离为2
∴
当圆与相交时，如图②，若交点为和，则，
∴
的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，含角的直角三角形的性质，以D为圆心的长为半径画圆分类讨论是解题的关键．
题型五：已知直线与圆的位置关系求坐标的取值范围
【经典例题5】如图，点P是函数的图象上的一点，的半径为，当与直线有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】如图所示，即为与直线有一个公共点的情况，点P只有在线段上，即符合题意，根据图象的对称性可知，是等腰直角三角形，求得，设，则，则的中点M在直线上，得到，解方程得到（不合题意，舍去），于是得到结论．
【详解】解：如图所示，即为与直线有一个公共点的情况， 点P只有在线段上，即符合题意，

根据图象的对称性可知，是等腰直角三角形，
∵的半径为，
∴，
∴，
，则，
则的中点M在直线上，
∴，
∴，
解得：（不合题意，舍去），
∴的横坐标是，的横坐标是，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式训练5-1】如图，在平面直角坐标系中，⊙O的直径2，直线AB的函数解析式为y＝x﹣1，交坐标轴于点A和点B，将线段AB作平移变换，使所得的线段的两端都落在⊙O上，则平移后A点所对应的点的坐标是（　　）
A．（，）或（，）B．（，）或（，）
C．（，）或（，）D．（，）或（，）
【答案】A
【分析】根据条件先计算图1中的直角△AOB的三边长，得∠BOA＝30°；根据两直线平行的性质，同位角相等，可以得不管直线AB向上或向下平移与x轴夹角都是30°，分两种情况进行讨论：①当直线AB向下平移时，如图2，作辅助线，构建直角三角形及平移后的点A′与两坐标轴的垂线，由30°角的性质和三角函数求出A′Q和OQ的长，写出点A′的坐标即可；②同理在图3中求出A′的坐标．
【详解】解：如图﹣1，在函数，令x＝0，得到y＝﹣1，
∴ B（0，﹣1）． 同理可以得到，
∴在Rt△AOB中，．
∴AB＝2，∠OAB＝30°．
∴直线与x轴的夹角总是30° （锐角）．
∵直线AB在平移过程中，不会改变k值，
∴平移后的直线与x轴的夹角仍然是30°．
以下分两种情况：
当直线向下平移到如图﹣2位置．
则有∠OCA1＝30°，A1B1＝2．
过O点作OD⊥A1B1于点D，过点A1作 A1E⊥OC，连接 OA1．
在等腰三角形OA1B1中，根据“三线合一”，得到，
∵半径，在Rt△ODA1中，根据勾股定理可以求得．
∴在Rt△OCD中，∠OCA1＝30°，．
∴，．
∴．
∴在Rt△ECA1中， ，
∴．
∴ ．
∵点A1在第四象限，所以点；
当直线向上平移到如图﹣3位置．
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变换--平移，明确平移前后的两线段相等且平行，本题根据已知直线的解析式求出线段的长，得出30°角是关键，采用了分类讨论的思想，分别向上平移和向下平移；构建对应的直角三角形，与特殊的三角函数、勾股定理相结合得出结论．
【变式训练5-2】如图，直线与轴、轴分别相交于A、B两点，点，点，圆心的坐标为，圆与轴相切于点．若将圆沿轴向左移动，当圆与线段有公共点时，令圆心的横坐标为，则的取值范围是 ．

【答案】
【分析】根据题意可得，进行分类讨论：①当点P在点A右边，且与线段只有一个交点时，；②当点P在点A左边，且与线段只有一个交点时，与线段相交于点A．
【详解】解：∵点，点，
∴，
∴，
∴，
当点P在点A右边，且与线段只有一个交点时，如图中：
∵与线段只有一个交点，
∴，
∴，
则；
当点P在点A左边，且与线段只有一个交点时，如图中：
∵与线段只有一个交点，
∴与线段相交于点A，
∴，，
则；
综上：的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的定义，解直角三角形，解题的关键是掌握解直角三角形的方法和步骤，圆与直线的位置关系．
【变式训练5-3】若点在二次函数的图像上，以为圆心，为半径的圆与轴相交，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】先分析点为圆心、为半径的圆与轴相交，得出横坐标的范围，根据函数对称轴位置确定当取何值时取到最值，得到的最大值、最小值，再根据相交位置关系判断最值是否可取，确定符号即可得出结论．
【解答】解：，
∴二次函数的图像开口向上，顶点，对称轴是直线，
在二次函数的图像上，以为圆心，为半径的圆与轴相交，
∴，
∵抛物线开口向上，，
∴当，时，，
当，时，，且此时圆与轴相切，故不可取到．
．
【点睛】本题考查了二次函数的的增减性和直线与圆的位置关系，解答关键是根据数形结合思想讨论的取值范围．
【变式训练5-4】如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．

(1)求与直线相切时点的坐标．
(2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点的横坐标，再根据直线的解析式求得点的纵坐标．
（2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时的取值范围．
【详解】（1）解：过作直线的垂线，垂足为；
当点在直线右侧时，，解得；
∴；
当点在直线左侧时，，得，
∴，

∴当与直线相切时，点的坐标为或．
（2）解：由（1）可知当时，与直线相交
当或时，与直线相离．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的不同位置关系应满足的数量关系，根据数量关系正确求解是解题的关键．
题型六：已知直线与圆的位置关系求面积最值问题
【经典例题6】如图，在矩形中，，，点E、F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连结，则四边形面积的最小值为（ ）
A．142 B．96 C．192 D．124
【答案】A
【分析】本题考查矩形中的动点问题，连接，过B作于H，以B为圆心，为半径作圆，交于，由四边形是矩形，得，又，点G是的中点，即得，故G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到时，最小，此时四边形面积最小，最小值即为四边形的面积，根据，，可得，，，可得，从而，得四边形面积的最小值是142．
【详解】解：连接，过B作于H，以B为圆心，为半径作圆，交于，如图：
∵四边形是矩形，
∴，
∵，点G是的中点，
∴，
∴G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到时，最小，此时四边形面积最小，最小值即为四边形的面积，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即四边形面积的最小值是142．
故选：A．
【变式训练6-1】如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得出点在为直径的圆，在矩形内的半圆上运动，则点到的最短距离为，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：∵，点是矩形内一动点，
∴点在为直径的圆，在矩形内的半圆上运动，
∵矩形中，，，
∴，
如图所示，取的中点，则

∴点到的最短距离为，
∴面积的最小值为，
故选：C．
【变式训练6-2】如图，已知直线y＝x－3，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最小值是（　 　）
A．6 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，可知圆C上点到直线y=x-3的最短距离是，由此求得答案．
【详解】解：∵直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当x=0时，y=-3；y=0时，x=4
∴OB=3；OA=4
由勾股定理得，
∵C（0，1）
∴
∴BC=OB+OC=3+1=4
过C作CM⊥AB于M，连接AC，如图，
则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，
∴5×CM=16，
∴CM=，
∴圆C上点到直线y=x-3的最小距离是 ，
∴△PAB面积的最小值是 ×5×=，
故选：B．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最小距离．
【变式训练6-3】如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据平行四边形的性质得到，，，由折叠性质得到，进而得到点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即此时面积的最小，过C作于N，根据平行线间的距离处处相等得到，故只需利用锐角三角函数求得即可求解．
【详解】解：∵在中，，，
∴，，则，
∵E为边的中点，
∴，
∵沿翻折得，
∴，
∴点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即面积的最小，
过C作于N，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴面积的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知识，综合性强的填空压轴题，得到点的运动路线是解答的关键．
【变式训练6-4】如图，在 AOB中，，点到线段的距离为 ．以点为圆心，以2为半径作优弧，交于点，交于点，点在优弧上从点开始移动，到达点时停止，连接，则面积的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理以及直线与圆的位置关系，由勾股定理可求出，再根据面积法可求出点到线段的距离；由图易知的边最小高为M在D时，最大高为M在过O垂直于的直线上，求出最小高和最大高，进而求出的面积为S的取值范围．
【详解】解：在中，，
∴，，
∴，
设点到线段的距离为，
又
∴，
∴点到线段的距离为；
如图：
Ⅰ．由图可知，的边最小高为M在D时，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为S的最小值．
Ⅱ．在过点O且垂直于的直线上时，的边的高最大，
∴的边的高最大值为，
∴的面积为S的最大值为．
∴取值范围为：．
故答案为：；．
【变式训练6-5】如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为4的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则面积的最小值为 ．
【答案】8
【分析】连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作于点N，发现点C的运动轨迹是以M为圆心，2为半径的圆，利用相似三角形的性质求出MN的长，当点C与重合时，的面积最小，求出最小面积即可．
【详解】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作于点N，
∵，，
∴，
∴点C的运动轨迹是以M为圆心，2为半径的圆，
设交MN于，
∵直线与x轴、y轴分别交于点D、E，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，解得，
当点C与重合时，的面积最小，
．
故答案是：8．
【点睛】本题考查动点问题，解题的关键是找出动点C的轨迹是圆，利用相似三角形的性质求出圆上一点到定直线的距离．
【变式训练6-6】如图，已知直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A是以为圆心，2为半径的上的一个动点，连接、，则 ABC面积的最小值是 ．
【答案】29
【分析】过点D作于点M，连接BD，根据三角形面积公式求出DM的长，可知上的点到直线的最小距离是DM长减半径，就可以算出面积最小值．
【详解】解：如图，过点D作于点M，连接BD，
令，则，令，则，
∴，，
∴，，，
根据三角形面积公式，，
∴，
∴上的点到直线的最小距离是，
∴面积的最小值是．
故答案是：29．
【点睛】本题考查一次函数，圆上一点到定直线的最短距离，解题的关键是求出圆上的点到直线BC的最小距离．
题型七：求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离
【经典例题7】如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（ ）
A． B．1 C．或 D．1或3
【答案】C
【分析】当圆的圆心到直线的距离等于圆半径时，直线与圆相切，即可求解．
【详解】解：（1）当的圆心P在y轴左侧时，
P到y轴距离时，⊙P与y轴相切，
∴移动时间（秒）；
（2）当 的圆心P在y轴右侧时，
P到y轴距离时，与y轴相切，
∴移动时间（秒）．
故选C．
【点睛】本题考查直线和圆位置关系的判定，关键是掌握判定方法：圆心到直线的距离等于圆的半径．
【变式训练7-1】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．

【答案】/
【分析】分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案．
【详解】解：的圆心P的坐标为，
，
的半径为2，
，
，，
当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1，
当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5，
平移的距离d的取值范围是，
故答案为：．

【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．
【变式训练7-2】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．

【答案】2或10
【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．
【详解】解：当位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
∴(秒)；
当位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．
∴(秒)；
故答案为：2或10
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．
【变式训练7-3】如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ．
【答案】（-2,0）（-3,0）（-4,0）
【分析】先分别求得与直线l相切时点P的坐标，然后再判断与直线l相交时点P的横坐标x的取值范围，即可求得坐标为整数的点P的坐标．
【详解】如图，与分别切AB于D、E．
由，，易得，则A点坐标为．
连接、，则、，则在中，，
同理可得，，则的横坐标为，的横坐标为，
当与直线l相交时，点P的横坐标x的取值范围为，
横坐标为整数的点P的坐标为、、．
故答案为：(-2，0)、(-3，0)、(-4，0)．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，分别求得与直线l相切时点P的坐标是解题的关键．
【变式训练7-4】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　）
A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．1
【答案】A
【分析】分圆心在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可．
【详解】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为（﹣2，0），所以平移的距离为-2-（-3）=1；
当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为（2，0），所以平移的距离为2-（-3）=5．
故选：A．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论．
【变式训练7-5】如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（ ）
A．1 B．5 C．3 D．1或5
【答案】D
【分析】分圆P在轴的上方与轴相切和圆P在轴的下方与轴相切两种情况分别求解即可．
【详解】解：当圆P在轴的上方与轴相切时，平移的距离为，
当圆P在轴的下方与轴相切时，平移的距离为，
综上所述，向下平移的距离为1或5．
故选：D．
【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键．
题型八：求直线平移到与圆相切时运动的距离
【经典例题8】如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　）
A．1 B．1或2 C．3 D．1或3
【答案】D
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．作于点，由垂径定理即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，再分点向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可．
【详解】解：连接，作于点，由垂径定理得：
，
在直角中，由勾股定理得：，
即，
，
的半径是2．
将向上平移，当与轴相切时，平移的距离；
将向下平移，当与轴相切时，平移的距离．
故选：D
【变式训练8-1】如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，
∴，
即直线在原有位置向下移动后与圆相切．
故选：B．
【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键．
【变式训练8-2】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心的坐标为（-3，0），将圆沿轴的正方向平移，使得圆与轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．3或6 C．3 D．1或5
【答案】D
【分析】分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答即可求得．
【详解】解：根据题意可得：OP=3，圆P的半径为2，
当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3-2=1，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，
故圆与轴相切，则平移的距离为1或5，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定，图形的平移，分类讨论是解决本题的关键．
【变式训练8-3】已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切
【答案】或/或
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解．
【详解】解：观察图形：∵的半径为，点到直线的距离为．
∴把直线向上平移或才能使与相切，
故答案为：或．
【变式训练8-4】如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移 cm时与⊙O相切．
【答案】4
【分析】根据垂径定理可求出，再利用勾股定理可得，从而，再由l与⊙O相切，则点 到直线l的距离等于OC=10cm，从而得到l沿OC所在直线向下平移的距离等于，即可求解．
【详解】解：∵直线l⊥OC，AB=16cm，
∴ ， ，
∵ ，
在 中，由勾股定理得
，
∴ ，
若l与⊙O相切，
则点 到直线l的距离等于OC=10cm，
∴l沿OC所在直线向下平移的距离等于
即l沿OC所在直线向下平移时与⊙O相切．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【变式训练8-5】如图，在中，，，，点为边上动点，过点作垂线交于点当点由点运动至点时，点运动路径长 ．
【答案】
【分析】本题考查了隐圆、直线与圆的位置关系、解直角三角形，关键是搞清什么时候最大．
点从出发进行的往复运动，只要求出的最大值即可，，所以想到作以为直径的圆，当圆与相切时，最大．
【详解】解：以为直径的圆与交于两点，说明点进行的往复运动，当圆与相切时，最大，此时，连接，则，
，，，
，设圆的半径为，
在中，，
，
，
点进行的往复运动，
路径长为，
故答案为：．
【变式训练8-6】如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且与点的距离为．如果以的速度，沿由A向B的方向移动，那么 秒种后与直线相切．
【答案】4或8
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质和直角三角形的性质．
分类讨论：当点在当点在射线时与相切，过作与，根据切线的性质得到，再利用含的直角三角形三边的关系得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点在射线时与相切，过作与，同前面一样易得到此时移动所用的时间．
【详解】解：当点在射线时与相切，如图，
过作于，
，
，
，
的圆心在直线上向右移动了后与相切，
移动所用的时间（秒；
当点在射线时与相切，如图，
过作与，
，
，
，
的圆心在直线上向右移动了后与相切，
移动所用的时间（秒．
故答案为4或8．
题型九：切线的实际应用
【经典例题9】如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（ ）
A．20m B． C． D．10m
【答案】C
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，圆的切线性质，理解题意是解题的关键．根据题意画出图形，解即可．
【详解】解：如图，记直径为，过点作于点，
由题意得，，，，与圆相切于点N，
∴，
∴，
，
，
故选：C．
【变式训练9-1】小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向树的方向走6里到达城堡边，再往前走4里到达树下．则该城堡的外围直径为（ ）里
A．3 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，解直角三角形，切线的性质，切线长定理，由切圆于D，切圆于C，连接，得到，里，由勾股定理求出，由，求出（里），即可得到答案．
【详解】解：如图，表示圆形城堡，

由题意知：切圆于D，切圆于C，连接，
∴，里，
∵里，
∴里，
∴，
∵，
∴，
∴（里）．
∴城堡的外围直径为（里）．
故选：B．
【变式训练9-2】小明对出自秦九韶《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走到达城堡边，再往前走到达树下，则该城堡的外围周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理、锐角三角函数的定义、切线的性质、切线长定理等知识，设圆形城堡的圆心为，则切于点，切于点，连接，得出，， ，再求出，然后由勾股定理求出，由锐角三角函数的定义得出，求出，最后由圆周长公式即可得出结果，关键是理解题意，由锐角的正切求出的长．
【详解】解：如图，表示圆形城堡，连接，
由题意可知，切于点D，切于点C，则，，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得，即，
∴，
在中，，
在中，，
∴，即，
∴，∴城堡的外围周长．
故答案为：．
【变式训练9-3】某博物馆出土了一件文物，文物长度为，摆放在高度为的展示架上，一老师打算带舞蹈团去参观，舞蹈团的平均身高为，为了保证观看视角最大（视角：人眼与被观看物两边构成的角），栅栏应摆放在距多远的位置？

【答案】
【分析】本题综合考查了与圆相切的位置关系和勾股定理，找出最大视角即与圆相切的位置关系是解决问题的关键．
根据题意画出图形找到最大视角，运用与圆有关的位置相切和勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，在上截取，则在过，且与地面平行的直线上，

当过，，的与相切时，最大，
过作，则，
，
，
栅栏应摆放在距的位置．
【变式训练9-4】综合与实践：
任务一：确定弦的长度．如图2，求所对弦的长度．
任务二：设计甲组扇面．如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为．请运用所给工具在中设计与图2相同的扇面，并标出相应数据．
任务三：确定卡纸大小．如图4，乙组利用矩形卡纸，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸的最小规格（即矩形的边长）．
活动主题 扇面制作
活动情景 如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接我市传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2，扇面形状为扇环，且，，．
活动小组 甲组 乙组
制作工具 直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀
制作材料
【答案】任务一：， 任务二：见解析；任务三：矩形的边长为、．
【分析】本题考查了垂径定理，含角的直角三角形，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
任务一：由弧所对的圆心角为，可得，求得，应用勾股定理求出，即可求解，
任务二：以直径为底边，构造底角为30度的等腰三角形，则得到的三角形和任务一三角形全等，再按要求取点，再以为圆心，分别以、为半径画弧，得到的扇面图形与图2相同；
任务三：在上取一点使，以为圆心，为半径的圆与相切，此时点与点重合，在圆上取一点A，使，即可得到扇面．过点作，则矩形为最小规格矩形，
【详解】任务一：解：过点O作，交于点，
，，
，
，
，，
，
任务二：如图，是以直径为底边，底角为度，由任务一可知，，取，以O为圆心，分别以、为半径画弧，即可得到扇面．

任务三：如图所示：当与矩形两边相切时，过点作，则矩形为最小规格矩形，

∵，，，
∴，，，
∵当与矩形两边相切，
∴最小规格矩形的边长为、，
【变式训练9-5】已知太阳光线与水平线的夹角为（如图），如果一个圆形物体在水平线上形成的影长为米．
(1)请在图所示的直线上画出表示这个圆形物体影长的线段；
(2)求这个圆形物体的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)该圆形物体的半径长为米
【分析】本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，切线的性质：
（1）如图所示，找到圆心，画出过点的切线，为表示影长的线段；
（2）先由切线的性质得到，，再证明，，得到，，设， 解中得到，解得到，进而得到，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，找到圆心，画出过点的切线，为表示影长的线段；
（2）解：设、、上的切点分别为 、、，如图所示．
∴，，
又∵
∴，．
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
在中，；
在中，；
依据题意，得：
解得 ．
答：该圆形物体的半径长为米．
【变式训练9-6】某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为海里的圆形海域内有暗礁，一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东方向上．
(1)若过点P作于点C，则 ；
(2)求A，P两点之间的距离；
(3)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？请直接写出海监船由B处开始沿南偏东至多 的方向航行能安全通过这一海域．
【答案】(1)
(2)海里
(3)75
【分析】（1）直接解即可得到答案；
（2）：设海里，则海里，解得到海里，由此建立方程，求出海里，再解求出即可；
（3）比较与的半径大小可知有触礁风险；如图所示，设新航向为射线的方向，过点P作于E，解中，求出海里，当射线恰好与相切时，即此时海里，解，求出，则，即可得到海监船由B处开始沿南偏东至多75度的方向航行能安全通过这一海域．
【详解】（1）解：由题意得，，
在中，，
故答案为：；
（2）解：设海里，则海里，
由题意得，，海里，
在中，，
∴海里，
∴，
解得，
∴海里，
在中，海里；
（3）解：∵，
∴海监船由B处继续向东航行有触礁危险；
如图所示，设新航向为射线的方向，过点P作于E，
在中，海里，
当射线恰好与相切时，即此时海里，
在中，，
∴，
∴，
∴海监船由B处开始沿南偏东至多75度的方向航行能安全通过这一海域，
故答案为：75．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，切线的性质，正确理解题意是解题的关键．
题型十：切线的应用之最值问题
【经典例题10】如图，在中，，，，D是上一动点，于E，交于点F，则的最大值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】取的中点O，连接，，延长交于T．证明，推出点E在以O为圆心，为半径的圆上运动，推出当与相切时，的值最大，根据切线的性质、平行线的性质及含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，取的中点O，连接，，延长交于T．

∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴E在上，
∵，
∴，
∴点E在以O为圆心，为半径的圆上运动，
∵，
∴当与相切时，的值最大，
∵直线，直线都是的切线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为．
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形角的性质、直线与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是发现点E在以O为圆心，为半径的圆上运动，并推出与相切时，的值最大．
【变式训练10-1】如图，中，，，D在边上，且，P为形内一点，满足，直线交于点E，当最大时，的长是（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查轨迹和最值问题，涉及勾股定理、切线定理以及相似三角形的判定和性质，根据题意得点P在以为直径的圆上，当最大时，线段与相切，取的中点，连接和，可证明，得，在中可求得答案．
【详解】解：∵，
∴点P在以为直径的圆上，
取的中点，连接和，如图，
当最大时，线段与相切，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴
∴，
在中，，
则，解得，
那么，．
故选：C．
【变式训练10-2】如图，在 ABC中，，，为中点，则当最大时，的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，三角形中位线性质；取的中点，点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上，当与相切时，最大，即，然后运用勾股定理求解即可；解题的关键是掌握点、的运动轨迹．
【详解】解：如图，取的中点，
，，为中点，
，
点在以点为圆心，为半径的圆上，
点在以点为圆心，为半径的圆上，
∵当与相切时，最大，
，
，
故选：D．
【变式训练10-3】如图，在矩形中，，，P是矩形内部的一个动点，且，连接并延长交于E，则的最大值为 ．

【答案】/
【分析】以为直径作，连接，，设，当直线与相切时，最大，证明，得，再同理可证：，得，再在中，根据勾股定理即可．
【详解】解：在矩形中，，
以为直径作，连接，，设，
，
点在上，，
当直线与相切时，最大，
，
，
在和中
，
，
，
同理可证：，
，
在中，，
，
解得：，
故的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要四边形综合应用，动点问题，三角形全等的性质和判定，勾股定理，圆的定义等知识，解题的关键是正确的作出辅助线．
【变式训练10-4】如图，点在数轴上对应的数是，以原点为圆心，的长为半径作优弧，使点在原点的左上方，且，点为的中点，点在数轴上对应的数为4．
(1)求扇形的面积；
(2)点是优弧上任意一点，则求的最大值；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查特殊角三角函数值，扇形面积公式，圆的切线：
（1）根据得出，进而得出优弧所对的圆心角，再利用扇形面积公式求解；
（2）当与优弧相切时，最大，根据的正弦值确定度数．
【详解】（1）解：点在数轴上对应的数是，原点为圆心，
，
，
优弧所对的圆心角为：，
．
（2）解：如图，当与优弧相切时，最大，
，
．
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