资源简介

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3.1 等量关系和方程
学习目标与重难点
学习目标：
1. 理解方程、一元一次方程及方程的解的概念
2. 会根据具体问题中的等量关系列出一元一次方程
3. 感受数学建模的过程，体会一元一次方程模型在生活中的应用，通过观察、思考等过程，培养学生归纳总结的能力
学习重点：理解方程、一元一次方程及方程的解的概念，能根据等量关系构建方程
学习难点：根据实际问题建立正确的方程模型
预习自测
自学自测（或复习检测）
1.下列四个式子中，是方程的是 ( )
A.x-6 B.3r+y=5
C.-3+x>-2 D.=
2.下列式子是一元一次方程的是 ( )
A.3x-1
B.-5x+1=0
C.x2-1=0
D.2x+1=2(y-1)
3.已知关于x的方程3xm-2-2=1是一元一次方程，则m=_______
教学过程
一、创设情境、导入新课
（1）为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年9月举办了一次中学生篮球联赛，比赛规则为：胜一场得2分，输一场得1分，若某校初中男子篮球队参加了14场比赛，共得26分。问：其中蕴含怎样的等量关系？如何根据等量关系，列出相等式？
（2）如图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为1.2m，高为1m，表面积为6.8m 。其中蕴含怎样的等量关系？如何根据等量关系，列出相应等式？
二、合作交流、新知探究
探究一：引入方程、一元一次方程的概念
教材第96页
（1）中蕴含的等量关系是： 。
（2）中蕴含的等量关系是： 。
想一想：（1）中还有其他等量关系吗？
前面我们已经学习了用字母表示数，是否可以先将问题中的未知量用字母表示，然后再探索解决办法。
对于（1），设该队胜了x场，则该队输了（14 - x ）场，可得： 。
对于（2），若设包装盒底面的宽是 y m ，则根据题意可得： 。
思考：我们刚刚列出的等式有什么特点？
想一想：是一元一次方程吗？
探究二：建立一元一次方程模型
教材第97页：
做一做：《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于公元400年前后，传本共有上、中、下三卷，下卷有许多著名数学题，如第31题就是有趣的"鸡兔同笼"问题：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有多少只鸡和兔？
（1）找出上述趣题中的等量关系；
（2）适当设未知数，列出一元一次方程。
探究三：方程的解
教材第97页
把方程的左边和右边分别看成多项式，找到一个数，将这个数代入方程，能使左、右两边的多项式的值相等，则这个数就是方程中未知数的一个值。
议一议：如何找到一个数，使方程左、右两边多项式的值相等？
想一想：x是否有取值范围，为什么？
完成表格：
估计x的值 方程左边的值 与方程右边的值94相比较
第1次估算 10 90 小了
第2次估算 15
第3次估算 13
第4次估算 12
第5次估算 11
做一做：分别检验 x 的下列值是否是方程的解。
（1） ; （2） 。
三、自主检测
1.下列所给条件，不能列出方程的是 ( )
A.某数比它的平方小6
B.某数加上3，再乘2等于14
C.某数与它的的差
D.某数的3倍与7的和等于29
2.若关于x的方程mxm-2-3=0是一元一次方程，则这个方程的解是 ( )
A.x=1 B.x=3
C.x=-3 D.x=2
3.已知x=1是方程3x=m+x+2n的一个解，则整式m+2n+2022的值为_______
4.已知方程(m-2)x|m|-1+3=0是关于x的一元一次方程，则m的值是 .
5.已知关于x的方程(m+5)x|m|-4+18=0是一元一次方程.试求:
(1)m的值;
(2)3(4m-1)-2(3m+2)的值.
知识梳理
1. 方程：含有未知数的等式叫做方程。
2. 一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程叫一元一次方程。
3.一元一次方程：只含有一个未知数；未知数的次数是1；等号两边都是整式（分母中不含未知数）
4. 列一元一次方程的一般步骤：
（1）找等量关系
（2）设未知数
（3）列方程
5. 方程的解：能使方程左、右两边相等的未知数的值，叫方程的解。
6. 解方程：求方程的解的过程叫解方程。
答案
自学自测
1.【答案】B
【解析】方程是指含有未知数的等式；所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式.由此进行选择。解：A、x-6不是等式，所以不是方程；故本选项错误；B、3r+y=5符合方程的定义；故本选项正确；C、-3+x>-2不是等式，所以不是方程；故本选项错误；D、=不含未知数，是等式，所以不是方程；故本选项错误；故选B
2.【答案】B
【解析】解：A、不是等式，故不是一元一次方程，故本选项错误；B、是一元一次方程，故本选项正确；C、是一元二次方程，故本选项错误；D、是二元一次方程，故本选项错误；故选：B
3.【答案】3
【解析】因为关于x的方程 3xm-2-2=1是一元一次方程，所以m-2=1，解得:m=3.
自主检测
1.【答案】C
【解析】A.是方程；B.2（x+3）=14是方程;C.x-不是方程；D.3x+7=29是方程
2.【答案】A
【解析】因为关于x的方程mxm-2-3=0是一元一次方程，所以m-2=1，解得m=3，所以3x-3=0，解得x=1
3.【答案】2024
【解析】将x=1代人方程得:3=m＋1＋2n，
即 m＋2n=2，则原式=2＋2022-2024
4.【答案】-2
【解析】由一元一次方程的特点得m-2≠0，|m|-1=1，解得m=-2
5.【答案】(1) m=5;(2) 原式=23
【解析】(1)依题意有|m|-4=1且m+5≠0，
解得m=5;
(2)3(4m-1)-2(3m+2)=12m-3-6m-4=6m-7，
当m=5时，原式=6×5-7=23.
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