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专题训练六　相似三角形性质与判定的综合应用
确定相似三角形的对数
1.如图,O是△ABC内任意一点,D,E,F分别为OA,OB,OC的中点,则图中的相似三角形有 (　　)
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
2.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,DE⊥BC于点E.除Rt△ABC自身外,图中与Rt△ABC相似的三角形的个数是　　　　.
3.如图,在△ABC中,AB=2,BC=5,且∠ABC=2∠C,为了求边AC的长,聪明的小亮想出了一个好办法,将边BC反向延长至点D,使DB=AB,连接AD,从而小亮发现图中存在一对相似三角形,问题便迎刃而解了.
(1)请你找出图中存在的一对相似三角形,并进行证明.
(2)求边AC的长.
利用三角形相似求线段长
4.如图,△ABC∽△ADE,S△ABC∶S四边形BDEC=1∶2,其中BC=,DE的长为 (　　)
A.6 B.
C. D.5
5.如图,△ABC∽△ADE,∠BAC=∠DAE=90°,AB=3,AC=4,D是线段BC上一动点,若点D从点B开始向点C运动.
(1)当BD=2时,CE=　　　　.
(2)设P为线段DE的中点,在点D的运动过程中,CP的最小值是　　　　.
6.如图,在正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.
(1)求证:△ABM∽△EFA.
(2)若AB=12,BM=5,求AE的长.
利用三角形相似求比值
7.如图,在 ABCD中,点E在边DC上,DE∶EC=3∶1,连接AE交BD于点F,则△DEF的周长与△BAF的周长之比为(　　)
A.9∶16 B.3∶4 C.9∶1 D.3∶1
8.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠ADE=∠C,线段AG分别交线段DE,BC于点F,G,且.
(1)求证:△AEF∽△ABG.
(2)若,求的值.
利用三角形相似求角度
9.(2024上海长宁区月考)在△ABC和△DEF中,∠A=40°,∠D=60°,∠E=80°,,那么∠B=
　　　　　　.
10.如图,四边形ABCD,四边形CDEF,四边形EFGH是三个相连的正方形,连接AC,AF,AG.若∠BGA=20°,则∠BFA=　　　　.
利用三角形相似证明比例式或等积式
11.如图,在正方形ABCD中,作等边三角形BPC,分别延长BP,CP交AD于点E,F,连接BD,DP,BD与CF交于点H.
(1)求∠PDE的度数.
(2)求证:DE2=PE·BE.
12.(2024石家庄赵县期末)如图,在 ABCD中,E是AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F.
(1)求证:AF=AB.
(2)G是线段AF上一点,满足∠FCG=∠FCD,CG交AD于点H.
①求证:AH·CH=DH·GH.
②若AG=2,FG=6,求GH的长.
相似与图形变换
13.如图,在菱形ABCD中,∠ABC是锐角,E是BC边上的动点(不与点B,C重合),将射线AE绕点A按逆时针方向旋转,交线段CD于点F.当∠EAF=∠BAD时,延长线段BC交射线AF于点M,延长线段DC交射线AE于点N,连接AC.
(1)求证:△ANC∽△MAC.
(2)连接MN,若AB=4,AC=2,则当△AMN是以MN为腰的等腰三角形时,求CE的长.
【详解答案】
1.D　解析:∵D,E,F分别为OA,OB,OC的中点,
∴DE∥AB,EF∥BC,DF∥AC.
∴△ODE∽△OAB,△OEF∽△OBC,△ODF∽△OAC.
∴∠ODE=∠OAB,∠ODF=∠OAC.
∴∠ODE+∠ODF=∠OAB+∠OAC.
∴∠EDF=∠BAC.
同理可得∠DEF=∠ABC.
∴△DEF∽△ABC.
∴图中共有4对相似三角形.
故选D.
2.4　解析:∵CD是斜边AB上的高,DE⊥BC于点E,
∴∠CDA=∠CDB=90°,∠CED=∠BED=90°.
在Rt△ABC和Rt△ACD中,
∴Rt△ABC∽Rt△ACD.
在Rt△ABC和Rt△CBD中,
∴Rt△ABC∽Rt△CBD.
∵DE⊥BC,∠ACB=90°,
∴AC∥DE.
∴Rt△ABC∽Rt△DBE.
∵∠A+∠B=90°,∠B+∠DCB=90°,
∴∠A=∠DCE.
在Rt△ABC和Rt△CDE中,
∴Rt△ABC∽Rt△CDE.
∴图中与Rt△ABC相似的三角形有4个.
3.解:(1)△DBA∽△DAC.
证明:∵DB=AB,
∴∠D=∠DAB=∠ABC.
∵∠ABC=2∠C,
∴∠D=∠DAB=∠C.
∴DA=AC.
∵∠D=∠D,∠DAB=∠C,
∴△DBA∽△DAC.
(2)∵AB=2,BC=5,DB=AB,
∴DB=2.
∴CD=BC+DB=7.
∵△DBA∽△DAC,
∴DB∶DA=DA∶DC.
∴2∶DA=DA∶7.
解得DA=.
∵DA=AC,
∴AC=.
4.B　解析:∵△ABC∽△ADE,S△ABC∶S四边形BDEC=1∶2,
∴S△ABC∶S△ADE=1∶3.
∴.
∵BC=,
∴DE=.故选B.
5.(1)　(2)2　解析:(1)∵△ABC∽△ADE,
∴,∠BAC=∠DAE.
∴∠BAD=∠CAE,.
∴△BAD∽△CAE.
∴.
∵BD=2.
∴CE=.
(2)由(1)知,△BAD∽△CAE,
∴∠ABD=∠ACE.
∵∠BAC=90°,
∴∠ABD+∠ACB=90°.
∴∠ACB+∠ACE=90°.
∴∠DCE=90°.
∵P为线段DE的中点,∴DP=PE.
∴CP=DE.
∵△ABC∽△ADE,
∴当AD的值最小时,DE的值最小,此时CP的值最小.
∵AB=3,AC=4,∠BAC=90°,
∴BC==5.
根据垂线段最短可知,当AD⊥BC时,AD的值最小,此时AD=,
∵△ABC∽△ADE,∴,即.∴DE=4.
∴CP的最小值为×4=2.
6.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=90°,AD∥BC.
∴∠AMB=∠EAF.
又∵EF⊥AM,
∴∠AFE=90°.
∴∠B=∠AFE.
∴△ABM∽△EFA.
(2)∵∠B=90°,AB=12,BM=5,
∴AM==13.
∵F是AM的中点,
∴AF=AM=6.5.
∵△ABM∽△EFA,
∴,即.
∴AE=16.9.
7.B　解析:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴DC∥AB,DC=AB.
∴∠EDF=∠ABF.
∵∠DFE=∠BFA,
∴△DFE∽△BFA.
∴△DFE与△BFA的相似比为DE∶AB.
∵DE∶EC=3∶1,
∴DE∶DC=3∶4.
∴DE∶AB=3∶4.
根据△DEF的周长与△BAF的周长之比等于△DFE与△BFA的相似比可得C△DEF∶C△BAF=3∶4.
故选B.
8.解:(1)证明:∵∠ADE=∠C,∠DAE=∠CAB,
∴△AED∽△ABC.
∴∠AED=∠B.
∵,
∴△AEF∽△ABG.
(2)∵△AEF∽△ABG,
∴.
∵,
∴.
∴.
9.60°　解析:∵∠D=60°,∠E=80°,
∴∠F=180°-∠D-∠E=40°.
∴∠A=∠F.
∵,∴.
∴△ABC∽△FDE.
∴∠B与∠D是对应角.
∴∠B=∠D=60°.
10.25°　解析:设正方形的边长是1.
∴AB=BC=CF=FG=1.
∴BF=CG=2,BG=3.
由勾股定理,得AC=,AF=,AG=.
∴,
,.
∴.
∴△ACF∽△GCA.
∴∠FAC=∠AGC.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ACB=45°.
∴∠BFA+∠FAC=∠ACB=45°.
∴∠AGC+∠BFA=45°.
∵∠BGA=∠AGC=20°,
∴∠BFA=45°-∠AGC=25°.
11.解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD=DA=AB,∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°.
∵△BPC是等边三角形,
∴BP=PC=CB,∠PBC=∠BCP=∠CPB=60°.
∴PC=CB=CD,∠DCP=∠BCD-∠BCP=90°-60°=30°.
∴∠CPD=∠CDP==75°.
∴∠PDE=∠CDA-∠CDP=90°-75°=15°.
(2)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABD=∠CBD=45°.
∵∠PBC=60°,
∴∠DBE=∠PBC-∠CBD=15°.
∴∠PDE=∠DBE.
∵∠PED=∠DEB,
∴△PED∽△DEB.
∴.
∴DE2=PE·BE.
12.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,CD∥AB.
∴∠D=∠FAE,∠DCE=∠F.
∵E是AD的中点,
∴DE=AE.
∴△CDE≌△FAE(AAS).
∴CE=EF.
∵AE∥BC,
∴=1.
∴AF=AB.
(2)①证明:∵CD∥AF,
∴△AGH∽△DCH.
∴.
∴AH·CH=DH·GH.
②∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB.
∵∠DCE=∠F,∠FCG=∠FCD,
∴∠F=∠FCG.
∴CG=FG.
∵AG=2,FG=6,
∴AF=FG+AG=6+2=8,CG=FG=6.
∴AB=AF=8.
∴CD=AB=8.
由①,得△DCH∽△AGH.
∴,即.
∴GH=1.2.
13.解:(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴∠BAC=∠DAC=∠BAD,∠ACB=∠ACD.
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠EAF=∠BAC.
∴∠EAF-∠CAE=∠BAC-∠CAE.
∴∠MAC=∠NAB.
∵AB∥CD,
∴∠ANC=∠NAB.
∴∠ANC=∠MAC.
∵∠ACB=∠ACD,∠BCN=∠DCM,
∴∠ACB+∠BCN=∠ACD+∠DCM.
∴∠ACN=∠MCA.
∴△ANC∽△MAC.
(2)∵△ANC∽△MAC,
∴.
如图1,当AM=NM时,
图1
∴∠MAN=∠MNA.
∵AB=CB=4,AC=2,
∴∠BAC=∠BCA.
∵∠MAN=∠BAC,
∴∠MNA=∠BCA.
∴△MAN∽△BAC.
∴.
∴.
∴.
∴CN=AC=1.
∵CN∥BA,
∴△NEC∽△AEB.
∴.
∴CE=BC=×4=.
如图2,当AN=MN时,
图2
∴∠NAM=∠NMA.
∵∠NAM=∠BAC,
∴∠NMA=∠NAM=∠BAC=∠BCA.
∴△NAM∽△BAC.
∴.
∴=2.
∴=2.
∴CN=2AC=4.
∴CN=AB.
∵CN∥AB,
∴△NEC∽△AEB.
∴=1.
∴CE=BE=BC=2.
综上所述,CE的长为或2.专题训练八　相似三角形与函数的综合
相似三角形与一次函数
1.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3与x轴交于点C,与直线AD交于点A,点D的坐标为(0,1).
(1)直线AD的解析式为　　　　　　.
(2)直线AD与x 轴交于点 B,若E是直线AD上一动点(不与点 B 重合),当△BOD 与△BCE相似时,求点E的坐标.
　　　　　　　　　　　 　　　　　
相似三角形与反比例函数
2.如图,一次函数y=2x+b与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点A(1,4),与y轴交于点B.
(1)k=　　　,b=　　　.
(2)连接并延长AO,与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点C,点D在y轴上,若以点O,C,D为顶点的三角形与△AOB相似,求点D的坐标.
3.(2024郑州期末)如图,反比例函数y=(x>0)的图象经过点A(2,3),直线l经过点A和点B(0,4),与x轴交于点C,直线l的解析式为y=mx+n.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式.
(2)在y轴上是否存在一点P,使得以点A,B,P为顶点的三角形与△OBC相似 若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
相似三角形与二次函数
4.(2024苏州虎丘区月考)如图,二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴相交于点C.
(1)求该函数的解析式.
(2)P为该函数在第一象限内的图象上一点,过点P作PQ⊥BC,垂足为Q,连接PC.
①求线段PQ的最大值.
②若以点P,C,Q为顶点的三角形与△ABC相似,求点P的坐标.
5.如图,已知二次函数的图象与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3),直线y=-2x+m经过点A,且与y轴交于点D,与抛物线交于点E.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图1,点M在AE下方的抛物线上运动,求△AME的面积的最大值.
(3)如图2,在y轴上是否存在点P,使得以点D,E,P为顶点的三角形与△AOD相似 若存在,求出点P的坐标;若不存在,试说明理由.
图1 　图2
【详解答案】
1.解:(1)y=x+1
(2)∵直线 AD与x轴的交点B的坐标为(-2,0),
∴OB=2.
∵点D的坐标为(0,1),
∴OD=1.
∴BD= =.
∵直线y=-x+3与x轴交于点C(3,0),
∴OC=3.∴BC=2+3=5.若△BOD和△BCE相似,分两种情况讨论:
①如图,过点C作CE⊥BA交 BA的延长线于点E,
则△BOD∽△BEC.∴.
∴.
解得 BE=2,CE=.
过点E作EF⊥x轴于点F,则BC·EF=BE·CE.
∴EF==2.
∴x+1=2.
解得x=2.∴点E的坐标为(2,2).
②如图,过点C作CE'⊥x轴交直线AD于点E',
则△BOD∽△BCE',则.
∴.解得 CE'=.
∴点E'的坐标为.
综上所述,当△BOD 和△BCE相似时,点E的坐标为(2,2)或.
2.解:(1)4　2
(2)当点D落在y轴的正半轴上,
则∠COD>∠ABO,
∴△COD与△ABO不可能相似.
当点D落在y轴的负半轴上,
由(1),得一次函数的解析式为y=2x+2.
当x=0时,y=2.∴点B(0,2).
∴OB=2.∵点A,C在反比例函数的图象上,∴CO=AO.
若△COD∽△AOB,∴.
∵CO=AO,∴BO=DO=2.
∴点D(0,-2).
若△COD∽△BOA,则,
∵OA=CO=,BO=2,
∴DO=.
∴点D.
综上所述,点D的坐标为(0,-2)或.
3.解:(1)将点A(2,3)代入y=中,得k=6.
∴反比例函数的解析式为y=.
将点A(2,3),B(0,4)代入y=mx+n中,
得解得
∴一次函数的解析式为y=-x+4.
(2)存在点P,使得以点A,B,P为顶点的三角形与△OBC相似.
当y=0时,-x+4=0,解得x=8,
∴点C(8,0).
∵点B(0,4),∴OB=4,OC=8.
∴.
∵△OBC是直角三角形,
∴△APB也是直角三角形.
如图1,当∠APB=90°时,△OBC∽△PBA.
∴.∵∠APB=∠COB=90°,
∴AP∥OC.∴AP=2.∴.
∴PB=1.∴点P(0,3).
如图2,当∠PAB=90°时,△OBC∽△ABP.
∴.
由勾股定理,得AB=,
BC==4.
∴.∴BP=5.∴点P(0,-1).
综上所述,P点的坐标为(0,3)或(0,-1).
图1 　　图2
4.解:(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-4),即y=ax2-3ax-4a.
∴-4a=2.解得a=-.
∴抛物线解析式为y=-x2+x+2.
(2)①如图,过点P作PN⊥x轴于点N,交BC于点M.
当x=0时,y=2.∴点C(0,2).
∵点B(4,0),∴BC==2.
设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0).
把点C(0,2),B(4,0)代入y=mx+n,得解得
∴直线BC的解析式为y=-x+2.
设点P,
则点M.
∴PM=-t2+t+2-=-t2+2t.
∵∠PQM=∠BNM=90°,∠QMP=∠NMB,∴∠NPQ=∠NBM.
又∵∠PQM=∠BOC=90°,
∴△PQM∽△BOC.
∴,即PQ=.
∴PQ=-t2+t=-(t-2)2+.
∴当t=2时,线段PQ的最大值为.
②当∠PCQ=∠ABC时,△PCQ∽△ABC,
此时PC∥OB,点P和点C关于直线x=对称,
∴此时点P的坐标为(3,2).
当∠CPQ=∠ABC时,△CPQ∽△ABC,
∵∠OBC=∠NPQ,∴∠CPQ=∠MPQ.
又∵PQ⊥CM,
∴△PCM为等腰三角形.
∴PC=PM.∴PC2=PM2.
∴t2+=.解得t=.
此时点P的坐标为.
综上所述,P点的坐标为(3,2)或,.
5.解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).把点A(1,0),B(-3,0),C(0,-3)代入,得
解得
∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3.
(2)把点A(1,0)代入y=-2x+m,
得-2+m=0.解得m=2.
∴y=-2x+2.
联立
解得或
∴点E(-5,12).
如图1,过点M作MN∥y轴交AE于点N.
图1
设点M(m,m2+2m-3),
则点N(m,-2m+2).
∴MN=-2m+2-(m2+2m-3)=-m2-4m+5.
∴S△AME=MN·|xA-xE|=×(-m2-4m+5)×6=-3(m+2)2+27.
∵-3<0,
∴当m=-2时,S△AME取最大值,最大值为27.
∴△AME的面积最大值为27.
(3)在y轴上存在点P,使得以点D,E,P为顶点的三角形与△AOD相似.
在y=-2x+2中,令x=0,得y=2,
∴点D(0,2).
∴OD=2.
∵点A(1,0),
∴OA=1.
∴.
∵∠AOD=90°,以点D,E,P为顶点的三角形与△AOD相似,
∴△DEP是直角三角形,且两直角边的比为.
①如图2,过点E作EP⊥y轴于点P.∴∠DPE=90°.
∵点E(-5,12),D(0,2),
∴PE=5,PD=12-2=10.
∴.∴.
又∵∠EPD=∠AOD,
∴此时△EPD∽AOD,点P的坐标为(0,12).
图2　　 　图3
②如图3,过点E作EP⊥DE交y轴于点P.∴∠PED=90°.
∵∠PED=∠AOD,∠PDE=∠ODA,
∴△PED∽△AOD.
∴.∴.
∵点D(0,2),E(-5,12),
∴DE==5.
∴EP=DE=.
∴DP=.
∴OP=OD+DP=2+.
∴点P的坐标为.
综上所述,点P的坐标为(0,12)或.专题训练四　相似三角形的基本模型
“A”字型及其变形
1.(2024秦皇岛青龙县期末)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE与BC不平行,添加下列条件之一仍不能判定△ADE∽△ACB的是 (　　)
A. B.
C.∠AED=∠B D.∠ADE=∠C
2.如图,在菱形ABCD中,点E在边AD上,射线CE交BA的延长线于点F.若,AB=3,则AF的长为 (　　)
A.1 B. C. D.2
3.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,连接DE.
(1)若AD·AB=AE·AC,求证:△ADE∽△ACB.
(2)若AB=8,AC=6,AD=3,当AE=　　　　　时,△ADE与△ACB相似.
“X”字型及其变形
4.如图,AD,BC相交于点O,由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是 (　　)
A.AB∥CD B.∠A=∠D C. D.
5.如图,BE是△ABC的角平分线,延长BE至点D,使得BC=CD.
求证:△AEB∽△CED.
　　　　　　　　　　　 　　　　　
旋转型
6.(2024西安长安区期末)如图,已知∠1=∠2,点D在BC上,添加下列条件后,仍无法判定△ABC∽△ADE的是 (　　)
A.∠B=∠ADE B.∠2=∠EDC
C. D.
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n°后,得到△DEC,点D刚好落在边AB上,DE交BC于点O.
(1)n的值是　　　　　.
(2)若F是DE的中点,求证:△ABC∽△FCO.
　
双垂直型及其变形
8.如图,已知∠ACB=∠ADC=90°,AD=2,CD=,当AB的长为　　　　时,△ACB与△ADC相似.
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,E为BC上一点,连接AE,作EF⊥AE交AB于点F.
(1)求证:△AGC∽△EFB.
(2)除(1)中相似三角形,图中还有其他相似三角形吗 如果有,请把它们都写出来.
　　　　　　　　　　　 　　　　　
一线三等角型
10.如图,在边长为9的等边三角形ABC中,BD=3,∠ADE=60°,则AE的长为　　　.
11.如图1中,∠ABC=90°,点B在直线l上,过A,C两点作直线l的垂线段,垂足分别为D,E,容易证得△ADB∽△BEC.此图形如横放的大写英文字母“K”,故常称之为“K形图”,又因为图中的三个直角顶点在同一直线上,又称之为“一线三垂直”,是学习相似三角形的基本图形之一.请以“K形图”为模型,解答下面问题:
(1)当图1中∠ABC=∠ADB=∠BEC=90°,改为图2中的∠ABC=∠ADB=BEC=α,请问△ADB∽△BEC的结论还成立吗 若成立,请证明这个结论;若不成立,请说明理由.
(2)如图3,在等边三角形ABC中,AB=6,将一直角三角尺DEF的60°角的顶点E置于边BC上移动(不与点B,C重合),移动过程中,始终满足直角边DE经过点A,斜边EF交AC于点G.求线段AG长度的最小值.
　　　　　
图1 　　　　　　图2 　　　　　　　　图3　　　
【详解答案】
1.B　解析:∵∠DAE=∠CAB,∴当∠ADE=∠C时,△ADE∽△ACB;当∠AED=∠B时,△ADE∽△ACB;当时,△ADE∽△ACB.故选B.
2.C　解析:∵四边形ABCD为菱形,
∴AD∥CB,AB=BC=AD.
∵,
∴.
∴.
∵AD∥CB,
∴△FAE∽△FBC.
∴.
∴.
∴AF=.
故选C.
3.解:(1)证明:∵AD·AB=AE·AC.
∴.
又∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACB.
(2)或4
4.D　　解析:A.由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC,故本选项不符合题意.B.由∠AOB=∠DOC,∠A=∠D能判定△AOB∽△DOC,故本选项不符合题意.C.由,∠AOB=∠DOC能判定△AOB∽△DOC,故本选项不符合题意.D.已知两组对应边的比相等,但其夹角不一定对应相等,不能判定△AOB与△DOC相似,故本选项符合题意.故选D.
5.证明:∵BE是△ABC的角平分线,
∴∠ABE=∠CBE.
∵BC=CD,
∴∠CDE=∠CBE=∠ABE.
又∵∠AEB=∠CED,
∴△AEB∽△CED.
6.D　解析:A.∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,即∠BAC=∠DAE.又∵∠B=∠ADE,∴△ABC∽△ADE.故本选项不符合题意;B.∵∠2=∠EDC,∴∠E=∠C.又∵∠BAC=∠DAE,∴△ABC∽△ADE.故本选项不符合题意;C.∵∠BAC=∠DAE,,∴△ABC∽△ADE.故本选项不符合题意;D.∠BAC=∠DAE,,不符合相似三角形的判定定理,不能推出△ABC∽△ADE,故本选项符合题意.故选D.
7.解:(1)60
(2)证明:∵∠ACB=90°,∠B=30°,
∴∠A=90°-∠B=60°.
由旋转,得CD=CA.
∴△ACD是等边三角形.
∴∠ACD=60°.
∵△ABC绕点C旋转后得△DEC,
∴∠CDE=∠A=60°,
∠DCE=∠ACB=90°.
∴∠CDE=∠ACD.
∴AC∥DE.
∴∠COF=∠ACB=90°.
在Rt△DCE中,∵F是DE的中点,
∴CF=DF.
∴△CDF为等边三角形.
∴∠DFC=60°.
∴∠A=∠OFC.
∴△ABC∽△FCO.
8.3或3　解析:∵AD=2,CD=,∠D=90°,
∴AC=.
要使这两个直角三角形相似,有两种情况:①当Rt△ABC∽Rt△ACD时,有,即,∴AB=3.
②当Rt△ACB∽Rt△CDA时,有,即,∴AB=3.
∴当AB的长为3或3时,△ACB与△ADC相似.
9.解:(1)证明:∵CD⊥AB,EF⊥AE,
∴∠FDG=∠FEG=90°.
∴∠DGE+∠DFE=360°-90°-90°=180°.
∵∠BFE+∠DFE=180°,
∴∠BFE=∠DGE.
∵∠DGE=∠CGA,
∴∠CGA=∠BFE.
∵∠ACB=∠FEG=90°,
∴∠AEC+∠BEF=180°-90°=90°,∠AEC+∠EAC=90°.
∴∠EAC=∠BEF,
又∠CAG=∠BEF.
∴△AGC∽△EFB.
(2)有.
∵∠GAD=∠FAE,∠ADG=∠AEF=90°,
∴△AGD∽△AFE.
∵∠CAD=∠BAC,∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ACD∽△ABC.
同理得△BCD∽△BAC.
∴△ACD∽△CBD.
∴△ACD∽△ABC∽△CBD.
10.7　解析:∵△ABC 是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,AB=AC=BC=9.
∵∠ADE=60°,
∴∠ADB+∠EDC=120°.
又∵∠BAD+∠ADB=120°,
∴∠DAB =∠EDC.
∴△ABD∽△DCE.
∴,
即.解得 CE =2.
∴AE =AC-CE=7.
11.解:(1)结论仍然成立.证明如下:
根据三角形外角的性质,得∠ABE=∠ABC+∠CBE=∠A+∠ADB.
∵∠ABC=∠ADB=∠BEC=α,
∴∠A=∠CBE.
∴△ADB∽△BEC.
(2)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=6,∠B=∠C=60°.
设BE=x.
∴CE=6-x.
∵∠B=∠AEG=∠C=60°,
由(1)知,△ECG∽△ABE,
∴.
∴.
∴CG=-x2+x=-(x-3)2+.
∵-<0,
∴当x=3时,CG有最大值,为.
∴AG最短为6-.专题训练七　相似三角形与动态几何问题
图形的平移与相似三角形
1.(1)写出判定菱形相似的一种判定方法:　　　　　　　　　　　,则这两个菱形相似.
(2)如图,将菱形ABCD沿着直线AC向右平移后得到菱形A'B'C'D'.求证:四边形A'FCE是菱形,且菱形ABCD∽菱形A'FCE.
(3)若AC=,菱形A'FCE的面积是菱形ABCD面积的一半,求平移的距离AA'的长.
　　　　　　　　　　　 　　　　　
图形的旋转与相似三角形
2.(2024唐山月考)在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起,如图1所示,点A为公共顶点,点D在AB的延长线上,∠BAC=∠AED=90°,AB=AE=2.若将△ABC固定不动,把△ADE绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°),此时线段AD,射线AE分别与射线BC交于点M,N.
(1)当△ADE旋转到如图2所示的位置时,
①求证:△ABN∽△MAN.
②在图2中除△ABN∽△MAN外还有哪些相似三角形 直接写出.
③如图2,若BM=1,求BN的长.
(2)在旋转过程中,若BM=d,则CN的长为　　　　　　(用含d的式子表示).
图1 　图2
图形的翻折与相似三角形
3.如图,直线y=2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,把△AOB沿y轴翻折,点A落到点C,过点B的抛物线y=-x2+bx+c与直线BC交于点D(3,-4).
(1)求直线BD和抛物线的解析式.
(2)在第一象限内的抛物线上,是否存在一点M,作MN垂直于x轴,垂足为N,使得以点M,O,N为顶点的三角形与△BOC相似 若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
　　　　　　　　　　　 　　　　　
动点问题与相似三角形
4.如图,在△ABC中,BA=BC=20 cm,AC=30 cm,点P从点A出发,沿AB以4 cm/s的速度向点B运动;同时点Q从点C出发,沿CA以3 cm/s的速度向点A运动.设运动时间为x s.
(1)当x为何值时,PQ∥BC
(2)当△APQ与△CQB相似时,AP的长为　　　　　　　　.
(3)当S△BCQ∶S△ABC=1∶3,求S△APQ∶S△ABQ的值.
5.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=5 cm,BC=6 cm,点P从点B开始沿BC边以每秒1 cm的速度向点C运动,点Q从点C开始沿CA边以每秒2 cm的速度向点A运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交BC于点E.点P,Q分别从B,C两点同时出发,当点Q运动到点A时,点Q,P停止运动,设它们运动的时间为x s.
(1)当x=　　　　s时,射线DE经过点C.
(2)当点Q运动时,设四边形ABPQ的面积为y cm2,求y与x的函数解析式(不用写出自变量的取值范围).
(3)当点Q运动时,是否存在以点P,Q,C为顶点的三角形与△PDE相似 若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由.
【详解答案】
1.解:(1)有一组角对应相等(或两组对角线对应成比例)
(2)证明:由题意知,FC∥A'E,EC∥A'F,
∴四边形A'FCE是平行四边形.
∵AC平分∠DCB,A'C'平分∠D'A'B,即A'C平分∠EA'F,∠ECF,
∴EA'C=∠FA'C=∠A'CE,
∴EA'=EC.
∴ A'FCE是菱形.
由平移,得∠DAB=∠D'A'B',
∴菱形ABCD∽菱形A'FCE.
(3)∵菱形ABCD∽菱形A'FCE,菱形A'FCE的面积是菱形ABCD面积的一半,
∴菱形ABCD与菱形A'FCE的面积之比为2∶1.
∴对应边之比为∶1,
即AC∶A'C=∶1.
∵AC=,
∴A'C=1.
∴AA'=AC-A'C=-1.
2.解:(1)①证明:∵△ABC与△EAD为等腰直角三角形,
∴∠ABN=∠MAN=45°.
又∵∠ANB=∠MNA,
∴△ABN∽△MAN.
②△ACM∽△NAM,△ABN∽△MCA.
③在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,
∴BC==4.
∴CM=BC-BM=3.
∵∠AMC=∠B+∠BAM=45°+∠BAM,∠NAB=∠MAN+∠BAM=45°+∠BAM,
∴∠NAB=∠AMC.
∵∠B=∠C,
∴△ABN∽△MCA.
∴,即.
解得BN=.
(2)或
解析:如图1,当点N在线段BC上时,
图1
由③可知△ABN∽△MCA,
∴,即.
解得BN=.
∴CN=BC-BN=4-.
如图2,当点N在线段BC的延长线上时,
图2
CN=BN-BC=-4=.
综上所述,CN的长为或.
3.解:(1)在y=2x+2中,
当x=0时,y=2,
∴点B(0,2).
当y=0时,x=-1,
∴点A(-1,0).
∵抛物线y=-x2+bx+c过点B(0,2),D(3,-4),
∴
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2.
设直线BD的解析式为y=kx+n(k≠0).
代入点B(0,2),D(3,-4),得
解得
∴直线BD的解析式为y=-2x+2.
(2)存在.
如图,设点M(m,-m2+m+2).
∵MN⊥x轴,
∴MN=-m2+m+2,ON=m.
∵直线BD的解析式为y=-2x+2,
当y=0时,x=1,
∴点C(1,0).
∴OC=1.
∵点B(0,2),
∴OB=2.
①若△BOC∽△MNO,
则,
即,
解得m1=1,m2=-2(舍去).
当m=1时,-m2+m+2=2,
∴点M(1,2).
②若△BOC∽△ONM,
则,
即,
解得m1=,m2=(舍去).
当m=时,-m2+m+2=.
∴点M,
综上所述,点M的坐标为(1,2)或.
4.解:(1)由题意,得PQ∥BC,则AP∶AB=AQ∶AC,CQ=3x,AP=4x,AQ=30-3x.
∴.
∴x=.
(2) cm或20 cm
解析:易知∠A=∠C,故△APQ与△CQB相似有两种情况.
情况1:当△APQ∽△CQB时,CQ∶AP=BC∶QA,
即,解得x=或x=0.
经检验,x=是原分式方程的解,且符合题意,此时AP= cm.
情况2:当△APQ∽△CBQ时,CQ∶AQ=BC∶PA,
即,解得x=5或x=-10.
经检验,x=5是原分式方程的解,且符合题意,此时AP=20 cm.
所以AP= cm或AP=20 cm.
(3)当S△BCQ∶S△ABC=1∶3时,,
∴.
∵CQ∶AC=1∶3,AC=30,
∴CQ=10=3x.
∴x=.
∴AP=4x=.
∴AP∶AB=∶20=2∶3.
∴.
5.解:(1)2
解析:如图1,当DE经过点C时,点E与点C重合,
∵DE⊥PQ,PD=QD,
∴PC=CQ,PC=6-x,CQ=2x,即6-x=2x,得x=2.
∴当x=2时,射线DE经过点C.
图1
(2)如图2,分别过点Q,A作QN⊥BC,AM⊥BC,垂足分别为N,M.∴QN∥AM.
∵AB=AC=5 cm,BC=6 cm,
∴BM=CM=BC=3 cm
∴AM==4(cm).
∵QN∥AM,
∴△QNC∽△AMC.
∴,即.
∴QN=x.
又∵PC=6-x,
∴S△PCQ=PC·QN=(6-x)·x.
∴y=S△ABC-S△PCQ=×6×4-(6-x)x,
即y=x2-x+12.
图2　 　图3
(3)存在.
如图3,过点A作AM⊥BC于点M.
∵DE⊥PQ,
∴PQ⊥AC时,AC∥DE.
∴△PQC∽△PDE.
此时,△PQC∽△AMC,
∴,即.
∴x=.专题训练五　证比例式或等积式的常见方法技巧
构造平行线法
1.如图,已知△ABC的边AB上有一点D,边BC的延长线上有一点E,且AD=CE,DE交AC于点F.
求证:AB·DF=BC·EF.
　　　　　　　　　　　 　　　　　
三点定形法
2.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,若AB+BD=25,AC-CD=4,求AD的值.(提示:延长AB到点H,使BH=BD,在AC上截取CF=CD,证△ADH相似于△AFD)
3.(2024百色期中)【探究与应用】
问题:如图1所示,AD是△ABC的角平分线.求证:.
【解决问题的方法】(1)善于思考的小安发现:过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E,如图2,通过证三角形相似,可以解决问题.求证:.
【应用提升】(2)请你利用上述结论,解决下列问题:
如图3,在四边形ABCD中,AB=2,BC=4,BD平分∠ABC,CD⊥BD于点D,AE⊥BD于点E,AC与BD相交于点O.求的值.
　　　　
图1　　　图2　　　　　图3　　
等比过渡法
4.(2024滁州定远县期末)如图,E为 ABCD的边CD延长线上的一点,连接BE交AC于点O,交AD点F.
求证:(1).
(2)OB2=OE·OF.
5.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E是AC的中点,ED交AB 的延长线于点F.
求证:AB·AF=AC·DF.
等积代换法
6.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,P是AD上一点,CF∥AB,延长BP交AC于点E,交CF于点F.
求证:BP2=PE·PF.
7.如图,在☉O中,直径AB 垂直弦CD于点E,过点A作∠DAF=∠DAB,过点 D作AF 的垂线,垂足为 F,延长FD交AB的延长线于点 P,连接 CO并延长交☉O于点G,连接 EG.
求证:(1)DF是☉O的切线.
(2)OC2=OE·OP.
等线段代换法
8.如图,在△ABC中,点D,E在边AB上,AC2=AD·AB,AC=AE,连接CD,CE,过点D作DF∥CE交边AC于点F.
求证:(1)△ACD∽△ABC.
(2)AE·EB=AB·FC.
9.(2024上海静安区期末)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,点E在BA延长线上,点F在AC边上,∠EDF=∠B.
求证:(1)△BDE∽△CFD.
(2)DF2=EF·CF.
【详解答案】
1.证明:如图,过点D作DG∥BE,交AC于点G.
∵BE∥DG,
∴△ADG∽△ABC,
△DGF∽△ECF.
∴,.
∵AD=CE,
∴,.
∴.
∴AB·DF=BC·EF.
2.解:如图,延长AB到点H,使BH=BD,在AC上截取CF=CD,连接DF,DH,
∵AB+BD=25,AC-CD=4.
∴AH=AB+BH=AB+BD=25,AF=AC-CF=AC-CD=4.
设∠H=∠BDH=α,∠CFD=∠CDF=β,∠DAB=∠DAC=γ.
∴∠ABC=2α,∠BAC=2γ,∠C=180°-2β.
又∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°,
∴2α+2γ+180°-2β=180°,即α+γ=β.
∴∠ADF=∠DFC-∠DAC=β-γ=α.
∴∠H=∠ADF.
又∵∠DAH=∠FAD,
∴△AHD∽△ADF.
∴.
∴AD2=AF·AH=4×25=100.
∴AD=10.
3.解:(1)证明:∵BE∥AC,
∴∠E=∠DAC.
∵∠EDB=∠ADC,
∴△EDB∽△ADC.
∴.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC.
∴∠E=∠BAD.
∴BE=AB.
∴.
(2)在四边形ABCD中,BD平分∠ABC,
由(1)知,,
∵AB=2,BC=4,
∴.
∵CD⊥BD,AE⊥BD,
∴∠AEO=∠CDO=90°.
∵∠AOE=∠COD.
∴△AOE∽△COD.
∴.
4.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∴△AOB∽△COE.
∴.∴.
(2)∵△COE∽△AOB,∴.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC.
∴△COB∽△AOF.
∴.
∴,即OB2=OE·OF.
5.证明:∵AD⊥BC,E是AC的中点,
∴DE=EC.
∴∠EDC=∠C.
∵∠BAC=∠ADC=90°,
∴∠BAD+∠DAC=90°,∠DAC+∠C=90°.
∴∠BAD=∠C=∠EDC.
∵∠BDF=∠EDC,
∴∠BDF=∠BAD.
又∵∠F为公共角,
∴△BDF∽△DAF.
∴.
∵∠ADB=∠ADC=90°,∠BAD=∠C,
∴△ABD∽△CAD.
∴.
∴,即AB·AF = AC·DF.
6.证明:如图,连接 CP.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴AD垂直平分BC,∠ABC=∠ACB.
∴BP=CP.
∴∠1=∠2.∴∠3=∠4.
∵CF∥AB.
∴∠3=∠F.∴∠F=∠4.
∵∠CPF=∠EPC,
∴△CPF∽△EPC.
∴,即CP2=PE·PF.
∵BP=CP,
∴BP2=PE·PF.
7.证明:(1)如图,连接 OD.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA.
∵∠DAF=∠DAB,
∴∠ODA=∠DAF.
∴OD∥AF.
∵DF⊥AF,
∴DF⊥OD.
∵OD是☉O的半径.
∴DF是☉O的切线.
(2)由(1)知∠ODP=90°.
∵AB⊥CD,∴∠OED=90°.
∴∠OED=∠ODP.
又∵∠EOD=∠DOP,
∴△ODE∽△OPD.
∴,即OD2=OE·OP.
又∵OC=OD,
∴OC2=OE·OP.
8.证明:(1)∵AC2=AD·AB,
∴.
又∵∠CAD=∠BAC,
∴△ACD∽△ABC.
(2)∵DF∥CE,
∴.
∵AC=AE,
∴DE=FC.
∴AC=AE=AB-BE,AD=AE-DE=AE-FC.
∵,
∴,
∴AB·AE-BE·AE=AB·AE-AB·FC.
∴AE·EB=AB·FC.
9.证明:(1)∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
∵∠EDF=∠B,∠EDC=∠B+∠BED=∠EDF+∠CDF,
∴∠BED=∠CDF.
∴△BDE∽△CFD.
(2)∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
由(1)可知,△CFD∽△BDE,
∴,
∴.
又∵∠EDF=∠B=∠ACB,
∴△CDF∽△DEF.
∴.
∴DF2=EF·CF.

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