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第27章 相似综合检测题
一、单选题
1．如图，在菱形中，是的中点，，交于点，如果，那么菱形的周长为（　　）
A．24 B．18 C．16 D．8
2．如图，为边上的一点．若的面积为3，则的面积为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．12
3．如图，在中，点，分别在，上，若，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，点，连接AP交y轴于点B．若．则的值是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，已知与位似，位似中心为点，若的周长与的周长之比为，则是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该项同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m，则旗杆的高度为　 　 m.
7．已知，则的值为　 　．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，4)，B(6，﹣2)，以原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是　 　.
9．已知图中的每个小正方格都是边长为1的小正方形，若△ABC与 是位似图形，且顶点都在小正方形顶点上，则它们的位似中心的坐标是　 　．
10．已知是的边上的点，若 ，则　 　得到（填“能”或“不能”）
11．如果两个相似三角形的周长比为 ，那么面积比是　 　.
三、计算题
12．如图，已知相交于点，过作交于点，．
（1）求的值；
（2）设，用向量表示．
13．随着社会车辆的增多，儿童安全问题成为社会关注的焦点，建议司机和行人时刻“警惕汽车视线盲区，谨防看不见的安全隐患”．如图，在某小区内住宅楼拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被住宅楼遮挡的拐角另一侧的处驶来，已知，汽车从处前行多少米才能发现处的儿童．（结果保留到，参考数据：
四、解答题
14．已知△ABC∽△DEF，且DE＝2 cm，AB＝4 cm，BC＝5 cm，CA＝6 cm，求△DEF的周长.
15．在平面直角坐标系中，已知，；点从开始沿以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用，
（1）用含t的代数式表示：线段______ ；________．
（2）当与相似时，求出t的值．
五、综合题
16．如图，为了测量一池塘的宽，在岸边找一点，连接，，测得，在的延长线上找一点，测得，过点作，交的延长线于，测得，求池塘的宽．
17．方格图中的每个小方格都是边长为1小正方形，我们把小正方形的顶点称为格点，格点连线为边的四边形称为“格点四边形”，图1中的四边形ABCD就是一个格点四边形.
（1）小彬在图2的方格图中画了一个格点四边形EFGH.借助方格图回答：四边形ABCD与四边形EFGH相似吗？若相似，直接写出四边形ABCD与四边形EFGH的相似比；若不相似说明理由；
（2）请在图3的方格图中画一个格点四边形，使它与四边形ABCD相似，但与四边形ABCD、四边形EFGH都不全等.
18．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3cm，AC=3 cm，点P由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为 cm/s；若设运动的时间为t(s)(0＜t＜3)，解答下列问题：
（1）如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；
（2）如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；
（3）如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．
六、实践探究题
19．【操作探究】在数学综合与实践活动课上，老师组织同学们开展以“测量小树的高度”为主题的探究活动．
【学生】查阅学校资料得知树前的教学楼高度为12米，如图1，某一时刻测得小树、教学楼在同一时刻阳光下的投影长分别是米，米．
（1）请根据同学的数据求小树的高度；
【学生】借助皮尺和测角仪，如图2，已知测角仪离地面的高度米，在处测得小树顶部的仰角，测角仪到树的水平距离米．
（2）请根据同学的数据求小树的高度（结果保留整数，，）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；同位角的概念
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；求正弦值
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；位似图形的性质
6．【答案】12
【知识点】相似三角形的应用
7．【答案】．
【知识点】比例的性质
8．【答案】(1，2)或(﹣1，﹣2)
【知识点】位似变换
9．【答案】（9，0）
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
10．【答案】不能
【知识点】相似三角形的判定与性质
11．【答案】16：81
【知识点】相似三角形的性质
12．【答案】（1）
（2）
【知识点】相似三角形的判定与性质；内错角的概念；实数与向量相乘运算法则；向量的线性运算
13．【答案】汽车从处前行米才能发现处的儿童．
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的其他实际应用；盲区
14．【答案】解：△ABC的周长=AB+BC+CA=4+5+6=15（cm），
∵△ABC∽△DEF，
∴，
∴△DEF的周长=×15=7.5（cm）.
【知识点】相似三角形的性质
15．【答案】（1），；
（2）或
【知识点】坐标与图形性质；相似三角形的性质
16．【答案】
【知识点】相似三角形的应用
17．【答案】（1）解：相似；
根据题意，四边形ABCD中， ，BC=1，CD=2，AD= ；四边形EFGH中， ，FG=2，GH=4，EH= ；
∴ ，即 ，
∴四边形ABCD与四边形EFGH相似，相似比为： .
（2）解：根据题意，设相似比为 ，则四边形MNPQ的各边为：
MN=2，NP= ，PQ= ，MQ= ，
如图，四边形MNPQ即为所求.
.
【知识点】相似多边形；作图﹣相似变换
18．【答案】（1）解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=3cm，
∴AB=6，
由运动知，BP=2t，AQ= ，
∴AP=6﹣2t，
∵△APC∽△ACB，
∴t= ；
（2）解：存在，
理由：如图②，由运动知，BP=2t，AQ= ，
∴AP=6﹣2t，CQ= ，
∵点P是CQ的垂直平分线上，
过点P作PM⊥AC，
∴QM=CM=
∴AM=AQ+QM= = (3+t)
∵∠ACB=90°，∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC
∴
∴解得t=1；
（3）解：不存在
理由：由运动知，BP=2t， ，
∴AP=6﹣2t，
假设线段BC上是存在一点G，使得四边形PQGB为平行四边形，
∴PQ∥BG，PQ=BG，
∴△APQ∽△ABC， ，
∴ ，
∴BP=2t=3，
∴PQ≠BP，
∴平行四边形PQGB不可能是菱形．即：线段BC上不存在一点G，使得四边形PQGB为菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；相似三角形的判定与性质
19．【答案】（1）大树高是4米；（2）米
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
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