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（备战高考）等差数列与等比数列专题训练-2025年高考数学一轮复习
一、单选题
1．满足条件的等差数列共有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列是等比数列，记数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C．1 D．3
4．在等比数列中，，其前项和为，且是和的等差中项，则（ ）
A． B． C． D．
5．《九章算术》有这样一个问题；今有女子善织，日增等尺，七日织三十五尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十八尺，问第九日所织尺数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．已知等差数列的前n项和为，且，，，则的所有取值的和等于（ ）
A．24 B．26 C．37 D．44
7．已知在数列中，，，，数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
8．设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合，下列结论：
①若与均为等差数列，则中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、多选题
9．记数列的前n项和为，且，则（ ）
A． B．数列是公差为1的等差数列
C．数列的前n项和为 D．数列的前2023项和为
10．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，是与的等比中项，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．当时，的最大值为22
D．当取得最大值时，的值为11
11．已知数列的前n项和为，满足，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．为等比数列 B．为等比数列
C． D．
三、填空题
12．记等差数列的前项和分别为. 若，则 .
13．在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为 .
14．正项等比数列|满足，且成等差数列，则取得最小值时的值为
四、解答题
15．在等差数列中，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和的最小值.
16．已知是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列，数列满足：，且.
(1)求和的通项公式；
(2)若为数列的前项和，求.
17．已知各项全不为零的数列的前n项和为，且，其中 .
(1)求数列的通项公式；
(2)令，设数列的前n项和为，求证: .
18．已知数列的前项和为，且.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求和：.
19．已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”.
(1)已知数列，的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“凹数列”，并说明理由；
(2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围；
(3)证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，，，当时，有”.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A A D B A C ACD BD
题号 11
答案 BCD
1．D
【分析】由得，根据枚举法列出所有的情况，即可求解.
【详解】由，得.
设等差数列的公差为，由题意知①，
当时，由①，得或2，此时或；
当时，由①，得，此时；
当时，由①，得或1，此时或.
所以满足题意的等差数列共有5个.
故选：D
2．A
【分析】根据等差数列的定义，写出通项公式，结合题意，可得答案.
【详解】由题意得，即，则．
故选：A．
3．A
【分析】根据数列是等比数列，可知数列为等差数列，由等差数列的性质求解即可.
【详解】则为常数，所以为常数，
知数列为等差数列，
由，知，又，
所以公差，
故.
故选：A
4．A
【分析】设等比数列的公比为，分析可知，由已知条件求出的值，再结合等比数列的求和公式可求得的值.
【详解】设等比数列的公比为，若，则等比数列为摆动数列，
这与矛盾，故，
根据题意得，则，解得或（舍）.
则.
故选：A.
5．D
【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解.
【详解】由题意得，该女子每日织布的尺数构成等差数列，记等差数列的前项和为，
，解得，
所以.
故选：D.
6．B
【分析】根据题干条件得到,联立方程求解即可.
【详解】等差数列的前项和为，，，
得到
，同理得到
可得：，
由等差数列的通项公式和求和公式得到
联立两个方程消去，可得：，
解得：或.
所以的所有取值的和等于26，
故选：B
7．A
【分析】根据取倒数法可得，由等差数列的定义和通项公式可得，进而，结合裂项相消法求和即可.
【详解】由，得，即，
又，所以，
则是以为首项，以为公差的等差数列，
得，故，得，
所以，
所以
.
故选：A
8．C
【分析】根据等差数列与等比数列的函数特性结合反例一一分析结论即可.
【详解】对于①，若与均为等差数列，不妨设各自公差分别为，
则，所以，
因为与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，所以：
（i）若，则，则；
（ii）若，则，则不存在；
（iii）若，，则；综上①正确；
对于②，若与均为等比数列，不妨设各自公比分别为，
显然，显然该数列的奇数项都相同，故②错误；
对于③，设，，
若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解，
若，则由和的散点图可得
：关于的方程至多有两个不同的解，矛盾；
若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数，
当有偶数解，此方程即为，
方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时，
否则，因单调性相反，
方程至多一个偶数解，
当有奇数解，此方程即为，
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即
否则，因单调性相反，
方程至多一个奇数解，
因为，不可能同时成立，
故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，故③正确.
对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，
后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.
故选：C
【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化.
9．ACD
【分析】根据给定条件，利用求出通项公式，再逐项求解判断即可.
【详解】数列的前n项和，当时，，
而满足上式，因此，
对于A，，A正确；
对于B，，则数列是公差为的等差数列，B错误；
对于C，，数列的前n项和
，C正确；
对于D，，
则数列的前2023项和为，D正确.
故选：ACD
10．BD
【分析】根据等差数列的前项和与等比中项求出通项公式，由通项公式直接判断AB，再求出前项和表达式判断CD．
【详解】设等差数列的公差为（），
又是与的等比中项，所以，
即，所以，
又，所以，又，
所以，
解得，所以，
所以，故A正确；，故B错误；，令，解得，
所以当时，的最大值为22，故C正确；
因为，所以当取得最大值时，的值为11或12，故D错误.
故选：BD.
11．BCD
【分析】由题设得是首项、公比为3的等比数列，即可判断A、B、C；应用错位相减法、等比数列前n项和判断D.
【详解】由题设，且，故是首项、公比为3的等比数列，
所以，则，故不是等比数列，A错，B、C对；
由，则，
所以，
所以，D对.
故选：BCD
12．
【分析】设，，，再根据得出的关系，进而可得.
【详解】设，，，
则，.
故，则，，且.
故，，.
则，，故.
故答案为：.
13．
【分析】利用构造法分析得数列是等比数列，进而求得，从而将问题转化为恒成立，令，分析数列的最值，从而得解.
【详解】由，得，又，
故数列为首项为，公比为的等比数列，
所以，
则不等式可化为，令，
当时，；当时，；
又，
则当时，，当时，，
所以，则，即实数的最小值为.
故答案为：.
14．2
【分析】先由题意列出关于的方程，求得的通项公式，再表示出即可求解.
【详解】设公比为，且，
，由成等差数列，
得：，
，
，
，，
，
，，令，
，
，
时，上式有最小值.
故答案为：2.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列性质可得，进而可求，即可得通项公式；
（2）根据通项公式分析数列的符号性，进而可得前项和的最小值.
【详解】（1）因为，即，
又因为，可得，即，
则，可得，
所以数列的通项公式.
（2）令，解得，
可知当时，；当时，；
所以数列的前项和的最小值为.
16．(1)，
(2)
【分析】（1）根据已知条件结合等差、等比数列的基本公式即可求出的通项公式，运用构造法求的通项公式.
（2）先确定，利用错位相减法即可求出.
【详解】（1）设的公差为，因为，，成等比数列，
所以，即，
整理有：，解得（舍），
所以，；
因为，所以，
又，，
所以为首项为，公比为的等比数列，
所以，
（2）因为，
①，
②
两式相减，得：
，
所以.
17．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据递推式可得、，讨论奇偶性求通项公式即可；
（2）由（1）得，应用分组、裂项求和及等比数列前n项和求，即可证结论.
【详解】（1）当时，由及，得，
当时，由，得，
因为，所以，
从而，，，
综上.
（2）由，则，又，
所以，
.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用得出数列的递推关系，再由等比数列的定义得证；
（2）用错位相减法求和．
【详解】（1）时，，
有，又时，，有，
所以数列是以1为首项，公比为2的等比数列．
（2）由（1）得数列的通项公式，
设
则①
②
①②得：
.
19．(1)数列是为“凹数列”， 数列不是为“凹数列”，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据通项公式判断数列为等差数列，为等比数列，进而求得前项和，，再根据“凹数列”的定义判断即可；
（2）根据数列为等差数列可得通项公式，再根据“凹数列”的定义得对任意，恒成立，进而解出的范围即可；
（3）先证明必要性，放缩得到，故，再证明充分性，取，，则有，进而得证.
【详解】（1）由于为等差数列，所以，为等比数列，，任意的，都有，故，所以数列是为“凹数列”，
任意的，都有，
故，所以数列不是为“凹数列”，
（2）因为等差数列的公差为，，所以，
因为数列是凹数列，所以对任意，恒成立，
即，
所以，即，
因为，解得.所以的取值范围为.
（3）先证明必要性：因为为“凹数列”所以对任意的，都有，即，所以对任意的，，，当时，有，所以，
又，
所以，所以，必要性成立；
再证明充分性：对于任意的，，，当时，有，
取，，则有，
即，所以为“凹数列”.
【点睛】方法点睛：本题是数列新定义问题，主要考查了等差数列，等比数列，递推公式和求和公式等的综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.

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