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（备战高考）数列求和问题专题训练-2025年高考数学一轮复习
一、单选题
1．已知数列满足，，则数列的前8项和为（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列满足，则（ ）
A．2700 B．2721 C．5150 D．5151
3．北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有..........依此类推，最底层有个小球，共有层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共层，小球总个数为，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在数列中，，则数列前24项和的值为（ ）
A．144 B．312 C．288 D．156
5．已知数列满足，则（ ）
A．2025 B．2024 C． D．
6．已知函数，其中，记，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列的前项和为，且，则的值为（ ）
A．300 B． C．210 D．
8．函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线.在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知数列的前项和为，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知等比数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列的通项公式
B．
C．数列的通项公式为
D．
11．已知数列的前项和为，（，且），若，，则下列说法正确的是（ ）
A．数列为等差数列
B．数列中的最小项为12
C．数列的前项和为
D．若，恒成立，则
三、填空题
12．已知数列的前项和为，且，则 ．
13．已知数列满足，且，该数列的前项和为，则 .
14．意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和
四、解答题
15．已知数列是公差大于1的等差数列，，且，，成等比数列，若数列前项和为，并满足，.
(1)求数列，的通项公式.
(2)若，求数列前项的和.
16．已知数列的前n项和为，且．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求数列的前n项和．
17．已知数列的前n项和为，数列满足，，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求使得成立的n的最小整数.（表示不超过x的最大整数）
18．已知数列的通项公式为，数列满足，．
(1)求的值及的通项公式；
(2)已知，设数列的前项和为，已知，设数列的前项和为，试比较与的大小．
19．已知数列，，若对任意的，且，则，为“关联数列”，定义，.
(1)若，为“关联数列”，求；
(2)若，为“关联数列”，且，从，，，中随机取出3项，记这3项的和为，求的分布列与数学期望；
(3)若，为“关联数列”，数列满足，且，求的最大值.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B C D A A A BCD ABD
题号 11
答案 ACD
1．A
【分析】首先对已知等式进行变形，可得到数列的性质，进而求出的表达式，然后得出的表达式，再利用裂项相消法求出前项和.
【详解】已知，等式两边同时除以，得到.
因为，所以，那么数列是以为首项，为公差的等差数列.
得，则.
.
求数列的前项和
.
故选：A.
2．D
【分析】根据得到，相减以后可得，根据累加法、分组求和法，结合等差数列求和公式可求.
【详解】解：由，得，从而，
所以
，即，①
又因为②，
②两式相加，得．
故选：D．
3．B
【分析】设各层的小球个数为数列，利用，可得，，利用数列的求和公式，求得，根据题意，列出方程，求得的值，进而求得该垛积的第一层的小球个数.
【详解】设各层的小球个数为数列，
由题意得，，，，
因为，可得，
，
，
，
则，
因为前层小球总个数为，所以，即，
解得或（舍去），
所以，可得，即该垛积的第一层的小球个数为个.
故选：B.
4．C
【分析】根据题意，结合，将前24项和转化为等差数列求和问题.
【详解】因为，
所以，
故选：C.
5．D
【分析】根据累加法可得数列的通项公式，再根据裂项相消求和即可得答案.
【详解】由题意可得
，
累加可得，
，所以，
故.
故选：D.
6．A
【分析】根据给定条件，可得，再利用对数运算法则求得，利用裂项相消法求和即得.
【详解】函数，由，得
，，
因此，，
所以.
故选：A
7．A
【分析】由递推关系得的奇数项是首项为 ，公差为3的等差数列，再利用分组转化求和以及等差数列的求和公式求解即可.
【详解】若为奇数，则是偶数，是奇数，
则 ， ①
， ②
①②得：，
所以的奇数项是首项为 ，公差为3的等差数列；
所以
.
故选:A.
8．A
【分析】根据题意可得，利用裂项的思想整理可得，进而可得，即可得结果.
【详解】由题意可得：，，
则
，
可得，
又因为为递增数列，且，
所以当，可得.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用裂项的思想整理可得，即可得结果.
9．BCD
【分析】根据递推公式列出数列的前几项，即可得到数列是以为周期的周期数列，根据周期性计算可得.
【详解】因为，，
所以，，，，故A错误，B正确；
所以数列是以为周期的周期数列，则，故C正确；
，故D正确.
故选：BCD
10．ABD
【分析】根据已知条件求得公比的值，代入等比数列通项公式及等比数列求和公式计算判断选项ABC，再运用裂项相消法求和可求得数列的前项和为判断D选项.
【详解】设等比数列的公比为，则，解得，
所以，故A项正确；
所以，故B项正确；
所以，故C项错误；
因为，
所以，
由，，有，
又因为单调递增，所以，所以取值范围为，故D项正确.
故选：ABD.
11．ACD
【分析】对A，根据递推关系式以及与的关系求得的通项公式，可判断；对B，列出的关系式，结合对勾函数的性质即可判断；对C，利用分组求和、并项求和的方法即可求出判断；对D，判断的单调性，进而可得的最大值即可判断.
【详解】对A，依题意，
，
，.
也满足上式，
，，数列为等差数列，故A正确；
对B，，
当时递增，当时递减，
当时，，
当时，，最小值为．故B错误；
对C，而，
.故C正确；
对D，考查数列，因为
，
故随的增大而减小，即当时取最大值，
为，故，
故若，恒成立，则，故D正确.
故选：ACD．
12．
【分析】根据条件，利用与间的关系，得到，即可求解.
【详解】因为，
当时，，
当时，，满足，
所以，
得到，
所以，
故答案为：.
13．4049
【分析】由题意写出求和的式子，利用分组求和与等差数列的求和，可得答案.
【详解】
.
故答案为：4049.
14．4048
【分析】根据函数图象平移的性质可得的图象关于对称，即，即可求解.
【详解】由于为奇函数，图象关于原点对称，故的图象关于对称，即，
因此，,
因此,
故答案为：
15．(1)；
(2)
【分析】（1）利用等差数列的基本量可求出；利用和的关系，构造出即可求出；
（2）利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，且，，成等比数列知：
，整理得：，
即或者，因为公差大于1，故.
且，故.
数列前项和为，并满足 ①，
且，解得，
故当时， ②，
①式减②式得：，
即，故是公比为2的等边数列，
则，
故
（2），
故
则
故
故
则
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由条件可得，，故可证明数列为等比数列.
（2）表示数列的通项公式，利用错位相减法可得结果.
【详解】（1）∵，
∴当时，，
两式相减得，，整理得，即，
令得，，，，
∴是以为首项，公比的等比数列.
（2）由（1）得，，，
∴.
，
，
两式相减得，
，
∴.
17．(1)
(2)46
【分析】（1）根据和的关系可得，进而结合，利用递推关系易得，可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，进而求解即可；
（2）根据分组求和和等比数列的前项和公式可得，进而结合的定义可得，进而结合题设求解即可.
【详解】（1）由，
则，
两式相减得，，
因为，且时，，又，解得；
当时，，
则，又，则，
即，即，，
又，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
则，即.
（2）由（1）知，，
则
，
则，
则，，，，，，，
则，则，
则由，得，
即，又，则，
所以n的最小整数为46.
18．(1)，，
(2)答案见详解
【分析】（1）根据题意可得，结合前n项和与通项之间的关系列式求解；
（2）根据分组求和结合等差数列求和公式求，利用裂项相消法求，结合作差法分析判断.
【详解】（1）因为，且，
即，可得，
若，则；
若，则，
可得，即；
所以，，.
（2）设数列的前项和为，
当，则，
因为，
则
，
可得，
又因为，
则，
可得，
当，则，即；
当，则，即；
当，则，即.
19．(1)
(2)分布列见解析，
(3)4
【分析】（1）方法一：由题意可知，解出，针对部分利用错位相减法求得结果；
方法二：根据，为“关联数列”得到，然后利用裂项相消法求得结果；
（2）先分析，，…，中1与－1的个数，然后求出的所有可能取值及对应的概率，列出分布列，最后求数学期望；
（3）先求出，分析，的情况，然后结合分析，的情况，最后根据，的情况求出结果.
【详解】（1）方法一：
由题可知因为，为“关联数列”，又因为，
所以且，所以，
所以，
设，则，
两式相减得：，
所以；
方法二：
因为，为“关联数列”，所以且，所以，
所以；
（2）因为，为“关联数列”，所以且，则，
若，则，若，则，
因为，所以，
所以，，…，中有4项为1，6项为，
由题意得的所有可能取值为，，，，
，，
，，
所以的分布列为：
－3 －1 1 3
；
（3）因为，为“关联数列”，所以且，所以，
所以，从而，即，
又，所以，
所以，中有3组符号相同，5组符号相反，
因为，符号相反，所以，有3组符号相反，5组符号相同，
当，符号相反时，，当，符号相同时，，
所以，
所以的最大值为4.
【点睛】思路点睛：新定义问题的求解过程可如以下过程：
第一步：提取信息，对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；
第二步：加工信息，细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决
方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点；
第三步：迁移转化，如果是新定义的运算、法则，直接按照运算、法则计算即可，如果是新定义的性质，
一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等）；
第四步：计算，得结论，结合题意进行严密的逻辑推理，计算得结论.

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