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2024-2025学年上海交大附中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在“难解的题目；方程在实数集内的解；直角坐标平面上第四象限内的所有点；很多多项式”中，能够组成集合的是( )
A. B. C. D.
2.已知幂函数是奇函数，且在上是增函数，则满足条件的不同有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.已知互不相等的正数、、满足，则下列不等式中可能成立的是( )
A. B. C. D.
4.对任意，表示不超过的最大整数，下列性质错误的是( )
A. 存在，使得
B. 任意，使得
C. 任意、，满足，则
D. 任意、，都有
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.在实数范围内，的四次方根是______．
6.已知，则的值为______．
7.比较下列两数的大小关系， ______的大小填、或符号．
8.关于的不等式的解集为若，，则的取值范围是______．
9.函数的定义域是，则的取值范围是______．
10.已知，，则方程不同解的个数为______．
11.在区间上恰有一个满足方程，则的取值范围为______．
12.已知是常数，命题：存在实数，使得若是假命题，则的取值范围是______．
13.函数取到最小值时，实数的取值范围是______．
14.已知，则的最大值为______．
15.已知、，记集合，若，则的取值范围为______．
16.已知，函数的图像是一个中心对称图形若函数与函数的图像交点分别为，，，为正整数，则 ______．
注：．
三、解答题：本题共6小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解下列关于的不等式：
．
．
18.本小题分
已知函数 是偶函数．
求的值；
若方程有解，求的取值范围．
19.本小题分
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为单位：分钟，而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟．
试根据上述分析结果回答下列问题：
当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
求该地上班族的人均通勤时间的表达式；并求出的最小值．
20.本小题分
问题：正实数、满足，求的最小值其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是．
学习上述解法并解决下列问题：
已知、是正实数，且，求的最小值．
已知实数、、、，满足，求证．
求代数式的最小值，并求出使得最小的的值．
21.本小题分
已知函数的定义域为，现有下面两种对变换的操作：
变换：，其中．
变换：，其中．
若，，对进行变换后得到函数，解方程．
若，对进行变换后得到函数，解不等式．
若函数在上是严格增函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数对任意，若恒成立，证明：函数在上是严格增函数．
22.本小题分
已知函数在上连续，且恒成立，则在上至少有几个不同的解？
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.或
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：因为对数函数为上的减函数，
由可得，解得或，
故原不等式的解集为；
构造函数，该函数在定义域上为增函数，
所以由可得，解得，
因此，原不等式的解集为．
18.解：由函数是偶函数．
可知
即
对恒成立
．
由，
故要使方程有解，的取值范围：．
19.解：当时，恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间；
当时，若，即，解得舍或；
所以当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间
设该地上班族总人数为，则自驾人数为，乘公交人数为．
因此人均通勤时间整理得：，
因为在和为减函数，在为增函数，
，，
所以的最小值为．
20.解：因为，，，
所以，
所以，
所以，
，
当且仅当，即时等号成立，
故取得最小值．
因为，
所以，
因为，
当且仅当且、同号时取等号，此时、满足，
所以．
令，，所以，，
由，解得，
构造，由，则，
所以，利用中结论，有：
，
当且仅当且，时，即取等号，
解得时，取最小值．
21.解：由，，对进行变换后，
得，
即，解得；
由，对进行变换后得到函数
，
又，即，，
则当，即时，，
解得或，即或；
当，即时，，即，不等式恒成立，即；
综上所述，的范围为或；
证明：由题意对函数先作变换可得，
再作变换，得到函数，
对函数先作变换可得，
再作变换，得到函数，
所以对任意，，
当时，，又函数在上是严格增函数，
则，
由于，可知且，若其中，则，
即当时，，
任取，令，存在，使，
由函数在上是严格增函数，
可知，则，
依此类推可得，
即函数在上是严格增函数．
22.解：根据题意，函数在上连续，且满足，
则有，
可得：，
变形可得：，
则有或者，
当时，，
此时，
与不会同时成立，故，
所以成立，即是周期为的周期函数，
，
等号两边同除可得：，
所以，
，
变形可得：，
，
则，，
又由函数在上连续，故在上至少有一个解，
且周期为，故在一个周期内至少有个解，
在上共有个周期，
则在上至少有个不同的解．
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