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六盘水市2024-2025学年度第一学期期中考试试题卷
九年级 数学
（第一章至第四章第2节）
温馨提示：1．本试卷包括试题卷和答题卡，所有答案必须填涂或书写在答题卡上规定的位置，否则无效。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回；
2．答题前，请认真阅读答题卡上的“注意事项”；
3．本试题卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟。
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分．
1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是
A．1，4，5 B．0，4，5 C．1，4， D．1，，
2．正方形具有而矩形没有的性质是
A．对角线互相平分 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
3．下列方程中，是一元二次方程的是
A． B． C． D．
4．下列四条线段中，能成为成比例线段的是
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
5．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是
A． B． C． D．
6．数学高效学习建设以“信息学奥赛”为抓手，加强对学生兴趣建设的投入，计划三年共投入36万元，已知2022年投入10万元，设投入经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是
A． B．
C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，的坐标分别是，，则顶点的坐标是
A． B． C． D．
8．如图，，，，则的长是
A．6 B．8 C．12 D．20
9．某校组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件赛程计划安排6天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式是
A． B． C． D．
10．一个不透明的盒子里有若干个红球，在不许将球倒出来数的情况下，为估计红球个数，小颖向其中放入4个黄球并摇匀后，从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球100次，其中22次摸到黄球，请你估计盒中大约有红球多少个
A．10个 B．14个 C．18个 D．无法估计
11．如图，在菱形中，，点为的中点，于，则的长为
A． B． C． D．
12．如图，在矩形中，，，是边上一点，连接，沿翻折得到，连接．当长度最小时，的面积是
A． B． C． D．2
二、填空题：每小题4分，共16分．
13．历史上，数学家皮尔逊曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12008次，频率约为0.5，则这一枚均匀的硬币正面朝上的概率是______．
14．如图，在中，是斜边的中线，，则的长为______．
15．若，是一元二次方程的两个根，则______．
16．如图，在中，，，，为斜边上一动点，过作，过作于点，则线段的最小值为______．
三、解答题：本大题9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
用适当的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
18．（本题满分10分）
人类的性别由一对性染色体（X，Y）决定，当染色体为XX时是女性，当染色体为XY时是男性．如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱．
（1）这对夫妻“第一胎为男孩”是______事件（填“不可能”或“必然”或“随机”），“第一胎为女孩”的概率是______；
（2）这对夫妻计划生两个小孩，请用列表或画树状图的方法求出两个小孩是“一男一女”的概率．
19．（本题满分10分）
如图，，，，分别是矩形各边的中点，依次顺序连接各边中点得到四边形．
（1）猜想四边形是什么特殊四边形？
（2）对你的猜想给予证明．
20．（本题满分10分）
已知，如图，在中，，
求证：（1）；
（2）．
21．（本题满分10分）
已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求的值．
22．（本题满分10分）
某公司研发的一款垂直轴风力发电机可以应用在路灯照明、交通监控、通讯基站等．已知该发电机每月可销售300台，每台的利润为2000元，若在每台降价幅度不超过1000元的情况下，每台降价100元，则每月可多销售100台．
（1）分析：设每台降价元（为整百数）．请完成下表：
每台利润（元） 月销售量（台）
降价前 ______ ______
降价后 ______ ______
（2）当该发电机降价多少时，月利润能达到120万元？
23．（本题满分12分）
如图，中，，为中点，四边形为平行四边形，、相交于点．求证：
（1）点为的中点；
（2）试确定四边形的形状，并说明理由；
（3）若四边形为正方形，应添加什么条件？并证明你的结论．
24．（本题满分12分）
如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”；
（1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
（2）已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值；
（3）已知关于的方程（，是常数且）是“邻根方程”，令，求的最大值．
25．（本题满分14分）
（1）如图①，在正方形中，是上一点，连接，过点作交的延长线于点．求证：；
（2）如图②，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请利用（1）的结论证明：；
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图③，在四边形中，，，，是上一点，且，，，求四边形的面积．
六盘水市2024-2025学年度第一学期期中考试
九年级 数学参考答案
一、选择题：每小题3分，共36分．
1-5．DDABA 6-10．DCBCB 11．A 12．C
二、填空题：每小题4分，共16分．
13．0.5（或）
14．10cm
15．6
16．
三、解答题：本大题9小题，共98分．
17．解：（1）
或
解得，；
（2）整理，得
，
即，
解得，．
18．（1）随机；
（2）依题意可列表如下
第一个小孩 第二个小孩 男 女
男 男，男 女，男
女 男，女 女，女
由列表可知，共有4种等可能的结果，其中两个小孩是“一男一女”的结果有2种，
（两个小孩恰好是“一男一女”）．
19．（1）猜想：四边形是菱形；
（2）证明：如解图，连接，，
，分别是，中点，
是的中位线，
，且，
同理，，且，
，且，
四边形是平行四边形，
又，分别是，的中点，
是的中位线，
，且
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形．
20．证明：（1）
；
（2）
，
即
．
21．（1）证明：，
该方程总有两个实数根；
（2）解：．
，
或，
，．
方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，
为整数，或，
解得或（舍去），
的值为3．
22．解：（1）
每台利润（元） 月销售量（台）
降价前 2000 300
降价后
（2）设每台发电机应降价元，
由题意，可列方程为，
整理得，
解得，，
每台降价幅度不超过1000，
，
答：当该发电机降价500元时，月利润能达到120万元．
23．证明：（1）四边形是平行四边形，
，
为中点，
为的中位线，
即点为的中点；
（2）四边形为菱形，理由如下：
四边形是平行四边形，
．
为中点，
，
，
四边形为平行四边形，
又，为中点
，
四边形为菱形；
（3）应添加条件．
证明：，为中点，
（三线合一的性质）
即．
由（1）知四边形为菱形，
四边形为正方形．
24．（1）解：因式分解，得
，
解得，，
是“邻根方程”；
（2）解：整理，得
解得，
方程（是常数）是“邻根方程”
或
或；
（3）解方程，得
的方程（，是常数且）是“邻根方程”
当时，的最大值为1．
25．（1）证明：四边形为正方形，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）证明：如解图①，过点作交的延长线于点，
由（1）可知：
由（1）知，，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：如解图②，过点作于点，交延长线于，
，，
，
，，，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
由（2）可得：，
设正方形的边长为，
，
，，，
在中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
，
四边形的面积为．

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