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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
选择性必修第一册
一、新知自学
1.异面直线所成的角：一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的 的夹角来求得. 若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是u，v，则 .
2.直线与平面所成的角：直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的 的夹角.直线AB与平面相交于点B，设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面的法向量为n，则
.
3.二面角：平面与平面相交，形成四个二面角，这四个二面角中不大于
的二面角称为平面与平面的夹角.若平面，的法向量分别是和，则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其 .设平面与平面的夹角为，则 .
二、问题思考
1.解决立体几何中的问题有哪些方法？
2.求解点到平面距离的步骤方法？
三、练习检测
1.已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，E为的中点，则点到平面BDE的距离为( )
A. B.2 C. D.
2.已知在空间直角坐标系(O为原点)中，点关于x轴的对称点为点B，则z轴与平面OAB所成的线面角为( )
A. B. C. D.
3.（多选）如图1，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将折起，使点A，C之间的距离为，如图2，若P，Q分别为直线BD，CA上的动点，则下列说法正确的是( )
A.平面平面BCD
B.当，时，点D到直线PQ的距离为
C.线段PQ的最小值为
D.当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为
4.已知菱形ABCD中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面DAC，则二面角的余弦值为___________.
5.在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为(，)，点到平面的距离，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于__________.
【答案及解析】
一、新知自学
1.方向向量
2.法向量
3. 补角
二、问题思考
1.（1）综合法：以逻辑推理作为工具解决问题；
（2）向量法：利用向量的概念及其运算解决问题；
（3）坐标法：利用数及其运算来解决问题.
2.法一：（1）求出该平面的一个法向量；
（2）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
（3）求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离
法二：（1）求出该平面的单位法向量；
（2）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
（3）求出单位法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值
三、练习检测
1.答案：D
解析：如图，以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面BDE的法向量为，则
令，则，，即.
所以点到平面BDE的距离.故选D.
2.答案：B
解析：因为点关于x轴的对称点为，所以，.设平面OAB的法向量为，则即取，得，，所以是平面OAB的一个法向量.又z轴的一个方向向量.设z轴与平面OAB所成的线面角为，则，所以.故选B.
3.答案：ACD
解析：取BD的中点O，连接OA，OC，由题意可知，，因为，所以，又，，所以平面BCD，因为平面ABD，所以平面平面BCD，故A正确；
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，当，时，，，，，所以点D到直线PQ的距离为，故B错误；
设，由，得，则，故，当，时，，故C正确；当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，，，，，设PQ与AD所成的角为，则，即PQ与AD所成角的余弦值为，故D正确.
4.答案：
解析：设菱形ABCD的边长为1，取AC的中点O，连接BO，DO，所以，又平面平面DAC，平面平面，所以平面DAC，如图，建立空间直角坐标系，
则，，，所以，.设平面BCD的一个法向量为，则令，则，又平面CDA的一个法向量为，所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
5.答案：
解析：如图，以底面中心O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，则，，，.设平面PAB的方程为(，)，分别将A，B，P的坐标代入，得解得，，，所以，即，所以.

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