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《一元二次方程》基础题专项练习
一．试题（共26小题）
1．下列方程中，一元二次方程有（　　）
①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．若是方程3x+my＝1的一个解，则m的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．下列是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x22021 B．x（x+6）＝0
C．a2x﹣5＝0 D．4x﹣x3＝2
4．某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如下：七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（　　）
A．（7+x）（5+x）×3＝7×5 B．（7+x）（5+x）＝3×7×5
C．（7+2x）（5+2x）×3＝7×5 D．（7+2x）（5+2x）＝3×7×5
5．方程（x+1）2＝0的根是（　　）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1
C．x1＝﹣1，x2＝1 D．无实根
6．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则a2+b2的值为（　　）
A．36 B．50 C．28 D．25
7．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k B．k且k≠0
C．k D．k且k≠0
8．已知x＝1是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3
9．用配方法解一元二次方程x2﹣10x+11＝0，此方程可化为（　　）
A．（x﹣5）2＝14 B．（x+5）2＝14 C．（x﹣5）2＝36 D．（x+5）2＝36
10．关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＞1且k≠2 C．k≠2 D．k≥1且k≠2
11．把一元二次方程（x+3）（1﹣3x）＝2x﹣x2化成一般形式是 　 　，其中二次项系数是 　 　，一次项系数是 　 　，常数项是 　 　．
12．已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则代数式1+6m﹣2m2的值为　 　．
13．方程x2﹣4x＝0的解是　 　；方程（x﹣2）2＝0的解是　 　；方程x（x+3）＝（x+3）的解是　 　．
14．如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么（n﹣m）2020＝　 　．
15．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是　 　．
16．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是 　 　．
17．（）2＝　 　．
18．用适当方法解下列方程
（1）（2x﹣5）2﹣（x+4）2＝0
（2）3m2﹣7m﹣4＝0
（3）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0
（4）．
19．解一元二次方程：
（1）x2﹣2x＝15；
（2）（x+2）2﹣10（x+2）＝0．
20．解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．
21．用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6＝0．
22．解方程：2x2﹣5x+1＝0．
23．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为 　 　米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣1＝0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．
25．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价3元时，平均每天可多卖出6件．
（1）设降价x元，则现在每天可销售衬衫 　 　件，每件的利润是 　 　元．（用x的代数式表示）
（2）若商场要求该服装部每天盈利1400元，问每件要降价多少元？
（3）若商场要求该服装部每天盈利1600元，问这个要求能否实现？请说说你的理由．
26．已知：关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣1＝0．
（1）求证：无论a取任何实数，此方程总有实数根；
（2）若方程有一个根大于3，求a的取值范围．
《一元二次方程》基础题专项练习
一．试题（共26小题）
1．下列方程中，一元二次方程有（　　）
①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路点拔】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：①符合一元二次方程定义，正确；
②方程含有两个未知数，错误；
③不是整式方程，错误；
④符合一元二次方程定义，正确；
⑤符合一元二次方程定义，正确．
故选：B．
2．若是方程3x+my＝1的一个解，则m的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【思路点拔】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数m的一元一次方程，从而可以求出m的值．
【解答】解：把代入方程3x+my＝1，
得：﹣3+2m＝1，
解得：m＝2．
故选：C．
3．下列是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x22021 B．x（x+6）＝0
C．a2x﹣5＝0 D．4x﹣x3＝2
【思路点拔】根据一元二次方程的定义求解即可．
【解答】解：A．是分式方程，故本选项不合题意；
B．是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；
C．当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D．未知数是最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
故选：B．
4．某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如下：七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（　　）
A．（7+x）（5+x）×3＝7×5 B．（7+x）（5+x）＝3×7×5
C．（7+2x）（5+2x）×3＝7×5 D．（7+2x）（5+2x）＝3×7×5
【思路点拔】根据关键语句“矩形衬纸的面积为照片面积的3倍”列出方程求解即可．
【解答】解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，根据题意得：（7+2x）（5+2x）＝3×7×5，
故选：D．
5．方程（x+1）2＝0的根是（　　）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1
C．x1＝﹣1，x2＝1 D．无实根
【思路点拔】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：由于（x+1）2＝0，
∴x+1＝0，
∴x1＝x2＝﹣1
故选：B．
6．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则a2+b2的值为（　　）
A．36 B．50 C．28 D．25
【思路点拔】根据题意，a、b可看作方程x2﹣6x+4＝0的两根，则根据根与系数的关系得到a+b＝6，ab＝4，然后把原式变形得到原式＝再利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：∵a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，
∴a，b可看作方程x2﹣6x+4＝0的两根，
∴a+b＝6，ab＝4，
∴原式＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2×4＝28，
故选：C．
7．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k B．k且k≠0
C．k D．k且k≠0
【思路点拔】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
即：9+4k≥0，
解得：k，
∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0中k≠0，
则k的取值范围是k且k≠0．
故选：D．
8．已知x＝1是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3
【思路点拔】根据一元二次方程解的定义把x＝1代入x2+mx+2＝0得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx+2＝0得1+m+2＝0，
解得m＝﹣3．
故选：A．
9．用配方法解一元二次方程x2﹣10x+11＝0，此方程可化为（　　）
A．（x﹣5）2＝14 B．（x+5）2＝14 C．（x﹣5）2＝36 D．（x+5）2＝36
【思路点拔】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣10x+11＝0，
∴x2﹣10x＝﹣11，
则x2﹣10x+25＝﹣11+25，即（x﹣5）2＝14，
故选：A．
10．关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＞1且k≠2 C．k≠2 D．k≥1且k≠2
【思路点拔】由一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k﹣2≠0，即k≠2，且△≥0，即Δ＝22﹣4（k﹣2）×（﹣1）＝4k﹣4≥0，然后解两个不等式得到k的取值范围．
【解答】解：∵一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，
∴k﹣2≠0，即k≠2，
△≥0，即Δ＝22﹣4（k﹣2）×（﹣1）＝4k﹣4≥0，
解得k≥1，
∴k的取值范围是k≥1且k≠2．
故选：D．
11．把一元二次方程（x+3）（1﹣3x）＝2x﹣x2化成一般形式是 　2x2+10x﹣3＝0　，其中二次项系数是 　2　，一次项系数是 　10　，常数项是 　﹣3　．
【思路点拔】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a≠0），即可求解．
【解答】解：（x+3）（1﹣3x）＝2x﹣x2，
去括号得，x﹣3x2+3﹣9x＝2x﹣x2，
移项、合并同类项得，2x2+10x﹣3＝0，
∴二次项系数为2，一次项系数为10，常数项是﹣3，
故答案为：2x2+10x﹣3＝0，2，10，﹣3．
12．已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则代数式1+6m﹣2m2的值为　﹣3　．
【思路点拔】根据m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，可以求得所求代数式的值，本题得以解决．
【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，
∴m2﹣3m﹣2＝0，
∴m2﹣3m＝2，
∴1+6m﹣2m2
＝1﹣2（m2﹣3m）
＝1﹣2×2
＝1﹣4
＝﹣3，
故答案为：﹣3．
13．方程x2﹣4x＝0的解是　x1＝0，x2＝4　；方程（x﹣2）2＝0的解是　x1＝x2＝2　；方程x（x+3）＝（x+3）的解是　x1＝﹣3，x2＝1　．
【思路点拔】利用因式分解法解方程x2﹣4x＝0；利用直接开平方法解方程（x﹣2）2＝0；先把方程x（x+3）＝（x+3）变形为x（x+3）﹣（x+3）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：x2﹣4x＝0，
x（x﹣4）＝0，
x＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝0，x2＝4；
方程（x﹣2）2＝0的解为x1＝x2＝2；
∵x（x+3）＝（x+3），
∴x（x+3）﹣（x+3）＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，
x+3＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣3，x2＝1．
故答案为x1＝0，x2＝4；x1＝x2＝2；x1＝﹣3，x2＝1．
14．如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么（n﹣m）2020＝　1　．
【思路点拔】先根据配方法求出m、n的值，再代入计算可得．
【解答】解：∵x2+4x＝﹣n，
∴x2+4x+4＝4﹣n，即（x+2）2＝4﹣n，
又（x+m）2＝3，
∴m＝2，n＝1，
则（n﹣m）2020＝（1﹣2）2020＝1，
故答案为：1．
15．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是　k＜﹣1　．
【思路点拔】根据关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，得出Δ＝4+4k＜0，再进行计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＜0，
∴k的取值范围是k＜﹣1；
故答案为：k＜﹣1．
16．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是 　20%　．
【思路点拔】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1﹣x），第二次后的价格是25（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，
故25（1﹣x）2＝16，
解得x＝0.2或1.8（不合题意，舍去），
故该药品平均每次降价的百分率为20%．
17．（）2＝　5　．
【思路点拔】原式利用立方根、平方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝3+2＝5，
故答案为：5
18．用适当方法解下列方程
（1）（2x﹣5）2﹣（x+4）2＝0
（2）3m2﹣7m﹣4＝0
（3）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0
（4）．
【思路点拔】（1）先把原方程化为（2x﹣5）2＝（x+4）2的形式，再利用直接开方法进行解答即可；
（2）用公式法解答；
（3）利用提公因式法把原方程化为两个因式积的形式即可求出x的值；
（4）先判断方程是否有解，若有解，可直接利用公式法进行解答．
【解答】解：（1）∵原方程化为（2x﹣5）2＝（x+4）2，
∴2x﹣5＝x+4或2x﹣5＝﹣x﹣4，解得x1＝9，x2；
（2）∵a＝3，b＝﹣7，c＝﹣4，
∵△＝49+48＝97＞0
∴m，
∴m1，m2．
（3）提公因式得，（x﹣3）[（x﹣3）+2x]＝0，
解得x1＝3，x2＝1．
（4）∵△＝（2）2﹣4×1×10＝20﹣40＝﹣20＜0，
∴原方程无解．
19．解一元二次方程：
（1）x2﹣2x＝15；
（2）（x+2）2﹣10（x+2）＝0．
【思路点拔】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法把方程化为x+2＝0或x+2﹣10＝0，然后解一次方程．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣15＝0，
（x﹣5）（x+3）＝0，
x﹣5＝0或x+3＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣3；
（2）（x+2）2﹣10（x+2）＝0，
（x+2）（x+2﹣10）＝0，
x+2＝0或x+2﹣10＝0，
所以x1＝﹣2，x2＝8．
20．解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．
【思路点拔】直接利用配方法解方程进而得出答案．
【解答】解：∵2x2﹣4x﹣1＝0，
∴2x2﹣4x＝1，
则x2﹣2x，
∴x2﹣2x+1，即（x﹣1）2，
则x﹣1＝±，
∴x1，x2．
21．用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6＝0．
【思路点拔】方程利用公式法求出解即可．
【解答】解：方程2x2﹣7x+6＝0，
这里a＝2，b＝﹣7，c＝6，
∵Δ＝49﹣48＝1＞0，
∴x，
则x1＝2，x2＝1.5．
22．解方程：2x2﹣5x+1＝0．
【思路点拔】先观察再确定方法解方程，此题采用公式法比较简单．
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0，
∴x，
∴x1，x2．
23．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为 　24﹣3x　米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．
【思路点拔】（1）用绳子的总长减去三个AB的长，然后加上两个门的长即可表示出AD的长；
（2）由在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，故长边为22﹣3x+2，令面积为45，解得x．
【解答】解：（1）设宽AB为x，
则长AD＝BC＝22﹣3x+2＝（24﹣3x）米；
（2）由题意可得：（22﹣3x+2）x＝45，
解得：x1＝3；x2＝5，
∴当AB＝3时，BC＝15＞14，不符合题意舍去，
当AB＝5时，BC＝9，满足题意．
答：花圃的长为9米，宽为5米．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣1＝0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．
【思路点拔】（1）先求出“△”的值，再根据根的判别式的内容判断即可；
（2）求出a＝3，把a＝3代入方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4（a﹣1）＝﹣4a+13≥0，
解得：a，
即a的取值范围是a；
（2）∵a的取值范围是a，
∴整数a的最大值是3，
把a＝3代入方程x2﹣3x+a﹣1＝0得：x2﹣3x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝2．
25．某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价3元时，平均每天可多卖出6件．
（1）设降价x元，则现在每天可销售衬衫 　（30+2x）　件，每件的利润是 　（40﹣x）　元．（用x的代数式表示）
（2）若商场要求该服装部每天盈利1400元，问每件要降价多少元？
（3）若商场要求该服装部每天盈利1600元，问这个要求能否实现？请说说你的理由．
【思路点拔】（1）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利（40﹣x元），每天可以售出（30+2x）件；
（2）由（1）可得商场平均每天要盈利（40﹣x）（30+2x）元，根据商场平均每天要盈利＝1400元，为等量关系列出方程求解即可．
（3）假设能达到，根据商场平均每天要盈利＝1600元，为等量关系列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能．
【解答】解：（1）设降价x元，则现在每天可销售衬衫（30+2x）件，每件的利润是（40﹣x）元；
（2）由题意，得（40﹣x）（30+2x）＝1400，
即：（x﹣5）（x﹣20）＝0，
解得x1＝5，x2＝20，
为了扩大销售量，减少库存，所以x的值应为20，
所以，若商场要求该服装部每天盈利1400元，每件要降价20元；
（3）假设能达到，由题意，得（40﹣x）（30+2x）＝1600，
整理，得x2﹣25x+200＝0，
△＝252﹣4×1×200＝625﹣800＝﹣175＜0，
即：该方程无解，
所以，商场要求该服装部每天盈利1600元，这个要求不能实现．
故答案为：（30+2x），（40﹣x）．
26．已知：关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣1＝0．
（1）求证：无论a取任何实数，此方程总有实数根；
（2）若方程有一个根大于3，求a的取值范围．
【思路点拔】（1）根据方程的系数，结合根的判别式，可得出Δ＝（a﹣2）2≥0，进而可证出：无论a取任何实数，此方程总有实数根；
（2）利用因式分解法，可求出方程的解，结合方程有一个根大于3，即可求出a的取值范围．
【解答】（1）证明：∵Δ＝a2﹣4×1×（a﹣1）＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2≥0，
∴无论a取任何实数，此方程总有实数根；
（2）解：x2+ax+a﹣1＝0，
即（x+1）[x+（a﹣1）]＝0，
解得：x1＝﹣1，a2＝1﹣a，
又∵方程有一个根大于3，
∴1﹣a＞3，
解得：a＜﹣2，
∴a的取值范围为a＜﹣2．

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