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直线与圆的位置关系 专项训练60题
一．选择题（共16小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝18°，则∠D的度数是（　　）
A．18° B．36° C．48° D．72°
2．如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD＝236°，则∠E＝（　　）
A．56° B．60° C．68° D．70°
3．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD＝80°，则∠C的度数为（　　）
A．30° B．40° C．45° D．50°
4．如图，已知点A，B在⊙O上，∠AOB＝72°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为的中点，则∠ACM等于（　　）
A．18° B．30° C．36° D．72°
5．刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是（　　）
A．d＝a+b﹣c B．
C． D．d＝|（a﹣b）（c﹣b）|
6．如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝2，BC＝3，则OC的长度是（　　）
A．3 B． C． D．6
7．如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分别为（　　）
A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r， D．0，
9．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（　　）
A．15° B．17.5° C．20° D．25°
10．在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（　　）
A．2 B．5 C．6 D．8
11．如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（　　）
A．25° B．35° C．40° D．45°
12．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，OA与BC交于点D，AB＝AD，若∠C＝20°，则∠OAB等于（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
13．在△ABC中，BC＝3，AC＝4，下列说法错误的是（　　）
A．1＜AB＜7
B．S△ABC≤6
C．△ABC内切圆的半径r＜1
D．当AB时，△ABC是直角三角形
14．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，点C在⊙O上，OC⊥OA，连接BC并延长，交⊙O于点D，连接OD，若∠B＝65°，则∠DOC的度数为（　　）
A．45° B．50° C．65° D．75°
15．已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为πr2，则△ABC的面积为（　　）
A．rl B．πrl C．rl D．πrl
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
（多选）17．发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图，图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成⊙O，AB与BO表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与⊙O的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若AB＝12，OB＝5，则下列结论正确的是（　　）
A．FC＝2
B．EF＝12
C．当AB与⊙O相切时，EA＝4
D．当OB⊥CD时，EA＝AF
（多选）18．如图，AC是⊙O的直径，CD为弦，过点A的切线与CD延长线相交于点B，若AB＝AC，则下列说法正确的是（　　）
A．AD⊥BC B．∠CAB＝90° C．DB＝AB D．ADBC
三．填空题（共25小题）
19．如图，⊙M的圆心为M（4，0），半径为2，P是直线y＝x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为 　 　．
20．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C＝20°，则∠CAD＝　 　°．
21．如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，连接OA，OB，若∠OBA＝40°，则∠AOB＝　 　度．
22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA，OB．若∠AOB＝140°，∠BCP＝35°，则∠ADC的度数为 　 　．
23．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为 　 　．
24．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC边上一点，且BE＝2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE、PC，则PE+PC的最小值为 　 　．
25．如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，以AC为边作平行四边形ACDE，点D，E均在⊙O上，DE与AB交于点F，连接CE，与⊙O交于点G，连接DG．若AB＝10，DE＝8，则AF＝　 　，DG＝　 　．
26．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠B＝28°，则∠P＝　 　°．
27．如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，则CA的长为 　 　．
28．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），P（﹣1，0），⊙P过原点O，且与x轴交于另一点D，AB为⊙P的切线，B为切点，BC是⊙P的直径，则∠BCD的度数为 　 　°．
29．如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OB，若∠ABC＝65°，则∠BOD的大小为 　 　．
30．如图，∠ACB＝45°，半径为2的⊙O与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设t＝PEPF，则t的取值范围是 　 　．
31．已知一次函数y＝kx+2的图象经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心，r为半径作⊙O．若对于符合条件的任意实数k，一次函数y＝kx+2的图象与⊙O总有两个公共点，则r的最小值为 　 　．
32．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为 　 　．
33．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E．2，连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若∠AFB＝68°，则∠DEB＝　 　°．
34．如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的切线，点A是切点，连接BC交⊙O于点D，连接OD，若∠C＝40°，则∠AOD＝　 　度．
35．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为 　 　．
36．如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为 　 　．
37．如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是 　 　．
38．如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝　 　．
39．为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB＝4cm，则这张光盘的半径是 　 　cm．（精确到0.1cm．参考数据：1.73）
40．如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 　 　cm．
41．《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据勾、股，求得弦长．用勾、股、弦相加作为除数，用勾乘以股，再乘以2作为被除数，商即为该直角三角形内切圆的直径，求得该直径等于 　 　步（注：“步”为长度单位）．
42．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝28°，则∠B＝　 　°．
43．如图，MN是⊙O的切线，M是切点，连接OM，ON．若∠N＝37°，则∠MON的度数是 　 　．
四．解答题（共17小题）
44．如图，AB为⊙O的弦，C为的中点，过点C作CD∥AB，交OB的延长线于点D．连接OA，OC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若OA＝3，BD＝2，求△OCD的面积．
45．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点C是的中点，AE⊥CD，垂足为点D，DC的延长线交AB的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD，∠ABC＝60°，求线段AF的长．
46．如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C．
（1）求证：AD平分∠CAE；
（2）如果BC＝1，DC＝3，求⊙O的半径．
47．在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．
（1）图1中三组相等的线段分别是CE＝CF，AF＝　 　，BD＝　 　；若AC＝3，BC＝4，则⊙O半径长为 　 　；
（2）如图2，延长AC到点M，使AM＝AB，过点M作MN⊥AB于点N．求证：MN是⊙O的切线．
48．问题提出
（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB＝15，AC＝8，则AD的长为 　 　；
问题解决
（2）如图②所示，某工厂剩余一块△ABC型板材，其中AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，并求出⊙O的半径；若不可以，请说明理由．
49．如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，AD＝AC．E是⊙O外一点，∠BAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACB，连接BE．
（1）若AB＝8，求AE的长；
（2）求证：EB是⊙O的切线．
50．如图，△ABC中．∠ACB＝90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD．
（1）求证：∠ABC＝2∠ACD；
（2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半径．
51．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD平分∠AOC．
（1）求证：OD∥BC；
（2）延长DO交⊙O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P．若，PE＝1，求⊙O半径的长．
52．已知△AOB中，∠ABO＝30°，AB为⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C．
（Ⅰ）如图①，若AB∥MN，直径CE与AB相交于点D，求∠AOB和∠BCE的大小；
（Ⅱ）如图②，若OB∥MN，CG⊥AB，垂足为G，CG与OB相交于点F，OA＝3，求线段OF的长．
53．如图，直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接BC，BD，分别与⊙O交于点E，F，连接EF，AF．
（1）求证：∠BAF＝∠CDB；
（2）若⊙O的半径r＝6，AD＝9，AC＝12，求EF的长．
54．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝CD．点E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F．∠FEG的平分线EH交射线AC于点H，∠H＝45°．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BE＝2，CE＝4，求AF的长．
55．如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．
（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数；
（2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明；
（3）若CI＝2，DI，求△ABC的周长．
56．如图，在⊙O中，AB是直径，AE是弦，点F是上一点，，AE，BF交于点C，点D为BF延长线上一点，且∠CAD＝∠CDA．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BE＝4，AD＝2，求⊙O的半径长．
57．如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，点D是的中点，DN⊥AB于点E，交AC于点F，连结DB交AC于点G．
（1）求证：AF＝DF；
（2）延长GD至点M，使DM＝DG，连结AM．
①求证：AM是⊙O的切线；
②若DG＝6，DF＝5，求⊙O的半径．
58．如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径长．
59．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，CD＝2，求的长．
60．如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，点C是的中点，连接BC，过点C的直线垂直于BE的延长线于点D，交BA的延长线于点P．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）若PC＝2BO，PB＝10，求BE的长．中小学教育资源及组卷应用平台
直线与圆的位置关系 专项训练60题
一．选择题（共16小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝18°，则∠D的度数是（　　）
A．18° B．36° C．48° D．72°
【思路点拔】连接BC，由圆周角定理的推论得∠ACB＝90°，再由切线长定理得BD＝DC，从而得∠DBC＝∠DCB＝90° 18°＝72°，进而即可求解．
【解答】解：连接BC，
∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，
∴BD＝DC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝90° 18°＝72°，
∴∠D＝180°﹣72°×2＝36°．
故选：B．
2．如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD＝236°，则∠E＝（　　）
A．56° B．60° C．68° D．70°
【思路点拔】连接AD，则∠BAD+∠BCD＝180°，而∠BAE+∠BCD＝236°，所以∠EAD+∠BAD+∠BCD＝∠EAD+180°＝236°，求得∠EAD＝56°，由切线长定理得EA＝ED，则∠EDA＝∠EAD＝56°，所以∠E＝180°﹣∠EDA﹣∠EAD＝68°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接AD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BAE+∠BCD＝236°，
∴∠EAD+∠BAD+∠BCD＝∠EAD+180°＝236°，
∴∠EAD＝56°，
∵EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，
∴EA＝ED，
∴∠EDA＝∠EAD＝56°，
∴∠E＝180°﹣∠EDA﹣∠EAD＝180°﹣56°﹣56°＝68°，
故选：C．
3．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD＝80°，则∠C的度数为（　　）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【思路点拔】先根据圆周角定理得出∠B的度数，再由⊙O与AC相切，得出∠BAC＝90°，据此可解决问题．
【解答】解：∵，
∴∠B．
∵以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，
∴∠BAC＝90°，
∴∠C＝90°﹣40°＝50°．
故选：D．
4．如图，已知点A，B在⊙O上，∠AOB＝72°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为的中点，则∠ACM等于（　　）
A．18° B．30° C．36° D．72°
【思路点拔】根据C为的中点可求出∠AOC的度数，根据等腰三角形的性质得∠ACO＝72°，再由切线的性质可知∠OCM＝90°，即可求出∠ACM的度数．
【解答】解：∵C为的中点，∠AOB＝72°，
∴∠AOC＝∠BOC＝36°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝72°，
∵直线MN与⊙O相切，切点为C，
∴∠OCM＝90°，
∴∠ACM＝∠OCM﹣∠ACO＝90°﹣72°＝18°，
故选：A．
5．刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是（　　）
A．d＝a+b﹣c B．
C． D．d＝|（a﹣b）（c﹣b）|
【思路点拔】这是直角三角形内切圆的常考形式，直角三角形内切圆半径的常用形式有两个，分别是r和r，所以很快定位出选项A和选项B正确，而对于我们不熟悉的选项C和选项D可直接用特殊值法定位答案．
【解答】方法一：本题作为选择题，用特殊值法则可快速定位答案．
∵三角形ABC为直角三角形，∴令a＝3，b＝4，c＝5．
选项A：d＝a+b﹣c＝2，
选项B：d2，
选项C：d2，
选项D：d＝|（a﹣b）（c﹣b）|＝1，
很明显，只有D选项跟其他选项不一致，所以表达式错误的应是D选项．
故答案选：D．
方法二：如图，作OE⊥AC于点E，OD⊥BC于点D，OF⊥AB于点F．
易证四边形OECD是正方形，设OE＝OD＝OF＝r，
则EC＝CD＝r，
∴AE＝AF＝b﹣r，BD＝BF＝a﹣r，
∵AF+BF＝AB，
∴b﹣r+a﹣r＝c，
∴r，
∴d＝a+b﹣c．故选项A正确．
∵S△ABC＝S△AOC+S△BOC+S△AOB，
∴abarbr+cr，
∴ab＝r（a+b+c），
∴r，即d．故选项B正确．
∵由前面可知d＝a+b﹣c，
∴d2＝（a+b﹣c）2＝（a+b）2﹣2c（a+b）+c2＝a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2，
∵a2+b2＝c2，
∴上述式子＝2c2+2ab﹣2ac﹣2bc＝2（c2+ab﹣ac﹣bc）＝2[（c2﹣ac）+b（a﹣c）]＝2（c﹣a）（c﹣b），
∴d，故选项C正确．
排除法可知选项D错误．
故答案选：D．
6．如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝2，BC＝3，则OC的长度是（　　）
A．3 B． C． D．6
【思路点拔】根据切线的性质得到OB⊥AC，求得∠ABO＝∠CBO＝90°，得到OBAB＝2，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接OB，
∵AC是⊙O的切线，
∴OB⊥AC，
∴∠ABO＝∠CBO＝90°，
∵∠A＝30°，AB＝2，
∴OBAB＝2，
∵BC＝3，
∴OC，
故选：C．
7．如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【思路点拔】连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，求得∠ACO＝40°，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO＝40°．
【解答】解：连接OC，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∵∠ACD＝50°，
∴∠ACO＝90°﹣50°＝40°，
∵OC＝OA，
∴∠BAC＝∠ACO＝40°，
故选：B．
8．如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A＝α，则（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分别为（　　）
A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r， D．0，
【思路点拔】如图，连接IF，IE．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可．
【解答】解：如图，连接IF，IE．
∵△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴BF＝BD，CD＝CE，IF⊥AB，IE⊥AC，
∴BF+CE﹣BC＝BD+CD﹣BC＝BC﹣BC＝0，∠AFI＝∠AEI＝90°，
∴∠EIF＝180°﹣α，
∴∠EDF∠EIF＝90°α．
故选：D．
9．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（　　）
A．15° B．17.5° C．20° D．25°
【思路点拔】连接IC，IB，OC，根据点I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，根据角平分线的定义得到∠BAC＝2∠CAI＝70°，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC＝140°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接OC，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∵∠CAI＝35°，
∴∠BAC＝2∠CAI＝70°，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，
∵OB＝OC，
∴，
故选：C．
10．在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（　　）
A．2 B．5 C．6 D．8
【思路点拔】根据圆心到直线l的距离为3，而圆的半径为2，此时直线与圆相离，当点P在⊙O上运动时，当点P在BO的延长线与⊙O的交点时，点P到直线l的距离最大，根据题意画出图形进行解答即可．
【解答】解：如图，由题意得，OA＝2，OB＝3，
当点P在BO的延长线与⊙O的交点时，点P到直线l的距离最大，
此时，点P到直线l的最大距离是3+2＝5，
故选：B．
11．如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（　　）
A．25° B．35° C．40° D．45°
【思路点拔】连接OB，由切线的性质得到∠ABO＝90°，由平行线的性质得到∠D＝∠OCD＝25°，由圆周角定理得出∠O＝2∠D＝50°，因此∠A＝90°﹣∠O＝40°．
【解答】解：连接OB，
∵AB切⊙O于B，
∴半径OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵BD∥OA，
∴∠D＝∠OCD＝25°，
∴∠O＝2∠D＝50°，
∴∠A＝90°﹣∠O＝40°．
故选：C．
12．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，OA与BC交于点D，AB＝AD，若∠C＝20°，则∠OAB等于（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【思路点拔】由AB与⊙O相切于点B，证明∠OBA＝90°，由OB＝OC，得∠OBC＝∠C＝20°，求得∠ABD＝∠OBA﹣∠OBC＝70°，因为AB＝AD，所以∠ADB＝∠ABD＝70°，则∠OAB＝40°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB与⊙O相切于点B，
∴AB⊥OB，
∴∠OBA＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C＝20°，
∴∠ABD＝∠OBA﹣∠OBC＝90°﹣20°＝70°，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝70°，
∴∠OAB＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
故选：C．
13．在△ABC中，BC＝3，AC＝4，下列说法错误的是（　　）
A．1＜AB＜7
B．S△ABC≤6
C．△ABC内切圆的半径r＜1
D．当AB时，△ABC是直角三角形
【思路点拔】根据三角形的性质逐个判断即可．
【解答】解：A、由三角形三边关系得，4﹣3＜AB＜4+3，即1＜AB＜7，故A正确，不符合题意；
B、当BC⊥AC时，S△ABC最大，此时S△ABC3×4＝6，故B正确，不符合题意；
C、三角形内切圆半径r，当S△ABC＝6时，则此时r1，所以r＜1错误，故C错误，符合题意；
D、当AB时，BC2＝AC2﹣AB2，所以△ABC时直角三角形，故D正确，不符合题意．
故选：C．
14．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，点C在⊙O上，OC⊥OA，连接BC并延长，交⊙O于点D，连接OD，若∠B＝65°，则∠DOC的度数为（　　）
A．45° B．50° C．65° D．75°
【思路点拔】根据切线的性质证明AB∥OC，得∠OCD＝∠B＝65°，然后再根据等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥AB，
∵OC⊥OA，
∴AB∥OC，
∴∠OCD＝∠B＝65°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝65°，
∴∠DOC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故选：B．
15．已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为πr2，则△ABC的面积为（　　）
A．rl B．πrl C．rl D．πrl
【思路点拔】由题意可得S△AOBAB×OEAB×r，S△BOCBC×r，S△AOCAC×r，由面积关系可求解．
【解答】解：如图，设内切圆O与△ABC相切于点D，点E，点F，连接OA，OB，OC，OE，OF，OD，
∵AB切⊙O于E，
∴OE⊥AB，OE＝r，
∴S△AOBAB×OEAB×r，
同理：S△BOCBC×r，
S△AOCAC×r，
∴S＝S△AOB+S△BOC+S△AOCAB×rBC×rAC×r（AB+BC+AC）×r，
∵l＝AB+BC+AC，
∴Slr，
故选：A．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拔】首先求出AB＝10，先证△BOE和△BAC相似，由相似三角形的性质可求出OE，BE的长，进而可求出CE的长和AE的长，然后再证△BDE和△BEA相似，最后利用相似三角形的性质即可求出DE．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
由勾股定理得：，
连接AE，OE，
设⊙O的半径为r，则OA＝OE＝r，
∴OB＝AB﹣OA＝10﹣r，
∵BC与半圆相切，
∴OE⊥BC，
∵∠C＝90°，即AC⊥BC，
∴OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC，
∴，
即：，
由得：，
由得：，
∴，
在Rt△ACE中，AC＝8，，
由勾股定理得：，
∵BE为半圆的切线，
∴∠BED＝∠BAE，
又∠DBE＝∠EBA，
∴△BDE∽△BEA，
∴，
∴DE AB＝BE AE，
即：，
∴．
故选：B．
二．多选题（共2小题）
（多选）17．发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图，图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成⊙O，AB与BO表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与⊙O的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若AB＝12，OB＝5，则下列结论正确的是（　　）
A．FC＝2
B．EF＝12
C．当AB与⊙O相切时，EA＝4
D．当OB⊥CD时，EA＝AF
【思路点拔】由题意可得AB＝CE＝12，AB+B0＝OE＝17，FD＝AB＝12，OC＝OB＝OD＝5，从而可判断A，B；当AB与⊙O相切时，，可得EA＝EO﹣AO＝17﹣13＝4，可判断C；当OB⊥CD时，AO，可得AE＝EO﹣AO＝17，AF＝AO﹣OF2﹣57，可判断D．
【解答】解：如图，由题意可得：
AB＝CE＝12，AB+BO＝OE＝17，FD＝AB＝12，OC＝OB＝OD＝5，
∴FC＝FD﹣CD＝12﹣10＝2，故A符合题意；
EF＝CE﹣CF＝12﹣2＝10，故B不符合题意；
如图，当AB与⊙O相切时，∠ABO＝90°，
∴，
∴EA＝EO﹣AO＝17﹣13＝4，故C符合题意；
当OB⊥CD时，如图，
∴AO，
∴AE＝EO﹣AO＝17，AF＝AO﹣OF2﹣57，
∴AE≠AF，故D不符合题意；
故选：AC．
（多选）18．如图，AC是⊙O的直径，CD为弦，过点A的切线与CD延长线相交于点B，若AB＝AC，则下列说法正确的是（　　）
A．AD⊥BC B．∠CAB＝90° C．DB＝AB D．ADBC
【思路点拔】利用圆周角定理即可判断A；根据切线的性质即可判断B；利用等腰直角三角形的性质即可判断C；利用直角三角形斜边中线的性质即可判断D．
【解答】解：A、∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，故A正确；
B、∵AC是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，
∴CA⊥AB，
∴∠CAB＝90°，故B正确；
C、∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝45°
∵AD⊥BC，
∴BDAB，故C错误；
D、∵AC＝AB，AD⊥BC，
∴CD＝BD，
∵∠CAB＝90°，
∴AD，故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共25小题）
19．如图，⊙M的圆心为M（4，0），半径为2，P是直线y＝x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为 　2　．
【思路点拔】连接MP、MQ，根据切线的性质得到MQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ，根据一次函数解析式求出点A、点B的坐标，再根据垂线段最短计算即可．
【解答】解：如图，连接MP、MQ，
∵PQ是⊙M的切线，
∴MQ⊥PQ，
∴PQ，
当PM最小时，PQ最小，
当MP⊥AB时，MP最小，
直线y＝x+4与x轴的交点A的坐标为（﹣4，0），与y轴的交点B的坐标为（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∴∠BAO＝45°，AM＝8，
当MP⊥AB时，MP＝AM sin∠BAO＝84，
∴PQ的最小值为：2，
故答案为：2．
20．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C＝20°，则∠CAD＝　35　°．
【思路点拔】连接OD，构造直角三角形，利用OA＝OD，可求得∠ODA＝35°，从而得出∠CAD的度数．
【解答】解：连接OD，则∠ODC＝90°，∠COD＝70°；
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠CAD∠COD＝35°，
故答案为：35
21．如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，连接OA，OB，若∠OBA＝40°，则∠AOB＝　50　度．
【思路点拔】由直线l是圆O的切线，切点是点A，且点B在直线l上得AB⊥OA，则∠OAB＝90°，而∠OBA＝40°，根据直角三角形的两个锐角互余即可求出∠AOB 的度数，得到问题的答案．
【解答】解：∵直线l是圆O的切线，切点是点A，且点B在直线l上，
∴AB⊥OA，
∴∠OAB＝90°，
∵∠OBA＝40°，
∴∠AOB＝90°﹣∠OBA＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50．
22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA，OB．若∠AOB＝140°，∠BCP＝35°，则∠ADC的度数为 　105°　．
【思路点拔】连接OC，先求出∠OCB的度数，再求出∠BOC，接着求出∠AOC的度数，紧接着求出∠ABC的度数，最后求出∠ADC的度数．
【解答】解：连接OC，
∵点C为切点，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠BCP＝35°，
∴∠OCB＝90°﹣∠BCP＝55°，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OCB﹣∠OBC＝70°，
∵∠AOB＝140°，
∴∠AOC＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC＝150°，
∴∠ABC∠AOC＝75°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝105°．
故答案为：105°．
23．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为 　40°　．
【思路点拔】由切线的性质得到∠BAC＝90°，由直角三角形的性质求出∠B＝90°﹣50°＝40．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，
∴BA⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠ACB＝50°，
∴∠B＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
24．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E是BC边上一点，且BE＝2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE、PC，则PE+PC的最小值为 　　．
【思路点拔】在AB取点F，使BF＝BE＝2，连接PF，CF，过点F作FH⊥BC于H，利用三角形内心的定义可得出∠ABD＝∠CBD，利用SAS证明△BFP≌△BEP，得出PF＝PE，则 PE+PC＝PF+PC≥CF，当C、P、F三点共线时，PE+PC最小，最小值为CF，利用含 30° 的直 角三角形的性质求出BH，利用勾股定理求出FH，CF即可．
【解答】解：在AB取点F，使 BF＝BE＝2，连接PF，CF，过点F作FH⊥BC于H，
∵是△ABC 的内心，
∴BI平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
又 BP＝BP，
∴△BFP≌△BEP（SAS），
∴PF＝PE，
∴PE+PC＝PF+PC≥CF，
当C、P、F三点共线时，PE+PC最小，最小值为CF，
∵FH⊥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BFH＝30°，
∴，
∴，CH＝BC﹣BH＝7，
∴，
∴PE+PC 的最小值为 ，
故答案为：．
25．如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，以AC为边作平行四边形ACDE，点D，E均在⊙O上，DE与AB交于点F，连接CE，与⊙O交于点G，连接DG．若AB＝10，DE＝8，则AF＝　8　，DG＝　　．
【思路点拔】连接OE、OD、OG，过O点作OH⊥DG于H点，CE交AF于P点，如图，先根据切线的性质得到AB⊥AC，再根据平行四边形的性质得到AC∥DE，所以AB⊥DE，则利用垂径定理得到DF＝EF＝4，接着利用勾股定理计算出OF＝3，从而得到AF的长；利用平行线分线段成比例得到，则可计算出PA，PC，再证明Rt△DOH∽Rt△PCA，利用相似比求出DH，最后根据垂径定理得到DG＝2DH．
【解答】解：连接OE、OD、OG，过O点作OH⊥DG于H点，CE交AF于P点，如图，
∵以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，
∴AB⊥AC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AC∥DE，
∴AB⊥DE，
∴DF＝EFDE＝4，
∵AB＝10，
∴OA＝OE＝5，
在Rt△OEF中，OF3，
∴AF＝OA+OF＝5+3＝8；
∵DE∥AC，
∴，∠DEG＝∠PCA，
∴PA8，
在Rt△ACP中，PC，
∵∠DOG＝2∠DEG，∠DOG＝2∠DOH，
∴∠DEG＝∠DOH，
∴∠DOH＝∠PCA，
∴Rt△DOH∽Rt△PCA，
∴DH：AO＝OD：PC，即DH：5：，
∴DH，
∵OH⊥DG，
∴DG＝2DH．
故答案为：8，．
26．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠B＝28°，则∠P＝　34　°．
【思路点拔】根据切线的性质可得∠OAP＝90°，然后利用圆周角定理可得∠AOC＝2∠B＝56°，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．
【解答】解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵∠B＝28°，
∴∠AOC＝2∠B＝56°，
∴∠P＝90°﹣∠AOC＝34°，
故答案为：34．
27．如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，则CA的长为 　　．
【思路点拔】连接OC，根据切线的性质可得∠OAP＝90°，然后利用SSS证明△OAC≌△OBC，从而可得∠OAP＝∠OBC＝90°再在Rt△OAP中，利用勾股定理求出OP＝13，最后根据△OAC的面积+△OCP的面积＝△OAP的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：连接OC，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵OA＝OB，OC＝OC，CA＝CB，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠OAP＝∠OBC＝90°，
在Rt△OAP中，OA＝5，PA＝12，
∴OP13，
∵△OAC的面积+△OCP的面积＝△OAP的面积，
∴OA ACOP BCOA AP，
∴OA AC+OP BC＝OA AP，
∴5AC+13BC＝5×12，
∴AC＝BC，
故答案为：．
28．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），P（﹣1，0），⊙P过原点O，且与x轴交于另一点D，AB为⊙P的切线，B为切点，BC是⊙P的直径，则∠BCD的度数为 　60　°．
【思路点拔】先根据点A，P的坐标得OP＝OA＝1，进而得⊙P的半径为1，然后再在Rt△ABP中利用锐角三角函数求出∠BAP＝30°，进而得∠BPA＝∠CPD＝60°，最后再证△CPD为等边三角形即可求出∠BCD的度数．
【解答】解：∵点A（1，0），P（﹣1，0），
∴OP＝OA＝1，
∴AP＝OP+OA＝2
∵⊙P过原点O，
∴OP为⊙P的半径，
∵AB为⊙P的切线，
∴PB⊥AB，PB＝OP＝1，
在Rt△ABP中，BP＝1，AP＝2，sinA＝PB/AP＝1/2，
∴∠BAP＝30°，
∴∠BPA＝60°，
∴∠CPD＝60°，
又∵PC＝PD，
∴三角形CPD为等边三角形，
∴∠PCD＝60°，
即∠BCD的度数为60°．
故答案为：60．
29．如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OB，若∠ABC＝65°，则∠BOD的大小为 　50°　．
【思路点拔】利用圆的切线的性质定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵BC与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°．
∵∠ABC＝65°，
∴∠OBA＝∠OBC﹣∠ABC＝25°．
∵OB＝OA，
∴∠OAB＝∠OBA＝25°，
∴∠BOD＝2∠OAB＝50°．
故答案为：50°．
30．如图，∠ACB＝45°，半径为2的⊙O与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设t＝PEPF，则t的取值范围是 　2t≤4+2　．
【思路点拔】设半径为2的⊙O与角的两边相切于M，N，连接OM，ON，延长NO交CB于D，求得∠CND＝∠OMD＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到∠CDN＝45°，求得OD＝2，得到CN＝DN＝2+2，如图1，延长EP交BC于Q，推出△ECQ与△PFQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到CE＝EQ，PQPF，求得t＝PEPF＝PE+PQ＝EQ，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的右侧时，t有最大值，连接OP，则四边形ENOP是正方形，根据正方形的性质得到EN＝OP＝2，求得t＝4+2；如图2，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的，左侧时，t有最小值，同理可得t＝2，于是得到结论．
【解答】解：设半径为2的⊙O与角的两边相切于M，N，连接OM，ON，延长NO交CB于D，
∴∠CND＝∠OMD＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴△CND是等腰直角三角形，
∴∠CDN＝45°，
∵ON＝OM＝2，
∴OD＝2，
∴CN＝DN＝2+2，
如图1，延长EP交BC于Q，
∵EQ⊥AC，PF⊥BC，
∴∠CEQ＝∠PFQ＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠EQC＝45°，
∴△ECQ与△PFQ是等腰直角三角形，
∴CE＝EQ，PQPF，
∴t＝PEPF＝PE+PQ＝EQ，
当EQ与⊙O相切且点P在圆心的右侧时，t有最大值，
连接OP，
则四边形ENOP是正方形，
∴EN＝OP＝2，
∴t＝PEPF＝PE+PQ＝EQ＝CE＝CN+EN＝2+24+2；
如图2，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的，左侧时，t有最小值，
同理可得t＝PEPF＝PE+PQ＝EQ＝CE＝CN﹣EN＝2，
故t的取值范围是2t≤4+2，
故答案为：2t≤4+2．
31．已知一次函数y＝kx+2的图象经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心，r为半径作⊙O．若对于符合条件的任意实数k，一次函数y＝kx+2的图象与⊙O总有两个公共点，则r的最小值为 　2　．
【思路点拔】在y＝kx+2中，令x＝0，则y＝2，于是得到一次函数y＝kx+2的图象与y轴交于（0，2），求得一次函数过定点（0，2），当⊙O过（0，2）时，两者至少有一个交点，根据一次函数经过一、二、四象限，得到直线与圆必有两个交点，而当⊙O半径小于2时，圆与直线存在相离可能，于是得到结论．
【解答】解：在y＝kx+2中，令x＝0，则y＝2，
∴一次函数y＝kx+2的图象与y轴交于（0，2），
∴一次函数过定点（0，2），
当⊙O过（0，2）时，两者至少有一个交点，
∵一次函数经过一、二、四象限，
∴直线与圆必有两个交点，
而当⊙O半径小于2时，圆与直线存在相离可能，
∴半径至少为2，
故r的最小值为2，
故答案为：2．
32．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为 　62°或118°　．
【思路点拔】由切线的性质求得∠PAO＝∠PBO＝90°，由多边形内角和定理求得∠AOB＝124°，根据圆周角定理即可求得答案．
【解答】解：如图，连接CA，BC，
∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠AOB+∠PAO+∠PBO+∠APB＝360°，
∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣56°＝124°，
由圆周角定理知，∠ACB∠AOB＝62°．
当点C在劣弧AB上时，
由圆内接四边形的性质得∠ACB＝118°，
故答案为：62°或118°．
33．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E．2，连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若∠AFB＝68°，则∠DEB＝　66　°．
【思路点拔】先根据切线的性质得出∠ABF＝90°，结合∠AFB＝68°可求出∠BAF的度数，再根据弧之间的关系得出它们所对的圆周角之间的关系，最后根据三角形外角的性质即可求出∠DEB的度数．
【解答】解：如图，连接OC，OD，
∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴OB⊥BF，
∴∠ABF＝90°，
∵∠AFB＝68°，
∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝22°，
∴∠BOD＝2∠BAF＝44°，
∵，
∴∠COA＝2∠BOD＝88°，
∴∠CDA，
∵∠DEB是△AED的一个外角，
∴∠DEB＝∠BAF+∠CDA＝66°，
故答案为：66．
34．如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的切线，点A是切点，连接BC交⊙O于点D，连接OD，若∠C＝40°，则∠AOD＝　100　度．
【思路点拔】由切线的性质得AC⊥AO，则∠BAC＝90°，再由直角三角形的性质得∠ABC＝50°，然后由等腰三角形的性质得∠ODB＝∠ABC＝50°，即可解决问题．
【解答】解：∵AC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∵∠C＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠ABC＝50°，
∴∠AOD＝∠ABC+∠ODB＝50°+50°＝100°，
故答案为：100．
35．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，r的值为 　　．
【思路点拔】设⊙C与AB所在的直线相切，切点为点D，连接CD，根据切线的性质得AB⊥CD，再由勾股定理求得AB10，则AB CDAC BC＝S△AOB，所以10CD8×6，则r＝CD，于是得到问题的答案．
【解答】解：设⊙C与AB所在的直线相切，切点为点D，连接CD，
∵CD是⊙C的半径，AB与⊙C相切于点D，
∴AB⊥CD，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB10，
∵AB CDAC BC＝S△AOB，
∴10CD8×6，
解得CD，
∴r＝CD，
故答案为：．
36．如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为 　　．
【思路点拔】根据切线的性质得到∠A＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到OD＝CD，OA＝AE，根据垂径定理得到CD，于是得到结论．
【解答】解：∵OA是⊙O的半径，AE是⊙O的切线，
∴∠A＝90°，
∵∠AOC＝45°，OA⊥BC，
∴△CDO和△EAO是等腰直角三角形，
∴OD＝CD，OA＝AE，
∵OA⊥BC，
∴CD，
∴OD＝CD＝1，
∴OCOD，
∴AE＝OA＝OC，
故答案为：．
37．如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是 　65°　．
【思路点拔】连接OC，OB，根据切线的性质得到∠ACO＝∠ABO＝90°，求得∠COB＝360°﹣∠A﹣∠ACO﹣∠ABO＝130°，根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：连接OC，OB，
∵AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，
∴∠ACO＝∠ABO＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠COB＝360°﹣∠A﹣∠ACO﹣∠ABO＝130°，
∴∠D，
故答案为：65°．
38．如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝　35°　．
【思路点拔】根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出∠AOB的度数和∠OGF的度数，然后即可计算出∠AFD的度数．
【解答】解：连接OD，OE，OB，OB交ED于点G，
∵∠ACB＝70°，
∴∠CAB+∠CBA＝110°，
∵点O为△ABC的内切圆的圆心，
∴∠OAB+∠OBA＝55°，
∴∠AOB＝125°，
∵OE＝OD，BD＝BE，
∴OB垂直平分DE，
∴∠OGE＝90°，
∴∠AFD＝∠AOB﹣∠OGF＝125°﹣90°＝35°，
故答案为：35°．
39．为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB＝4cm，则这张光盘的半径是 　6.9　cm．（精确到0.1cm．参考数据：1.73）
【思路点拔】设光盘的圆心为O，连接OC，OA，OB，经过圆外一点A的两条直线AC与AB都与圆O相切，根据切线长定理得到AO为两切线的夹角平分线，由∠CAD的度数求出∠OAB的度数为60°，同时由切线的性质得到OB与AB垂直，在直角三角形AOB中，由tan60°等于对边OB与邻边AB之比，将AB及tan60°的值代入，求出OB的长，即为圆的半径．
【解答】解：设光盘的圆心为O，由题意可知：AB，AC切⊙O于C、B，
连接OC，OB，OA，
如图所示：
∵AC，AB分别为圆O的切线，
∴AO为∠CAB的平分线，OC⊥AC，OB⊥AB，又∠CAD＝60°，
∴∠OAC＝∠OAB∠CAB＝60°，
在Rt△AOB中，∠OAB＝60°，AB＝4cm，
∴tan∠OAB，
∴OB＝tan∠OAB×AB46.9（cm），
∴这张光盘的半径为6.9cm．
故答案为：6.9．
40．如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 　10　cm．
【思路点拔】连接OA，过点O作OE⊥BC，交BC于点E，交AD于点F，则点E为餐盘与BC边的切点，由矩形的性质得AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，则四边形CDFE是矩形，OE⊥AD，得CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝8cm，设餐盘的半径为x cm，则OA＝OE＝x cm，OF＝（x﹣4）cm，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：由题意得：BC＝16cm，CD＝4cm，
如图，连接OA，过点O作OE⊥BC，交BC于点E，交AD于点F，
则∠OEC＝90°，
∵餐盘与BC边相切，
∴点E为切点，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴四边形CDFE是矩形，OE⊥AD，
∴CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DFAD16＝8（cm），
设餐盘的半径为x cm，
则OA＝OE＝x cm，
∴OF＝OE﹣EF＝（x﹣4）cm，
在Rt△AFO中，由勾股定理得：AF2+OF2＝OA2，
即82+（x﹣4）2＝x2，
解得：x＝10，
∴餐盘的半径为10cm，
故答案为：10．
41．《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据勾、股，求得弦长．用勾、股、弦相加作为除数，用勾乘以股，再乘以2作为被除数，商即为该直角三角形内切圆的直径，求得该直径等于 　6　步（注：“步”为长度单位）．
【思路点拔】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．
【解答】解：根据勾股定理得：斜边为17，
则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径为6步，
故答案为：6．
42．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝28°，则∠B＝　31　°．
【思路点拔】利用圆的切线的性质定理得到∠OAP＝90°，利用直角三角形的性质得到∠AOP＝90°﹣∠P＝62°，再利用圆周角定理解答即可得出结论．
【解答】解：∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°．
∵∠P＝28°，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝62°，
∴∠B∠AOP＝31°．
故答案为：31．
43．如图，MN是⊙O的切线，M是切点，连接OM，ON．若∠N＝37°，则∠MON的度数是 　53°　．
【思路点拔】根据切线的性质可得∠OMN＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．
【解答】解：∵MN是⊙O的切线，M是切点，
∴∠OMN＝90°，
∵∠N＝37°，
∴∠MON＝90°﹣∠N＝53°，
故答案为：53°．
四．解答题（共17小题）
44．如图，AB为⊙O的弦，C为的中点，过点C作CD∥AB，交OB的延长线于点D．连接OA，OC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若OA＝3，BD＝2，求△OCD的面积．
【思路点拔】（1）设OC交AB于点E，由C为的中点，根据垂径定理得OC垂直平分AB，因为CD∥AB，所以∠OCD＝∠OEB＝90°，即可证明CD是⊙O的切线；
（2）因为OA＝OC＝OB＝3，BD＝2，所以OD＝OB+BD＝5，则CD4，求得S△OCDCD OC＝6．
【解答】（1）证明：设OC交AB于点E，
∵OC是⊙O的半径，C为的中点，
∴OC垂直平分AB，
∵CD∥AB，
∴∠OCD＝∠OEB＝90°，
∵OC是⊙O的半径，且CD⊥OC，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵OA＝OC＝OB＝3，BD＝2，
∴OD＝OB+BD＝3+2＝5，
∵∠OCD＝90°，
∴CD4，
∴S△OCDCD OC4×3＝6，
∴△OCD的面积是6．
45．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点C是的中点，AE⊥CD，垂足为点D，DC的延长线交AB的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD，∠ABC＝60°，求线段AF的长．
【思路点拔】（1）连接OC，由点C是的中点，得到，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠CAE，求得∠OCA＝∠CAD，根据平行线的性质得到OC⊥DF，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，求得∠BAC＝30°，得到AD3，根据直角三角形的性质得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵点C是的中点，
∴，
∴∠BAC＝∠CAE，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠CAD，
∴OC∥AD，
∵AE⊥CD，
∴OC⊥DF，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵∠D＝90°，CD，
∴AD3，
∵∠F＝180°﹣∠D﹣∠BAD＝30°，
∴AF＝2AD＝6．
46．如图，直线l与⊙O相切于点D，AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点E，延长AB交直线l于点C．
（1）求证：AD平分∠CAE；
（2）如果BC＝1，DC＝3，求⊙O的半径．
【思路点拔】（1）连接OD，如图，先根据切线的性质得到OD⊥CE，再证明OD∥AE得到∠ODA＝∠EAD，加上∠ODA＝∠OAD，所以∠OAD＝∠EAD，从而判断AD平分∠CAE；
（2）设⊙O的半径为r，则OB＝OD＝r，利用勾股定理得到r2+32＝（r+1）2，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵直线l与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CE，
∵AE⊥CE，
∴OD∥AE，
∴∠ODA＝∠EAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠EAD，
∴AD平分∠CAE；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OB＝OD＝r，
在Rt△OCD中，∵OD＝r，CD＝3，OC＝r+1，
∴r2+32＝（r+1）2，
解得r＝4，
即⊙O的半径为4．
47．在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．
（1）图1中三组相等的线段分别是CE＝CF，AF＝　AD　，BD＝　BE　；若AC＝3，BC＝4，则⊙O半径长为 　1　；
（2）如图2，延长AC到点M，使AM＝AB，过点M作MN⊥AB于点N．求证：MN是⊙O的切线．
【思路点拔】（1）连接OE，OF，由切线长定理可知，AF＝AD，BD＝BE，根据∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，可得∠C＝∠OEC＝∠OFC＝90°，OE＝OF，故四边形OECF是正方形，设OE＝OF＝CF＝CE＝x，可得4﹣x+3﹣x＝5，解得x＝1，即⊙O半径长为1；
（2）过O作OH⊥MN于H，连接OD，OE，OF，根据∠ANM＝90°＝∠ACB，∠A＝∠A，AM＝AB，可得△AMN≌△ABC（AAS），从而AN＝AC，即可得DN＝CF，又CF＝OE，有DN＝OE，证明四边形OHND是矩形，即可得OH＝OE，即OH是⊙O的半径，故MN是⊙O的切线．
【解答】（1）解：连接OE，OF，如图：
由切线长定理可知，AF＝AD，BD＝BE，
∵∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠C＝∠OEC＝∠OFC＝90°，OE＝OF，
∴四边形OECF是正方形，
设OE＝OF＝CF＝CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝4﹣x＝BD，AF＝AC﹣CF＝3﹣x＝AD，
∵BD+AD＝AB5，
∴4﹣x+3﹣x＝5，
解得x＝1，
∴OE＝1，即⊙O半径长为1；
故答案为：AD，BE，1；
（2）证明：过O作OH⊥MN于H，连接OD，OE，OF，如图：
∵∠ANM＝90°＝∠ACB，∠A＝∠A，AM＝AB，
∴△AMN≌△ABC（AAS），
∴AN＝AC，
∵AD＝AF，
∴AN﹣AD＝AC﹣AF，即DN＝CF，
同（1）可知，CF＝OE，
∴DN＝OE，
∵∠ANM＝90°＝∠ODN＝∠OHN，
∴四边形OHND是矩形，
∴OH＝DN，
∴OH＝OE，即OH是⊙O的半径，
∵OH⊥MN，
∴MN是⊙O的切线．
48．问题提出
（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB＝15，AC＝8，则AD的长为 　　；
问题解决
（2）如图②所示，某工厂剩余一块△ABC型板材，其中AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，并求出⊙O的半径；若不可以，请说明理由．
【思路点拔】（1）先根据勾股定理求出BC＝17，再根据三角形的面积公式可求出AD的长；
（2）根据三角形内最大的圆是三角形的内切圆可求出点O的位置，过点O作OH⊥BC于H，OP⊥AC于P，OQ⊥AB于Q，连接OA，OB，OC，过点A作AM⊥BC于M，设BM＝x cm，⊙O的半径为R cm，则CM＝（160﹣x）cm，再根据勾股定理列出关于x的方程得1002﹣x2＝1402﹣（160﹣x）2，则x＝50，进而得AMcm，则S△ABCcm2，然后根据S△OBC+S△OCA+S△OAB＝S△ABC，得（100+160+140）R，据此可得⊙O的半径．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝8，
由勾股定理得：BC17．
由三角形的面积得：S△ABCAB ACBC AD，
∴AB AC＝BC AD，
∴AD．
故答案为：．
（2）可以．
∵三角形内最大的圆是三角形的内切圆，
∴所求圆的圆心是△ABC的内心，
作∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点O，
则点O就是裁出的最大圆型部件的圆心O的位置，
过点O作OH⊥BC于H，OP⊥AC于P，OQ⊥AB于Q，连接OA，OB，OC，过点A作AM⊥BC于M，如图所示：
设BM＝x cm，⊙O的半径为R cm，
∵AB＝100cm，BC＝160cm，AC＝140cm，
∴CM＝（160﹣x）cm，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：AM2＝AB2﹣BM2＝1002﹣x2，
在Rt△ACM中，由勾股定理得：AM2＝AC2﹣CM2＝1402﹣（160﹣x）2，
∴1002﹣x2＝1402﹣（160﹣x）2，
解得：x＝50，
∴AM（cm），
∴S△ABCBC AM（cm2）
∵点O为△ABC的内心，
∴OH＝OP＝OQ＝R cm，
∵S△OBC+S△OCA+S△OAB＝S△ABC，
∴BC OHAC OPAB OQ，
即（100+160+140）R，
∴R．
49．如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，AD＝AC．E是⊙O外一点，∠BAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACB，连接BE．
（1）若AB＝8，求AE的长；
（2）求证：EB是⊙O的切线．
【思路点拔】（1）利用ASA证得△ADE≌△ACB，即可得出AE＝AB＝8；
（2）连接BO并延长交⊙O于点F，先根据直径所对的圆周角是直角得出∠BAF＝90°，于是得出∠AFB+∠ABF＝90°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠AFB＝∠ACB，进而得出∠ACB+∠ABF＝90°，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理证得∠ACB＝∠ABE，于是问题得证．
【解答】（1）解：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD，
即∠EAD＝∠BAC，
又∵∠ADE＝∠ACB，AD＝AC，
∴△ADE≌△ACB（ASA），
∴AE＝AB，
∵AB＝8，
∴AE＝8；
（2）证明：如图，连接BO并延长交⊙O于点F，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFB+∠ABF＝90°，
∵∠AFB＝∠ACB，
∴∠ACB+∠ABF＝90°，
在△ADC中，AD＝AC，
∴∠ACB＝∠ADC，
∴2∠ACB+∠CAD＝180°，
由（1）知AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴2∠ABE+∠BAE＝180°，
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠ACB＝∠ABE，
∴∠ABE+∠ABF＝90°，
即∠OBE＝90°，
∵OB为半径，
∴EB是⊙O的切线．
50．如图，△ABC中．∠ACB＝90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD．
（1）求证：∠ABC＝2∠ACD；
（2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半径．
【思路点拔】（1）连接OD，如图，先根据切线的性质得到∠ODA＝∠ODB＝90°，再根据四边形的内角和与等角的补角相等得到∠ABC＝∠AOD，接着根据圆周角定理得到∠AOD＝2∠ACD，从而得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8﹣r，先利用勾股定理计算出AB＝10，再证明△AOD∽△ABC，则利用相似比得到，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵AB为⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ODA＝∠ODB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠COD＝180°，
∵∠AOD+∠COD＝180°，
∴∠ABC＝∠AOD，
∵∠AOD＝2∠ACD，
∴∠ABC＝2∠ACD；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8﹣r，
在Rt△ACB中，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB10，
∵∠OAD＝∠BAC，∠ADO＝∠ACB，
∴△AOD∽△ABC，
∴，即，
解得r＝3，
即⊙O的半径为3．
51．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD平分∠AOC．
（1）求证：OD∥BC；
（2）延长DO交⊙O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P．若，PE＝1，求⊙O半径的长．
【思路点拔】（1）连接AC交OD于H，根据圆周角定理得到AC⊥BC，根据角平分线的定义得到∠AOD＝∠COD，根据垂径定理得到OD⊥AC，根据平行线的判定定理得到OD∥BC；
（2）根据相似三角形的性质得到，设OE＝5x，BC＝6x，求得OHBC＝3x，根据切线的性质得到∠OBP＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AC交OD于H，
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD，
∴，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）解：∵OE∥BC，
∴△OEF∽△BCF，
∴，
∴设OE＝5x，BC＝6x，
∵AO＝OB，OH∥BC，
∴AH＝CH，
∴OHBC＝3x，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠OBP＝90°，
∴∠PBO＝∠AHO，
∵∠BOP＝∠AOH，
∴△AOH∽△POB，
∴，
∴，
∴x，
∴OE，
∴⊙O半径的长为．
52．已知△AOB中，∠ABO＝30°，AB为⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C．
（Ⅰ）如图①，若AB∥MN，直径CE与AB相交于点D，求∠AOB和∠BCE的大小；
（Ⅱ）如图②，若OB∥MN，CG⊥AB，垂足为G，CG与OB相交于点F，OA＝3，求线段OF的长．
【思路点拔】（I）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ABO，求得∠AOB＝180°﹣2∠ABO＝120°，根据切线的性质得到∠ECM＝90°，根据平行线的性质得到∠CDB＝∠ECM＝90°，根据圆周角定理得到结论；
（II）如图，连接OC，同（I），得∠COB＝90°，根据垂直的定义得到∠FGB＝90°，求得∠BFG＝90°﹣∠ABO＝60°，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（I）∵OA＝OB，
∴∠A＝∠ABO，
∵∠A+∠ABO+∠AOB＝180°，∠ABO＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO＝120°，
∵直线MN与⊙O相切于点C，CE为⊙O的直径，
∴∠ECM＝90°，
∵AB∥MN，
∴∠CDB＝∠ECM＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣∠ABO＝60°，
∵，
∴∠BCE＝30°；
（II）如图，连接OC．
同（I），得∠COB＝90°，
∵CG⊥AB，
∴∠FGB＝90°，
∵∠ABO＝30°，
∴∠BFG＝90°﹣∠ABO＝60°，
∴∠CFO＝∠BFG＝60°，
在Rt△COF中，，
∴．
53．如图，直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接BC，BD，分别与⊙O交于点E，F，连接EF，AF．
（1）求证：∠BAF＝∠CDB；
（2）若⊙O的半径r＝6，AD＝9，AC＝12，求EF的长．
【思路点拔】（1）先根据切线的性质得到∠BAC＝∠BAD＝90°，再根据圆周角定理得到∠AFB＝90°，然后根据等角的余角相等得到∠BAF＝∠CDB；
（2）先利用勾股定理计算出BD＝15，BC＝12，再证明△BAF∽△BDA，利用相似比求出BF，接着证明△BEF∽△BDC，然后利用相似比求出EF的长．
【解答】（1）证明：∵直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥CD，
∴∠BAC＝∠BAD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵∠BAF+∠ABD＝90°，∠CDB+∠ABD＝90°，
∴∠BAF＝∠CDB；
（2）解：在Rt△ABD中，
∵AB＝2r＝12，AD＝9，
∴BD15，
在Rt△ABC中，
∵AB＝12，AC＝12，
∴BC12，
∵∠ABF＝∠DBA，∠AFB＝∠BAD，
∴△BAF∽△BDA，
∴BF：BA＝BA：BD，即BF：12＝12：15，
解得BF，
∵∠BEF＝∠BAF，∠BAF＝∠CDB，
∴∠BEF＝∠CDB，
∵∠EBF＝∠DBC，
∴△BEF∽△BDC，
∴EF：CD＝BF：BC，即EF：21：12，
解得EF，
即EF的长为．
54．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝CD．点E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F．∠FEG的平分线EH交射线AC于点H，∠H＝45°．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BE＝2，CE＝4，求AF的长．
【思路点拔】（1）根据角平分线的定义，等腰三角形的性质，圆周角定理得出OC∥AF，再根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得出∠F＝2∠H＝90°，进而得到OC⊥EF，由切线的判定方法即可得出结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质求出AB，再根据直角三角形的边角关系求出AC，BC，再根据相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵BC＝CD，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴OC∥AF，
∵EH平分∠FEG，
∴∠FEH＝∠GEH，
∵∠GEH＝∠H+∠BAC，∠FEH＝∠F+∠BAF，
∴2∠H+2∠BAC＝∠F+∠BAF，
∴∠BAF＝2∠BAC，
∴∠F＝2∠H＝90°，
∴∠OCE＝∠F＝90°，
即OC⊥EF，
∵OC是半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即∠OCB+∠BCE＝90°，
∴∠OBC+∠BAC＝90°，
又∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠BCE＝∠EAC，
∵∠CEB＝∠CAE，
∴△BCE∽△CAE，
∴，
∴CE2＝BE AE，即16＝2AE，
解得AE＝8，
∴AB＝8﹣2＝6，
在Rt△ABC中，AB＝6，，
∴BC，AC，
∵∠F＝∠ACB＝90°，∠FAC＝∠BAC，
∴△FAC∽△CAB，
∴，
∴AF．
55．如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．
（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数；
（2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明；
（3）若CI＝2，DI，求△ABC的周长．
【思路点拔】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据三角形的内角和定理求出∠CAB＝65°，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；
（2）连接AI，由三角形的内心性质得到内心，∠CAI＝∠BAI，∠ACI＝∠BCI，然后利用圆周角定理得到∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD，利用三角形的外角性质证得∠DAI＝∠DIA，然后利用等角对等边可得结论；
（3）过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和切线长定理得到AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，利用解直角三角形求得CF＝2＝CP，AB＝13，进而可求解．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝25°，
∴∠CAB＝90°﹣25°＝65°，
∵四边形ABEC是⊙O内接四边形，
∴∠CEB+∠CAB＝180°，
∴∠CEB＝180°﹣∠CAB＝115°；
（2）DI＝AD＝BD，
连接AI，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠CAI＝∠BAI，，
∴，
∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD，
∵∠DAI＝∠DAB+∠BAI，∠DIA＝∠ACI+∠CAI，
∴∠DAI＝∠DIA，
∴DI＝AD＝BD；
（3）过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P，
∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心，
∴Q、F、P分别为该内切圆与△ABC三边的切点，
∴AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，
∵，∠IFC＝90°，∠ACI＝45°，
∴CF＝CI cos45°＝2＝CP，
∵DI＝AD＝BD，，∠ADB＝90°，
∴，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC
＝AB+AF+CF+CP+BP
＝AB+AQ+BQ+2CF
＝2AB+2CF
＝2×13+2×2＝30．
56．如图，在⊙O中，AB是直径，AE是弦，点F是上一点，，AE，BF交于点C，点D为BF延长线上一点，且∠CAD＝∠CDA．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BE＝4，AD＝2，求⊙O的半径长．
【思路点拔】（1）由，得∠ABF＝∠BAE，而∠CAD＝∠CDA，则∠OAD＝∠CAD+∠BAE＝90°，即可证明AD是⊙O的切线；
（2）连接AF，则AF＝BE＝4，因为AB是⊙O的直径，所以∠AFD＝∠AFB＝90°，求得DF2，由tanD＝2，得ADAB，所以OAAB＝AD＝2，则⊙O的半径长为2．
【解答】（1）证明：∵，
∴∠ABF＝∠BAE，
∵∠CAD+∠BAE+∠CDA+∠ABF＝180°，且∠CAD＝∠CDA，
∴∠CAD+∠BAE+∠CAD+∠BAE＝180°，
∴∠OAD＝∠CAD+∠BAE＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA，
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：连接AF，
∵，BE＝4，AD＝2，
∴AF＝BE＝4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFD＝∠AFB＝90°，
∴DF2，
∵∠BAD＝∠AFD＝90°，
∴tanD2，
∴ADAB，
∴OAAB＝AD＝2，
∴⊙O的半径长为2．
57．如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，点D是的中点，DN⊥AB于点E，交AC于点F，连结DB交AC于点G．
（1）求证：AF＝DF；
（2）延长GD至点M，使DM＝DG，连结AM．
①求证：AM是⊙O的切线；
②若DG＝6，DF＝5，求⊙O的半径．
【思路点拔】（1）连接AD，设OD交AC于点I，由OD＝OA，得∠ODA＝∠OAD，由点D是的中点，得OD⊥AC于点I，可证明∠ODF＝∠OAF＝90°﹣∠AOD，进而推导出∠FDA＝∠FAD，则AF＝DF；
（2）①先证明AD垂直平分GM，则AM＝AG，所以∠MAD＝∠CAD＝∠B，则∠OAM＝∠BAD+∠MAD＝∠BAD+∠B＝90°，即可证明AM是⊙O的切线；
②可证明∠FDG＝∠FGD，则GF＝DF＝AF＝5，所以AG＝2AF＝10，求得AD8，cos∠DAG，求得AI，则DI，由勾股定理得（OA）2+（）2＝OA2，求得OA，则⊙O的半径长为．
【解答】（1）证明：连接AD，设OD交AC于点I，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵点D是的中点，
∴OD⊥AC于点I，
∵DN⊥AB于点E，
∴∠OED＝∠OIA＝90°，
∴∠ODF＝∠OAF＝90°﹣∠AOD，
∴∠ODA﹣∠ODF＝∠OAD﹣∠OAF，
∴∠FDA＝∠FAD，
∴AF＝DF．
（2）①证明：∵AB是⊙O的直径，DM＝DG，
∴∠ADB＝90°，
∴AD垂直平分GM，
∴AM＝AG，
∴∠MAD＝∠CAD，
∵，
∴∠B＝∠CAD，
∴∠MAD＝∠B，
∴∠OAM＝∠BAD+∠MAD＝∠BAD+∠B＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AM⊥OA，
∴AM是⊙O的切线．
②解：∵∠FDG+∠FDA＝90°，∠FGD+∠FAD＝90°，且∠FDA＝∠FAD，
∴∠FDG＝∠FGD，
∴GF＝DF＝AF＝5，
∴AG＝2AF＝10，
∵DG＝6，
∴AD8，
∵∠AID＝∠ADG＝90°，
∴cos∠DAG，
∴AI，
∴DI，
∵∠OIA＝90°，OI＝ODOA，
∴OI2+AI2＝OA2，
∴（OA）2+（）2＝OA2，
解得OA，
∴⊙O的半径长为．
58．如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径长．
【思路点拔】（1）连接OC，由等弧所对的圆周角相等得出∠EAC＝∠BAC，根据同圆的半径相等得出∠BAC＝∠OCA，于是有∠EAC＝∠OCA，可得出AE∥OC，再根据CD⊥AE，即可得出OC⊥DF，从而问题得证；
（2）连接CE，BC，先根据切割线定理求出AD的长，然后由勾股定理求出AC、CE的长，再根据等弧所对的弦相等得出BC＝CE，在Rt△ACB中根据勾股定理求出AB的长，即可求出⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵点C为的中点，
∴，
∴∠EAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴AE∥OC，
∴∠ADC＝∠OCF，
∵CD⊥AE，
∴∠ADC＝90°，
∴∠OCF＝90°，
即OC⊥DF，
又OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接CE，BC，
由（1）知CD是⊙O的切线，
∴CD2＝DE AD，
∵DE＝1，DC＝2，
∴AD＝4，
在Rt△ADC中，由勾股定理得，
在Rt△DCE中，由勾股定理得，
∵点C是的中点，
∴，
∴EC＝BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
由勾股定理得，
∴⊙O的半径长是2.5．
59．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，CD＝2，求的长．
【思路点拔】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠B，由AB＝AC，得∠C＝∠B，则∠ODB＝∠C，所以OD∥AC，则∠ODE＝∠CED＝90°，即可证明DE是⊙O的切线；
（2）连接AD，由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，则AD⊥BC，因为AB＝AC，CD＝2，所以BD＝CD＝2，可求得AD＝BD tan30°＝2，再证明△AOD是等边三角形，则OD＝AD＝2，而∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，根据弧长公式求出的长即可．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠ODE＝∠CED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，CD＝2，
∴BD＝CD＝2，
∵∠B＝∠C＝30°，
∴AD＝BD tan30°＝22，
∵OD＝OA，∠AOD＝2∠B＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴OD＝AD＝2，
∵∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴，
∴的长是．
60．如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，点C是的中点，连接BC，过点C的直线垂直于BE的延长线于点D，交BA的延长线于点P．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）若PC＝2BO，PB＝10，求BE的长．
【思路点拔】（1）连接OC，证PD⊥CO即可；（2）利用线段成比例列方程即可．
【解答】
（1）证明：连接OC，
∵点C是的中点，
∴∠ABC＝∠DBC，
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠DBC＝∠OCB，
∴OC∥DB，
∵PD⊥BD，
∴PD⊥CO，
∵oc是圆O半径，
∴PC为⊙O的切线；
（2）解：连接AE，设OB＝OC＝r，
∵PC＝2BO＝2r，
∴OP3r，
∵PB＝10，
∴3r+r＝10，即r．
∵OC∥DB，
∴△PCO∽△PDB，
∴，
∴，
∴BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AE⊥BD，
∴AE∥PD，
∴，
∴，
∴BE．

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