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2024-2025学年安徽省合肥168中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.直线：的一个方向向量为( )
A. B. C. D.
3.若椭圆的左焦点的坐标为，则的值为( )
A. B. 或 C. D. 或
4.已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.圆：与圆：的公切线条数是( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，当的面积为时，等于( )
A. B. C. D.
7.在四棱锥中，，，，则此四棱锥的高为( )
A. B. C. D.
8.已知，是圆：上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，分别为两个不同的平面，的法向量，为直线的方向向量，且，则( )
A. B. C. D.
10.已知直线：，圆：，则下列说法正确的是( )
A. 直线过定点
B. 直线与圆恒相交
C. 直线被圆截得的弦长为时，
D. 直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为
11.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，，是椭圆上异于，的一个动点，则下列说法正确的有( )
A. 椭圆的离心率为
B. 若，则
C. 直线的斜率与直线的斜率之积为定值
D. 符合条件的点有且仅有个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若方程表示椭圆，则的取值范围是 ．
13.若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______．
14.已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为利用此结论，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，．
当时，若向量与垂直，求实数的值；
若向量与向量，共面，求实数的值．
16.本小题分
已知两直线：和：的交点为．
若直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；
若圆过点且与相切于点，求圆的标准方程．
17.本小题分
已知动点到定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，点的轨迹称为曲线．
求曲线的方程；
若倾斜角为的直线与曲线交于，两点，且，求直线的方程．
18.本小题分
在中，，，，，分别是，上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．
求证：平面；
求与平面所成角的大小；
在线段上是否存在点，使平面与平面夹角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
定义：若椭圆：上的两个点，满足，则称，为该椭圆的一个“共轭点对”，记作已知椭圆的离心率为，且椭圆过点．
求椭圆的方程；
求“共轭点对”中点所在直线的方程；
设为坐标原点，点，在椭圆上，，中的直线与椭圆交于两点，，且点的纵坐标大于，设四点，，，在椭圆上逆时针排列证明：四边形的面积小于．
参考答案
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14.
15.解根据题意，且，
，解得，
则，
因为，且向量与垂直，
所以，则有，
．
因为向量与向量，共面，所以设．
因为，
所以
所以实数的值为．
16.解：联立方程组解得
所以直线：和：的交点．
因为直线与直线平行，故可设直线：．
又直线过点，则，解得，
即直线的方程为．
设所求圆的标准方程为，
直线：的斜率为，故直线的斜率为，
由题意可得解得
故所求圆的标准方程为．
17.设，则，
整理得，
曲线的方程为；
由题意设直线：，
联立得：，
设，，由，得，
，
则，
整理得：，满足，
．
即直线方程为或．
18.解：证明：因为在中，，所以，又，
所以，，则折叠后，，
又，，平面，
所以平面，平面，
所以，
又已知，，且，都在面内，
所以平面；
由，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
由题意可知，，故，
由几何关系可知，，，，
故C，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，
不妨令，则，，
所以，
设与平面所成角的大小为，
则有，
故，
即与平面所成角的大小为；
假设在线段上存在点，使平面与平面夹角余弦值为，
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，，
设平面的法向量为，
则
不妨令，则，，
所以，
设平面的法向量为，
则，
不妨令，则，，
所以，
若平面与平面夹角余弦值为，
则满足，
化简得，
解得或，
即或，
故在线段上存在这样的点，使平面与平面夹角余弦值为，此时的长度为或．
19.解：因为椭圆的离心率为，且椭圆过点，
所以，
解得，，，
则椭圆的方程为；
因为，，
所以，
整理得，
则点所在的直线的方程为；
证明：由知，直线的方程为，
联立，
解得或，
因为点的纵坐标大于，
所以，，
设，，
因为，两点均在椭圆上，
所以，
两式相减得，
因为，
所以，
此时，
则，
所以线段的中点在直线上，
所以线段被直线平分，
设点到直线的距离为，
此时，
因为，
所以，
设过点且与直线平行的直线的方程为，
易知当与相切时，取得最大值，
联立，消去并整理得，
令，
解得，
当时，此时，
解得，
此时点或点必有一个和点重合，不符合条件，
所以直线与不可能相切，
即点到直线的距离小于平行直线和或的距离．
故．
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