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(共61张PPT)
第六章
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第1课时
排列与排列数
1.理解并掌握排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列.
2.掌握排列数公式并会应用.
学习目标
唐僧师徒取经路经平顶山时，遇到莲花洞的金角大王和银角大王两个妖怪，银角大王用宝贝葫芦装孙悟空时，孙悟空用“孙”“行”
“者”三个字的不同排序报了姓名，你能列举出这三个字排成的所有姓名吗？
导 语
一、排列概念的理解
二、排列数公式
课时对点练
三、排列数公式的简单应用
随堂演练
内容索引
一
排列概念的理解
从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题1
提示　如图所示，共有6种不同的选法.
1.排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照_______
_______排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.根据排列的定义，两个排列相同的充要条件：(1)两个排列的元素_____
_______；(2)元素的排列 也相同.
一定的
顺序
完全
相同
顺序
(1)要求m≤n.
(2)按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同.
注 意 点
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　 (1)(多选)下列问题是排列问题的是
A.北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来
回的票价相同)
B.选2个小组分别去植树和种菜
C.选10人组成一个学习小组
D.选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员
例 1
√
√
三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格，不存在顺序问题，所以A选项不是排列问题；
植树和种菜是不同的，存在顺序问题，所以B选项是排列问题；
C选项中不存在顺序问题，所以不是排列问题；
每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，所以D选项是排列问题.
(2)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？请写出所有结果.
第一类：用1面旗表示的信号有红、黄、蓝，共3种；
第二类：用2面旗表示的信号有红黄、黄红、红蓝、蓝红、黄蓝、蓝黄，共6种；
第三类：用3面旗表示的信号有红黄蓝、红蓝黄、黄红蓝、黄蓝红、蓝红黄、蓝黄红，共6种.
由分类加法计数原理，所求的信号共有3+6+6=15(种).
(1)“取”，检验取出的m个元素是否重复；
(2)“排”，检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是，交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序.
反
思
感
悟
判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑
　(1)下列问题是排列问题的是
A.从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法
B.10个人互相通信一次，共写了多少封信
C.平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线
D.从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种
跟踪训练 1
√
对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误；
对于B，10个人互相通信，涉及顺序问题，是排列问题，B正确；
对于C，5个点中任取2点，不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误；
对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序，不是排列问题，D错误.
(2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出.
如图所示.
所有的四位数为1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24个没有重复数字的四位数.
二
排列数公式
从n个不同的元素中取出m(m，n∈N*，m≤n)个元素的排列的个数是多少？
问题2
提示　我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N*)个元素的排列，看成从n个不同的球中取出m个球，放入排好的m个盒子中，每个盒子里放一个球，我们根据分步乘法计数原理排列这些球：
第1步，从全体n个球中任选一个放入第1个盒子，有n种方法；
第2步，从剩下的(n-1)个球中任选一个放入第2个盒子，有(n-1)种方法；
第3步，从剩下的(n-2)个球中任选一个放入第3个盒子，有(n-2)种方法；
…
第m步，从剩下的[n-(m-1)]个球中任
选一个放入第m个盒子，有[n-(m-1)]
种方法，如表所示.
因此，根据分步乘法计数原理，从n个不同的球中取出m个球的排列，共有
n(n-1)(n-2)…[n-(m-1)]种方法.
盒子 1 2 3 … m
方法数 n n-1 n-2 … n-(m-1)
排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_________
的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数
排列数表示法
排列数 公式 乘积式 =____________________
阶乘式 =__________
备注 n，m∈N*，m≤n
1.
不同排列
n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
2.全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列.
正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成________.
规定：0！=1.
n！
=n！
(1)乘积式是m个连续正整数的乘积，第一个数最大，是A的下标n，第m个数最小，是n-m+1.
(2)阶乘式的分子是的下标的阶乘，分母是下标与上标差的阶乘.
注 意 点
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(1)计算：；
例 2
=
===.
(2)解方程：=140.
因为所以x≥3，x∈N*.
由=140得
(2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2).
化简得4x2-35x+69=0，
解得x1=3，x2=(舍去).
所以原方程的解为x=3.
反
思
感
悟
排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算.
(1)不等式<6的解集为
A.[2，8] B.[2，6] C.(7，12) D.｛8｝
跟踪训练 2
√
由<6<6×，
化简得x2-19x+84<0，解得7又所以2由①②及x∈N*，得x=8.
(2)求证：+m=.
+m=+===.
三
排列数公式的简单应用
用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
例 3
方法一　分两步完成：
(1)从1到9这九个数中任选一个占据百位，有种方法.
(2)从余下的9个数(包括数字0)中任选2个占据十位、个位，有种方法.
由分步乘法计数原理可得，所求的三位数的个数为=9×9×8=648.
方法二　符合条件的三位数可以分三类：
(1)每一位数字都不是0的三位数有个；
(2)个位数字是0的三位数有个；
(3)十位数字是0的三位数有个.
由分类加法计数原理可得，所求的三位数的个数为++=648.
方法三　不考虑任何限制条件求出所有的三位数的个数，再减去不符合条件的三位数的个数，
即-=648.
反
思
感
悟
(1)对于简单的排列问题，可直接带入排列数公式；
(2)对于情况较多的情形，可以先进行分类讨论，再计算；
(3)正难则反，可考虑间接法.
已知有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则不同的分配方法有
A.种 B.种 C.种 D.2种
跟踪训练 3
司机、售票员各有种不同的分配方法.
√
1.知识清单：
(1)排列、排列数的定义.
(2)排列的简单应用.
(3)排列数公式的应用.
2.方法归纳：树状图法.
3.常见误区：忽视中“m，n∈N*”这个条件.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.(多选)下列问题中是排列问题的是
A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组
B.从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动
C.从a，b，c，d中选出3个字母
D.从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数
√
由排列的定义知AD是排列问题.
√
2.-的值是
A.480 B.520 C.600 D.1 320
1
2
3
4
√
=12×11×10=1 320，
=10×9×8=720，
故-=1 320-720=600.
3.3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法种数为
A.3 B.24 C.34 D.43
1
2
3
4
√
3个学生在4本不同的参考书中各挑选一本，相当于从4个不同元素中选3个的排列，其选法种数为=4×3×2=24.
4.从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文艺委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文艺委员，则不同的选法共有____种.
(用数字作答)
1
2
3
4
文艺委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有=12(种)方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12=36(种)选法.
36
课时对点练
五
1.(多选)下面问题中，是排列问题的是
A.由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B.从40人中选5人组成篮球队
C.从100人中选2人分别参加数学、物理竞赛
D.从1，2，3，4，5中选2个数组成集合
1
2
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基础巩固
√
√
1
2
3
4
5
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15
16
对于A，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，符合排列的定义，是排列问题；
对于B，从40人中选5人组成篮球队，与顺序无关，不是排列问题；
对于C，从100人中选2人分别参加两科竞赛，存在顺序问题，是排列问题；
对于D，从1，2，3，4，5中选2个数组成集合，与顺序无关，不是排列问题.
2.若a∈N*，且a<20，则(27-a)(28-a)…(34-a)等于
A. B. C. D.
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√
==(27-a)(28-a)·…·(34-a).
3.将《步步高》《创新设计》等三本不同的书按如图所示的方式放在一起，则《步步高》放在最上面或最下面的不同放法共有
A.2种 B.4种 C.6种 D.9种
√
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《步步高》放在最上面或最下面的不同放法共有=4(种).
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4.某高校有4名志愿者参加社区志愿工作，若每天早、中、晚三班，每班1人，每人每天最多值一班，则值班当天不同的排班种数为
A.12 B.18 C.24 D.144
√
由题意知，值班当天不同的排班种数为=24.
5.已知3=4，则x等于
A.6 B.13 C.6或13 D.12
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√
由题意得0所以1所以=，整理得x2-19x+78=0，
解得x=6或x=13(舍去).
6.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个，分别记为a，b，共可得到lg a-lg b的不同的值的个数是
A.9 B.10 C.18 D.20
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√
lg a-lg b=lg ，从1，3，5，7，9中任取两个数分别记为a，b，共有=20(种)，其中lg =lg ，lg =lg ，故可得到18种结果.
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7.从a，b，c，d，e 5个元素中每次取出3个元素，可组成　　　个以b为首的不同的排列，它们分别是____________________________________
__________________________.
12
bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，
bdc，bde，bea，bec，bed
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16
画出树状图如图.
可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，
bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.
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8.若把英语单词“pear”的字母顺序写错了，则可能出现的错误有___种.
23
因为“p，e，a，r”四个字母组成的全排列共有=4×3×2×1=24(种)，
其中只有排列“pear”是正确的，其余全是错误的，故可能出现的错误共有24-1=23(种).
9.(1)解不等式：3≤2+6；
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由题意可知，x∈N*且x≥3，
因为=x(x-1)(x-2)，=(x+1)x，
=x(x-1)，
所以原不等式可化为3x(x-1)(x-2)≤2x(x+1)+6x(x-1)，整理得(3x-2)(x-5)
≤0，
所以3≤x≤5，所以原不等式的解集为｛3，4，5｝.
(2)求证：=.
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左边==n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1=n！，
右边==n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)×(n-m)×…×2×1=n！，
所以=.
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10.已知一条铁路有8个车站，假设列车往返运行且每个车站均停靠上下客，记从A车站上车到B车站下车为1种车票(A≠B).
(1)该铁路的客运车票有多少种？
铁路的客运车票有=8×7=56(种).
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(2)为满足客运需要，在该铁路上新增了n个车站，客运车票增加了54种，求n的值.
在新增了n个车站后，共有(n+8)个车站，因为客运车票增加了54种，则-56=54，
所以=(n+8)(n+7)=110，解得n=3.
11.(多选)下列等式正确的是
A.(n+1)= B.=
C.=(n-2)！ D.=
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16
√
综合运用
√
√
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对于A，(n+1)=(n+1)·==，A正确；
对于B，==，B错误；
对于C，==(n-2)！，C正确；
对于D，=·==，D正确.
12.将4名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小明不去花样滑冰项目，则不同的分配方案共有
A.12种 B.18种 C.24种 D.30种
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√
志愿者小明不去花样滑冰项目，则小明有3种分配方案，将另外3名志愿者分配剩下的3个项目，有种分配方案，根据分步乘法计数原理可得不同的分配方案共有3=18(种).
13.现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有
A.120种 B.60种 C.30种 D.20种
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√
先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有5种方式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有种安排方式.所以不同的安排方式共有5=60(种).
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14.将4位司机、4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，每辆汽车分别有1位司机和1位售票员，则共有　　　种不同的分配方案.
576
可以分为两步：第1步，把4位司机分配到4辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有种方法；第2步，把4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，也有种方法.由分步乘法计数原理知，分配方案共有·=576(种).
15.由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数.
(1)若x=9，则其中能被3整除的共有　　　个；
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拓广探究
12
因为当各数位上的数字之和能被3整除时，该数就能被3整除，
所以这种三位数只能由2，4，9或1，2，9排列组成，
所以共有2×=12(个).
(2)若所有这些三位数的各位数字之和是252，则x=　　.
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7
显然x≠0，因为1，2，4，x在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现·次，
所以这样的数字之和是(1+2+4+x)··，
即(1+2+4+x)··=252，
所以7+x=14，解得x=7.
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16
16.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字且大于201 345的六位数的个数为多少？
用数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数的个数为5=600.
以1为十万位的没有重复数字的六位数的个数为=120，
由于201 345是以2为十万位的没有重复数字的六位数中最小的一个，所以没有重复数字且大于201 345的六位数的个数为600-120-1=479.6.2.1　排　列
6.2.2　排列数
第1课时　排列与排列数
［学习目标］　1.理解并掌握排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列.2.掌握排列数公式并会应用.
一、排列概念的理解
问题1　从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
知识梳理
1.排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照　　　　　　　　排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.根据排列的定义，两个排列相同的充要条件：(1)两个排列的元素　　　　　　　　；(2)元素的排列　　　　也相同.
例1　(1)(多选)下列问题是排列问题的是 (　　)
A.北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)
B.选2个小组分别去植树和种菜
C.选10人组成一个学习小组
D.选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员
(2)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？请写出所有结果.
反思感悟　判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑
(1)“取”，检验取出的m个元素是否重复；
(2)“排”，检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是，交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序.
跟踪训练1　(1)下列问题是排列问题的是 (　　)
A.从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法
B.10个人互相通信一次，共写了多少封信
C.平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线
D.从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种
(2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出.
二、排列数公式
问题2　从n个不同的元素中取出m(m，n∈N*，m≤n)个元素的排列的个数是多少？
知识梳理
1.
排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有　　　　　　　　的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数
排列数表示法
排列数公式 乘积式 =　　　　　　　　　
阶乘式 =　　　　　　　
备注 n，m∈N*，m≤n
2.全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列.
正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用　　　　表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成 　.
规定：0！=1.
例2　(1)计算：；
(2)解方程：=140.
反思感悟　排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算.
跟踪训练2　(1)不等式<6的解集为 (　　)
A.［2，8］ B.［2，6］ C.(7，12) D.｛8｝
(2)求证：+m=.
三、排列数公式的简单应用
例3　用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
反思感悟　(1)对于简单的排列问题，可直接带入排列数公式；
(2)对于情况较多的情形，可以先进行分类讨论，再计算；
(3)正难则反，可考虑间接法.
跟踪训练3　已知有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则不同的分配方法有 (　　)
A.种 B.种
C.种 D.2种
1.知识清单：
(1)排列、排列数的定义.
(2)排列的简单应用.
(3)排列数公式的应用.
2.方法归纳：树状图法.
3.常见误区：忽视中“m，n∈N*”这个条件.
1.(多选)下列问题中是排列问题的是 (　　)
A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组
B.从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动
C.从a，b，c，d中选出3个字母
D.从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数
2.-的值是 (　　)
A.480 B.520 C.600 D.1 320
3.3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法种数为 (　　)
A.3 B.24 C.34 D.43
4.从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文艺委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文艺委员，则不同的选法共有　　　　种.(用数字作答)
答案精析
问题1　
如图所示，共有6种不同的选法.
知识梳理
1.一定的顺序
2.(1) 完全相同　(2)顺序
例1　(1)BD　［三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格，不存在顺序问题，所以A选项不是排列问题；植树和种菜是不同的，存在顺序问题，所以B选项是排列问题；C选项中不存在顺序问题，所以不是排列问题；每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，所以D选项是排列问题.］
(2)解　第一类：用1面旗表示的信号有红、黄、蓝，共3种；
第二类：用2面旗表示的信号有红黄、黄红、红蓝、蓝红、黄蓝、蓝黄，共6种；
第三类：用3面旗表示的信号有红黄蓝、红蓝黄、黄红蓝、黄蓝红、蓝红黄、蓝黄红，共6种.
由分类加法计数原理，所求的信号共有3+6+6=15(种).
跟踪训练1　(1)B　［对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误；
对于B，10个人互相通信，涉及顺序问题，是排列问题，B正确；
对于C，5个点中任取2点，不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误；
对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序，不是排列问题，D错误.］
(2)解　如图所示.
所有的四位数为1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24个没有重复数字的四位数.
问题2　我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N*)个元素的排列，看成从n个不同的球中取出m个球，放入排好的m个盒子中，每个盒子里放一个球，我们根据分步乘法计数原理排列这些球：
第1步，从全体n个球中任选一个放入第1个盒子，有n种方法；
第2步，从剩下的(n-1)个球中任选一个放入第2个盒子，有(n-1)种方法；
第3步，从剩下的(n-2)个球中任选一个放入第3个盒子，有(n-2)种方法；
…
第m步，从剩下的［n-(m-1)］个球中任选一个放入第m个盒子，有［n-(m-1)］种方法，如表所示.
盒子 1 2 3 … m
方法数 n n-1 n-2 … n-(m-1)
因此，根据分步乘法计数原理，从n个不同的球中取出m个球的排列，共有n(n-1)(n-2)…［n-(m-1)］种方法.
知识梳理
1.不同排列　n(n-1)(n-2)…(n-m+1)　
2.n！　=n！
例2　解　(1)=
===.
(2)因为所以x≥3，x∈N*.
由=140得
(2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2).
化简得4x2-35x+69=0，
解得x1=3，x2=(舍去).
所以原方程的解为x=3.
跟踪训练2　(1)D　［由<6，
得<6×，
化简得x2-19x+84<0，解得7又所以2由①②及x∈N*，得x=8.］
(2)证明　+m=+
===.
例3　解　方法一　分两步完成：
(1)从1到9这九个数中任选一个占据百位，有种方法.
(2)从余下的9个数(包括数字0)中任选2个占据十位、个位，有种方法.
由分步乘法计数原理可得，所求的三位数的个数为
=9×9×8=648.
方法二　符合条件的三位数可以分三类：
(1)每一位数字都不是0的三位数有个；
(2)个位数字是0的三位数有个；
(3)十位数字是0的三位数有个.
由分类加法计数原理可得，所求的三位数的个数为
++=648.
方法三　不考虑任何限制条件求出所有的三位数的个数，再减去不符合条件的三位数的个数，
即-=648.
跟踪训练3　C　［司机、售票员各有种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有种不同的分配方法.］
随堂演练
1.AD　［由排列的定义知AD是排列问题.］
2.C　［=12×11×10=1 320，
=10×9×8=720，
故-=1 320-720=600.］
3.B　［3个学生在4本不同的参考书中各挑选一本，相当于从4个不同元素中选3个的排列，其选法种数为=4×3×2=24.］
4.36
解析　文艺委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有=12(种)方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12=36(种)选法.

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