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第六章
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第2课时
排列的综合问题
1.掌握几种有限制条件的排列.
2.能应用排列数公式解决简单的实际问题.
学习目标
一、特殊元素或特殊位置问题
二、“相邻”与“不相邻”问题
课时对点练
三、定序问题
随堂演练
内容索引
一
特殊元素或特殊位置问题
　从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题.
(1)甲不在首位的排法有多少种？
例 1
方法一　把元素作为研究对象.
第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名排在5个位置上，有种排法；
第二类，含有甲，甲不在首位，先从除首位以外的其他4个位置中选出1个排甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在另外4个位置上，有种排法.根据分步乘法计数原理，有4×种排法.
由分类加法计数原理知，共有+4×=2 160(种)排法.
方法二　把位置作为研究对象.
第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有种排法；
第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有种排法.
由分步乘法计数原理知，共有=2 160(种)排法.
方法三　(间接法)先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉.
不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有种，
所以符合要求的排法有-=2 160(种).
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？
把位置作为研究对象.
第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有种排法；
第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有种排法.
根据分步乘法计数原理，共有=1 800(种)排法.
(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？
把位置作为研究对象.
第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有种排法；
第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有种排法.
根据分步乘法计数原理，共有=1 200(种)排法.
(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
间接法.
总的可能情况有
-2+=1 860(种)排法.
解决排列问题，常用的思考方法有直接法和间接法.把特殊元素或特殊位置作为研究对象，需优先考虑.
反
思
感
悟
　某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法？
跟踪训练 1
6门课总的排法有
种排法.因此符合条件的排法有-2+=504(种).
二
“相邻”与“不相邻”问题
3名男生，4名女生共7个人站成一排，下列情况下，各有多少种不同的站法？
(1)男、女各站在一起；
例 2
(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有种排法，女生必须站一起，即把4名女生进行全排列，有
··=288(种)排法.
(2)男生必须站在一起；
(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，
故有·=720(种)不同的排法.
(3)男生不能站在一起；
(不相邻问题插空法)先排女生有种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有·=1 440(种)不同的排法.
(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻.
先排男生有·=144(种)不同的排法.
反
思
感
悟
处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则.元素相邻问题一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.
　(1)小陈准备将新买的《尚书·礼记》《左传》《孟子》《论语》《诗经》五本书立起来放在书架上，若要求《论语》《诗经》两本书相邻，且《尚书·礼记》放在两端，则不同的摆放方法有
A.18种 B.24种
C.36种 D.48种
跟踪训练 2
√
先将《论语》《诗经》两本书捆绑看作一个整体，则可以看作共4个位置.
先排《尚书·礼记》，排法种数为；然后剩余3个位置全排列，排法种数为.所以不同的摆放方法有=2×6×2=24(种).
(2)永定土楼位于中国东南沿海的福建省龙岩市，它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧.土楼具体有长方形楼、正方形楼、纱帽楼、吊脚楼、五凤楼、五角楼、八角楼等多种类型.现有某大学建筑系学生要重点对包含五凤楼、长方形楼、五角楼共七种类型的土楼依次进行调查研究.要求调查顺序中，五凤楼要排在第一个或最后一个，长方形楼、五角楼相邻，则不同的排法共有
A.480种 B.240种 C.384种 D.1 440种
√
当五凤楼排在第一个时，因为长方形楼、五角楼相邻，所以捆在一起与其他类型全排列，且长方形楼、五角楼内部排列，有=240(种)
不同的排法，
同理当五凤楼排在最后一个时，有=240(种)不同的排法.
综上，五凤楼要排在第一个或最后一个，长方形楼、五角楼相邻，则共有480种不同的排法.
三
定序问题
将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，则有多少种不同的排列方法？
例 3
方法一　(整体法)5个元素无约束条件的全排列有种，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有×2=40(种).
方法二　(插空法)若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入形成的4个空中，
分两类：
第一类，若字母D，E相邻，则有·种排法；
第二类，若字母D，E不相邻，则有种排法.
所以有·+=20(种)不同的排列方法.
同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法.
因此满足条件的排列有20+20=40(种).
将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B顺序已确定，D，E顺序也已确定，则有多少种不同的排列方法？
将A，B，C，D，E这五个字母排成一列，共有种不同方法，
将A，B排成一列，共有种不同方法，将D，E排成一列，共有种不同方法，
设满足条件的方法有x种，则有x=，所以x==30，即有30种不同的排列方法.
延伸探究
反
思
感
悟
在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻).解决这类问题的基本方法有两个：
(1)整体法，即若有(m+n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m+n)个元素排成一列，有种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法；
(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中.
某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相.
(1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？
跟踪训练 3
5位嘉宾无约束条件的出场顺序有种，由于3位老者的排列顺序已定，因此满足3位老者按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有=20(种).
(2)3位老者与2位年轻人都要分别按从小到大的顺序出场，顺序有多少种？
设符合条件的出场顺序共有x种，
用(1)的方法可得x··=，
解得x==10.
1.知识清单：
(1)有限制条件的排列问题.
(2)“相邻”与“不相邻”、“在”与“不在”、定序问题.
2.方法归纳：捆绑法、插空法、定序问题除法处理、间接法.
3.常见误区：分类讨论时，出现重复或遗漏，各种方法使用不当.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.五声音阶(汉族古代音律)是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫、商、角、徵、羽.若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，则可排成不同的音序的种数为
A.12 B.48 C.72 D.120
√
先排其他三个，然后在空档插入宫、羽两音节，方法数为=72.
2.(多选)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是
A.共计有720种不同的排法
B.男生甲排在两端的排法种数为120
C.男生甲、乙相邻的排法种数为120
D.男、女生相间的排法种数为72
1
2
3
4
√
3男3女排成一排共计有=720(种)不同的排法；男生甲排在两端的排法种数为2=240；男生甲、乙相邻的排法种数为=240；男、女生相间的排法种数为2=72.
√
3.有五名学生站成一排拍毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有
A.66种 B.60种 C.36种 D.24种
1
2
3
4
√
五名学生进行全排列共有
=60(种).
4.某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晚会.晚会组委会计划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则有　　种不同排法.(用数字作答)
1
2
3
4
①当2个教师节目相邻时，利用插空法有6=12(种)不同的排法，
②当2个教师节目不相邻时，有=30(种)不同的排法，
所以共有12+30=42(种)不同的排法.
42
课时对点练
五
1.要为5名游客和2名导游拍照留念，要求排成一排，且2名导游相邻，不同的排法共有
A.1 440种 B.960种 C.720种 D.240种
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基础巩固
√
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因为两名导游要相邻，因此将两名导游看作一个整体，内部排列有种排法，
因此根据分步乘法计数原理，
共有=1 440(种)排法.
2.4名运动员参加4×100米接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有
A.12种 B.14种 C.16种 D.24种
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√
若不考虑限制条件，4名队员全排列共有=24(种)排法，减去甲跑第一棒的=6(种)排法，乙跑第4棒的=6(种)排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒的=2(种)排法，共有-2+=14(种)不同的出场顺序.
3.身穿红、黄两种颜色衣服的各有2人，现将这4人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，不同的排法共有
A.4种 B.6种 C.8种 D.12种
√
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由题意得，先排穿红色衣服的2人，构成三个空，再把一个穿黄色衣服的安排在最中间的空中，把另一个穿黄色衣服的安排在两边的空中，所以共有=8(种).
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4.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为
A.3×3！ B.3×(3！)3 C.(3！)4 D.9！
√
利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为·()3=(3！)4.
5.同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D是双胞胎，必须相邻，则不同的排法种数为
A.288 B.144 C.96 D.72
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√
第一步，先将除A，B，C三人外的其余三人进行排序，有种方法，第二步，因为A和D必须相邻，所以A只能插入与D相邻的两个空位，有2种方法，第三步，将B，C插入剩余三个空位，有×2×=72(种)排法.
6.(多选)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是
A.若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种
B.若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种
C.若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种
D.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
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甲、乙、丙按从左到右的顺序排列有=20(种)情况，故A错误；
先安排丙，丁，戊三人，有=6(种)情况，再将甲、乙两人插空，则有=12(种)情况，故甲、乙不相邻的排法有6×12=72(种)情况，故B正确；
若最左端排乙，此时其余四人可进行全排列，故有=24(种)；若最左端不排乙，则最左端只能从丙，丁，戊中选出1人，又乙不能在最右端，则有=54(种)情况，则共有24+54=78(种)排法，故C错误；
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将甲与乙捆绑，看作一个整体且固定顺序，再与其他三人站成一排，故有=24(种)排法，故D正确.
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7.某次演出有6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定(可不相邻)，则不同的排法有　　　种.
120
演出中的6个节目全排列有=6×5×4×3×2×1=720(种)排法，
甲、乙、丙3个节目全排列有=3×2×1=6(种)排法，
所以演出中的6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有==120(种).
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8.两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园.为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为　　　.
24
分3步进行分析，
①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有=2(种)排法，
②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有=2(种)排法，
③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有=6(种)排法.
则共有2×2×6=24(种)排法.
9.一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单.
(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？
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先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置，有种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上，有=14 400(种).
(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？
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先不考虑排列要求，有种排法，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有
-=37 440(种).
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10.三个女生和五个男生排成一排.
(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有
种不同的排法.因此共有·=4 320(种)不同的排法.
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(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，由于五个男生排成一排有
·=
14 400(种)不同的排法.
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(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
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方法一　(位置分析法)因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有
·=14 400(种)不同的排法.
方法二　(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有
··
·-2·+·=
14 400(种)不同的排法.
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方法三　(元素分析法)从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有·=14 400(种)不同的排法.
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(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
方法一　(位置分析法)因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有·
··
·+··=36 000(种)不同的排法.
方法二　(间接法)三个女生和五个男生排成一排共有
·种，就得到两端不都是女生的排法种数.因此共有-·=36 000(种)不同的排法.
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(5)如果男生甲、乙之间能且仅能站两个女生，可有多少种不同的排法？
男生甲、乙站好有种站法，从三个女生中选2人站在甲、乙之间有种站法，
再把甲、乙及中间两个女生看成一个整体捆绑在一起，和另外4人排成一队有种站法，
所以共有··=1 440(种)不同的排法.
11.甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第一名至第五名(没有并列名次).已知甲、乙均未得第一名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况有
A.27种 B.48种 C.54种 D.72种
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综合运用
由题意知，乙的限制最多，故先排乙，有3种排法；再排甲，也有3种排法；余下3人有种排法.故共有3×3×=54(种)不同的排法.
12.某校迎春晚会由6个节目组成，为考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求，节目甲不排在第一位和最后一位，节目丙、丁必须排在一起，则该校迎春晚会节目演出顺序的编排方案共有
A.112种 B.120种 C.144种 D.180种
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利用间接法求解，先考虑将丙、丁排在一起，将这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，共有=240(种)编排方案.若甲排在第一位或最后一位，且丙、丁排在一起，将这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，此时共有=96(种)编排方案.综上所述，符合条件的编排方案共有240-96=144(种).
13.中国古代教育中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每门安排一次讲座，共讲六次，讲座次序要求“礼”在第一次，“射”和“数”相邻，“射”和“御”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有
A.36种 B.48种 C.64种 D.84种
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由题意，“礼”排第一，当“射”排第二或第六时，“数”只有一种次序，其余全排列，有2种次序；当“射”排第三、四、五时，“数”有两种次序可选，“御”也有两种次序可选，其余全排列，有3种次序.故“六艺”讲座不同的次序共有2+3=12+
24=36(种).
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14.某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有　　　种不同的答题顺序.
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16
将6只灯笼全排列，即种，
因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内
的谜题，每次取灯的顺序确定，
取谜题的方法有=60(种).
15.将0，1，2，9，19，20六个数按任意次序排成一行，拼成一个8位数，则产生的不同的8位数的个数是
A.498 B.516 C.534 D.546
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拓广探究
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将0，1，2，9，19，20六个数按任意次序排成一行，拼成一个8位数，由于首位不能为0，则有5×=600(个)，其中“20”出现2次，即“2”
与“0”相邻且“2”在“0”前的排法有=60(种)，“19”出现2次，即“1”与“9”相邻且“1”在“9”前的排法有=48(种)，“20”
和“19”都出现2次的排法有=6(种)，因此满足条件的8位数的个
数为600-60-48+6=498.
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16.高一年级某班的数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课安排在同一天，每门课一节，上午四节，下午两节，数学课必须在上午，体育课必须在下午，数学、物理、化学三门课中任意两门不相邻，但上午第四节和下午第一节不叫相邻，则不同的排法种数为多少？
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分两类：
第1类，数学课安排在上午第一节或第四节，共
种排法；物理、化学课安排在上午一节、下午一节，有2种排法.
由分步乘法计数原理知，共有××2×=32(种)排法；
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第2类，数学课安排在上午第二节或第三节，共
种排法.
由分步乘法计数原理知，共有×××=16(种)排法.
综上，由分类加法计数原理知，排法种数为32+16=48.第2课时　排列的综合问题
［学习目标］　1.掌握几种有限制条件的排列.2.能应用排列数公式解决简单的实际问题.
一、特殊元素或特殊位置问题
例1　从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题.
(1)甲不在首位的排法有多少种？
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
反思感悟　解决排列问题，常用的思考方法有直接法和间接法.把特殊元素或特殊位置作为研究对象，需优先考虑.
跟踪训练1　某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法？
二、“相邻”与“不相邻”问题
例2　3名男生，4名女生共7个人站成一排，下列情况下，各有多少种不同的站法？
(1)男、女各站在一起；
(2)男生必须站在一起；
(3)男生不能站在一起；
(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻.
反思感悟　处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则.元素相邻问题一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.
跟踪训练2　(1)小陈准备将新买的《尚书·礼记》《左传》《孟子》《论语》《诗经》五本书立起来放在书架上，若要求《论语》《诗经》两本书相邻，且《尚书·礼记》放在两端，则不同的摆放方法有 (　　)
A.18种 B.24种 C.36种 D.48种
(2)永定土楼位于中国东南沿海的福建省龙岩市，它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧.土楼具体有长方形楼、正方形楼、纱帽楼、吊脚楼、五凤楼、五角楼、八角楼等多种类型.现有某大学建筑系学生要重点对包含五凤楼、长方形楼、五角楼共七种类型的土楼依次进行调查研究.要求调查顺序中，五凤楼要排在第一个或最后一个，长方形楼、五角楼相邻，则不同的排法共有 (　　)
A.480种 B.240种
C.384种 D.1 440种
三、定序问题
例3　将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，则有多少种不同的排列方法？
延伸探究　将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B顺序已确定，D，E顺序也已确定，则有多少种不同的排列方法？
反思感悟　在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻).解决这类问题的基本方法有两个：
(1)整体法，即若有(m+n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m+n)个元素排成一列，有种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法；
(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中.
跟踪训练3　某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相.
(1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？
(2)3位老者与2位年轻人都要分别按从小到大的顺序出场，顺序有多少种？
1.知识清单：
(1)有限制条件的排列问题.
(2)“相邻”与“不相邻”、“在”与“不在”、定序问题.
2.方法归纳：捆绑法、插空法、定序问题除法处理、间接法.
3.常见误区：分类讨论时，出现重复或遗漏，各种方法使用不当.
1.五声音阶(汉族古代音律)是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫、商、角、徵、羽.若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，则可排成不同的音序的种数为 (　　)
A.12 B.48
C.72 D.120
2.(多选)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是 (　　)
A.共计有720种不同的排法
B.男生甲排在两端的排法种数为120
C.男生甲、乙相邻的排法种数为120
D.男、女生相间的排法种数为72
3.有五名学生站成一排拍毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有 (　　)
A.66种 B.60种
C.36种 D.24种
4.某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晚会.晚会组委会计划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则有　　　种不同排法.(用数字作答)
答案精析
例1　解　(1)方法一　把元素作为研究对象.
第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名排在5个位置上，有种排法；
第二类，含有甲，甲不在首位，先从除首位以外的其他4个位置中选出1个排甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在另外4个位置上，有种排法.根据分步乘法计数原理，有4×种排法.
由分类加法计数原理知，共有+4×=2 160(种)排法.
方法二　把位置作为研究对象.
第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有种排法；
第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有种排法.
由分步乘法计数原理知，共有=2 160(种)排法.
方法三　(间接法)先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉.
不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有种，甲在首位的情况有种，
所以符合要求的排法有-=2 160(种).
(2)把位置作为研究对象.
第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有种排法；
第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有种排法.
根据分步乘法计数原理，共有=1 800(种)排法.
(3)把位置作为研究对象.
第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有种排法；
第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有种排法.
根据分步乘法计数原理，共有=1 200(种)排法.
(4)间接法.
总的可能情况有种，减去甲在首位的种排法，再减去乙在末位的种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次种排法，所以共有-2+=1 860(种)排法.
跟踪训练1　解　6门课总的排法有种，其中不符合要求的可分为体育排在第一节，有种排法；数学排在最后一节，有种排法，但这两种情况都包括体育排在第一节且数学排在最后一节的情况，这种情况有种排法.因此符合条件的排法有-2+=504(种).
例2　解　(1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有种排法，女生必须站一起，即把4名女生进行全排列，有种排法，全体男生和全体女生各看作一个元素全排列有种排法，由分步乘法计数原理知，共有··=288(种)排法.
(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，
故有·=720(种)不同的排法.
(3)(不相邻问题插空法)先排女生有种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有种排法，
故有·=1 440(种)不同的排法.
(4)先排男生有种排法，让女生插空，
有·=144(种)不同的排法.
跟踪训练2　(1)B　［先将《论语》《诗经》两本书捆绑看作一个整体，则可以看作共4个位置.
先排《尚书·礼记》，排法种数为；然后剩余3个位置全排列，排法种数为；最后排好《论语》《诗经》，两本书的排法种数为.所以不同的摆放方法有=2×6×2=24(种).］
(2)A　［当五凤楼排在第一个时，因为长方形楼、五角楼相邻，所以捆在一起与其他类型全排列，且长方形楼、五角楼内部排列，有=240(种)不同的排法，
同理当五凤楼排在最后一个时，有=240(种)不同的排法.
综上，五凤楼要排在第一个或最后一个，长方形楼、五角楼相邻，则共有480种不同的排法.］
例3　解　方法一　(整体法)5个元素无约束条件的全排列有种，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有×2=40(种).
方法二　(插空法)若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入形成的4个空中，
分两类：
第一类，若字母D，E相邻，则有·种排法；
第二类，若字母D，E不相邻，则有种排法.
所以有·+=20(种)不同的排列方法.
同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法.
因此满足条件的排列有20+20=40(种).
延伸探究　解　将A，B，C，D，E这五个字母排成一列，共有种不同方法，
将A，B排成一列，共有种不同方法，将D，E排成一列，共有种不同方法，
设满足条件的方法有x种，则有x=，
所以x==30，即有30种不同的排列方法.
跟踪训练3　解　(1)5位嘉宾无约束条件的出场顺序有种，由于3位老者的排列顺序已定，因此满足3位老者按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有=20(种).
(2)设符合条件的出场顺序共有x种，
用(1)的方法可得x··=，
解得x==10.
随堂演练
1.C　［先排其他三个，然后在空档插入宫、羽两音节，方法数为=72.］
2.BC　［3男3女排成一排共计有=720(种)不同的排法；男生甲排在两端的排法种数为2=240；男生甲、乙相邻的排法种数为=240；男、女生相间的排法种数为2=72.］
3.B　［五名学生进行全排列共有种站法，而甲站在乙的左边，或乙的右边，故甲不排在乙的左边的情况共有=60(种).］
4.42
解析　①当2个教师节目相邻时，利用插空法有6=12(种)不同的排法，
②当2个教师节目不相邻时，有=30(种)不同的排法，
所以共有12+30=42(种)不同的排法.

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