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必修一数学第五章三角函数练习
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（　　）
A． B． C． D．3
2．已知，，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知角的终边在第三象限，且，则（　　）
A． B．1 C． D．
4．已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．关于点对称
C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称
D．若在区间上单调，则实数的取值范围为
5．设函数的最小正周期为，将f (x)的图象向右平移个单位后，所得图象
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于点对称 D．关于点对称
6．若函数满足对都有，且为R上的奇函数，当时，，则集合中的元素个数为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
7．已知函数图象的对称轴方程为，．则（　　）
A． B． C． D．
8．自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用．函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，(　　)
A． B．3 C．1 D．或3
二、多项选择题
9．已知函数，则（　　）
A．的最小正周期为
B．为的图象的一个对称中心
C．在上单调递增
D．将的图象的横坐标伸长为原来的3倍后得到的图象，则曲线与直线有4个交点
10．对于函数与，下列说法正确的是（　　）
A．与有相同零点
B．当时，与的交点个数为6
C．将的图像向右平移个单位，并把横坐标变为原来的可以得到的图像
D．将的图像横坐标变为原来的，并向右平移个单位可以得到的图像
11．已知函数，，定义域均为，下列说法正确的是（　　）
A．函数与有相同的最小正周期
B．若函数在上单调递增，则的最小值为
C．当，的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到
D．当时，若方程在区间内的解为，，则
12．质点和同时出发，在以原点为圆心，半径为的上逆时针作匀速圆周运动.的角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当与重合时，的坐标可以为（　　）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点，且点的纵坐标为，则　 　．
14．函数的单调递增区间是　 　.
15．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，直角三角形中较小的锐角为θ，若，则图中的大正方形与小正方形的面积之比为　 　．
16．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为 ，到达最高点时，距离地面的高度为 ，能看到方圆 以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要 .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到 后距离地面的高度为 ，则转到 后距离地面的高度为　 　 ，在转动一周的过程中， 关于 的函数解析式为　 　.
四、解答题
17．在中，，，.
（1）求，的值和的面积；
（2）求的值.
18．（1）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值；
（2）已知，且，求的值.
19．已知函数的最小正周期为．
（1）若，，求的值；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间．
条件①：的最大值为2；
条件②：的图象关于点中心对称；
条件③：的图象经过点．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
20．设n次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式.
（1）若切比雪夫多项式，求实数a，b，c，d的值；
（2）对于正整数时，是否有成立？
（3）已知函数在区间上有3个不同的零点，分别记为，证明：.
21．已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值.
22．已知函数 ， ，函数 ，若 的图象上相邻两条对称轴的距离为 ，图象过点 .
（1）求 表达式和 的单调增区间；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，若函数 在区间 上有且只有一个零点，求实数 的取值范围.
参考答案
1．B
2．A
3．C
4．C
5．A
6．C
由为R上的奇函数，
①，
又②，
由②－①为周期为2的周期函数，
而又，
当时当时，．
又当时，单调递增，且．
故可作出函数 的大致图象如图：
而集合A中的元素个数为函数与图象交点的个数，
由以上分析结合函数性质可知，3为集合A中的一个元素，
且y=f（x）与在（1，3），（3，5），...，（23，25）中各有一个交点，
∴集合中的元素个数为13．
7．C
8．A
解：，
，，（舍）．
，
．
9．A,B
10．B,C
11．A,B,D
12．B,D
依题意，点的起始位置，点的起始位置，
则，设当与重合时，用的时间为，
于是，即，
则，所以.
对于A，若，则或，，
解得或，
因为，这样的不存在，故A错误；
对于B，当时，，即，故B正确；
对于C，若，则或，，
解得或，
因为，这样的不存在，故C错误；
对于D，当时，，即，故D正确.
13．
14．
15．5
解：已知如图所示：
设大正方形边长为1，则，，小正方形的边长为，
由，两边同时平方得，，
所以，
则图中的大正方形与小正方形的面积之比为.
16．； ，
如图，设座舱距离地面最近的位置为点 ，以轴心 为原点，与地面平行的直线为 轴，建立直角坐标系.
设 时，游客甲位于点 ，以 为终边的角为 ；
根据摩天轮转一周大约需要 ，
可知座舱转动的角速度约为 ，
由题意可得 ， ，
当 时， .
17．（1）
（2）
18．（1）（2）
19．（1）
（2），单调递增区间，
20．（1）解：依题意得
，
因此，即，
则.
（2）解：成立.
这个性质是容易证明的，只需考虑和差化积式.
首先有如下两个式子：
，
，
两式相加得，，
将替换为，所以.
所以对于正整数时，有成立.
（3）证：因为函数在区间上有3个不同的零点，
即方程在区间上有3个不同的实根，
令，由知，而，
则或或，
于是，
则，
而，
所以.
21．（1）
（2）
22．（1）解： ，
，
的最小正周期为 ，∴ ，
∵ 的图象过点 ，∴ .
∴ ，即 ，
令 ， ，求得 ， ，
故 的单调增区间为 ，
（2）解：将函数 的图象向右平移 个单位，可得
的图象；
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数
的图象.
在区间 上， ，∴ ，
故 在区间 上的值域为 ，
若函数 在区间 上有且只有一个零点，
由题意可得，函数 的图象和直线 有且只有一个零点，并根据图象可知， 或
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