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(共65张PPT)
第六章
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第1课时
组合与组合数
1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.
2.掌握组合数公式及性质的应用，会用组合知识解决一些简单的组合问题.
学习目标
小明五一到某地旅游，要从A，B，C，D4处景点中选择2处，上午选1处，下午选1处，有多少种不同的旅游方案？如果仅从A，B，C，D4处景点中选择2处，又有多少种不同的旅游方案呢？
导 语
一、组合概念的理解
二、利用组合数公式化简、求值与证明
课时对点练
三、组合数的简单应用
随堂演练
内容索引
一
组合概念的理解
从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题是排列问题吗？
问题1
提示　从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，不同的选法有：甲乙、甲丙、乙丙，共3种；由于只需将选出的2名同学作为一组，不需要考虑顺序，不是排列问题.
组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
作为一组
(1)排列与组合的共同点：都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个；
不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关.
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.
注 意 点
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　 (1)(多选)下列四个问题中，属于组合问题的是
A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D.将3本相同的书分给10人中的3人，每人1本
例 1
A，B与顺序有关，是排列问题，而C，D与顺序无关，是组合问题.
√
√
(2)从2，3，4，5四个数中任取2个数作为对数式logab的底数与真数，试写出得到的所有对数；若从四个数中任取2个数相乘，试写出所有的乘积.
得到的对数有log23，log24，log25，log32，log34，log35，log42，log43，log45，log52，log53，log54，共12个，
所有的乘积有2×3=6，2×4=8，2×5=10，3×4=12，3×5=15，4×5=20，共6个.
判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题.
反
思
感
悟
　(1)下列各事件中，属于组合问题的是
A.从3名教师中，选出2名分别去北京、上海学习
B.从10名司机中选出4名，分配到4辆汽车上
C.某同学从4门课程中选修2门
D.从13位同学中任选出两位担任学习委员、体育委员
跟踪训练 1
√
从3名教师中，选出2名分别去北京、上海学习与顺序有关，是排列问题；从10名司机中选出4名，分配到4辆汽车上与顺序有关，是排列问题；某同学从4门课程中选修2门，与顺序无关，是组合问题；从13位同学中任选出两位担任学习委员、体育委员与顺序有关，是排列问题.
(2)写出从a，b，c，d，e五个元素中任取两个不同元素的所有组合；
从a，b，c，d，e五个元素中任取两个不同元素的所有组合有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
二
利用组合数公式化简、求值与证明
提示　从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
类比排列数，请写出组合数的概念.
问题2
提示　“从n个不同元素中取出m个元素的排列数”可以看作由以下两个步骤得到：
第1步，从n个不同元素中取出m个元素作为一组，设共有x种不同的取法；
第2步，将取出的m个元素作全排列，共有种不同的排法.
我们前面学习了排列和组合的关系，请利用这种关系，用排列数表示组合数.
问题3
根据分步乘法计数原理，有=x·，即x=.
(1)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的___________________，
叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号_____表示.
(2)组合数公式：
==____________________或=(n，m∈N*，且m≤n).
(3)规定：=1.
(4)性质1：=_________，
性质2：=+.
所有不同组合的个数
(1)m≤n，m，n∈N*；
(2)==常用于计算；
=常用于证明.
(3)性质1(互补性质)多用于当m≥时的化简求值；性质2(组合恒等式)的特征为：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数，多用于恒等变形，简化运算.
注 意 点
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　(1)+等于
A.25 B.30 C.35 D.40
例 2
√
+=+=10+20=30.
(2)若=，则+++…+的值为
A.45 B.55 C.120 D.165
√
因为=，则m+m+2=22，解得m=10，故+++…+=
+++…+=++…+=++…+=…=+==165.
(1)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件n≥m.求出方程或不等式的解后，要进行检验.
(2)合理选用组合数的两个性质=，=-能起到简化运算的作用，需熟练掌握.
反
思
感
悟
　(1)(多选)下列等式正确的是
A.若=，则n=8
B.=+
C.++=7
D.7-4=0
跟踪训练 2
√
√
√
对于A，由=，得3n+6=4n-2或3n+6+4n-2=18，解得n=2或n=8(舍去)，A不正确；
对于B，由组合数的性质知B正确；
对于C，++=1+3+3=7，C正确；
对于D，7-4=7×-4×=140-140=0，D正确.
(2)计算：++++++=　　　.
++++++=++++++-5=-5
=-5=-5=490.
490
三
组合数的简单应用
　从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.
(1)如果4人中男生、女生各选2人，那么有多少种选法？
例 3
4人中男生和女生各选2人，共有×=10×6=60(种)选法.
(2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，则男生中的甲和女生中的乙必须在内共有=21(种)选法.
(3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
方法一　(直接法)男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，包含两种情况，第一种情况：甲和乙都在内，有=21(种)选法，第二种情况：甲、乙只有1人在内，有=70(种)选法，则男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内共有21+70=91(种)选法.
方法二　(间接法)男生中的甲和女生中的乙都不在内，共有=35(种)选法，则可得男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内共有-=126-35=91(种)选法.
(4)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
方法一　(直接法)如果4人中必须既有男生又有女生，可以按含有女生的人数分成三类：1男3女；2男2女；3男1女.则4人中必须既有男生又有女生共有++=20+60+40=120(种)选法.
方法二　(间接法)如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，再去掉只有男生和只有女生的情况，故共有--=120(种)选法.
反
思
感
悟
解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题.与两个基本原理的应用有关的问题，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏.
一个口袋内装有7个白球和1个黑球.
(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
跟踪训练 3
从口袋内的8个球中取出3个球，
取法种数是==56.
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是==21.
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是==35.
1.知识清单：
(1)组合与组合数的定义.
(2)组合数的计算与证明.
(3)组合数的简单应用.
2.方法归纳：公式法、间接法.
3.常见误区：分不清“排列”还是“组合”.
随堂演练
四
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1.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有
A.种 B.种
C.种 D.30种
√
三张票没区别，从10人中选3人即可，即.
2.若=36，则n的值为
A.7 B.8 C.9 D.10
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√
∵=36，∴=36，
即n2-n-72=0，∴(n-9)(n+8)=0.
∵n∈N*，∴n=9.
3.学生可从本年级开设的6门选修课中任意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，则不同的选法有
A.200种 B.400种 C.100种 D.300种
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√
从6门选修课中任意选择3门有种方法，从5种课外活动小组中选择2种有=20×10=200(种)，所以不同的选法有200种.
4.从10名大学毕业生中选3人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的选法种数为
A.28 B.49 C.56 D.85
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依题意，满足条件的选法种数为+=49.
√
课时对点练
五
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基础巩固
1.下列问题中不是组合问题的是
A.10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B.平面上有2 024个点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成
多少条直线
C.集合｛a1，a2，a3，…，an｝的含有三个元素的子集有多少个
D.从高二(6)班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独
舞节目，有多少种选法
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选项A，B，C与顺序无关，是组合问题；
选项D与顺序有关，是排列问题.
2.(多选)方程=的解为
A.x=4 B.x=5
C.x=6 D.x=9
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√
由题意，得x=3x-8或x+3x-8=28，且x满足不等式组解得x=4或x=9.
√
3.(多选)在10件产品中，有2件次品，若从中任取3件，则下列结论错误的有
A.“其中恰有2件次品”的取法有8种
B.“其中恰有1件次品”的取法有28种
C.“其中没有次品”的取法有56种
D.“其中至少有1件次品”的取法有56种
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抽到的3件产品中恰好有2件次品的取法有=8(种)，A正确；
抽到的3件产品中恰好有1件次品的取法有=56(种)，B错误；
抽到的3件产品中没有次品的取法有=56(种)，C正确；
抽到的3件产品中至少有1件次品的取法有+=64(种)，D错误.
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4.如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为
A.220 B.200 C.190 D.170
√
任取三个点有种，其中三点共线的有3
-3=190.
5.若>，则n的取值集合是
A.｛6，7，8，9｝ B.｛6，7，8｝
C.｛n∈N*|n≥6｝ D.｛7，8，9｝
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∵>，
∴
即解得6≤n<10.
∵n∈N*，∴n=6，7，8，9.∴n的取值集合为.
6.某中学从4名男生和3名女生中选4人参加某高校自主招生考试，若这4人
中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有
A.140种 B.120种 C.35种 D.34种
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从7人中选4人，共有=35(种)选法，4人全是男生的选法有=1(种).故4人中既有男生又有女生的选法种数为35-1=34.
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7.10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为　　　.(用数字作答)
从10人中任选出4人作为甲组，
则剩下的人即为乙组，这是组合问题，
共有=210(种)分法.
210
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8.计算：+++=　　　.
128
+++=2(+)=2×=2×(8+56)=128.
9.(1)求值：+；
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由+可得
解得n=10，
则+=+=+=466.
(2)若+++…+=55，求正整数n.
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+++…+
=++++…+-1
=+++…+-1
=++…+-1=-1=55，
故=56=，解得n=7.
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10.某旅行团要从8个景点中选2个作为当天的旅游地，满足下列条件的选法各有多少种？
(1)甲、乙两个景点必须选一个且只能选一个；
甲、乙两个景点必须选1个且只能选1个，有=12(种)选法.
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(2)甲、乙两个景点至多选一个；
若甲、乙两个景点都不去有=15(种)选法，甲、乙两个景点只去一个有=12(种)选法.
则甲、乙两个景点至多选1个有15+12=27(种)选法.
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(3)甲、乙两个景点至少选一个.
甲、乙两个景点都不去有种选法，
则甲、乙两个景点至少选1个的选法有-=28-15=13(种).
11.新课程改革后，某地区普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中选三门参加考试，某考生计划从物理、历史两科中至少选一门，那么该考生选科的种类有
A.14种 B.15种 C.16种 D.17种
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综合运用
物理、历史两科中选一门有=12(种)选法；
物理和历史都选有=4(种)选法，
所以物理、历史两科中至少选一门，该考生选科的种类有12+4=16(种).
12.甲、乙、丙三人值班，周一到周六每人分别值班2天，若甲不在周一值班，则不同的排班方案有
A.15种 B.30种 C.45种 D.60种
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甲从周二至周六5天中选2天值班，有种选法；乙可从剩下的4天中任选2天值班，有种选法；丙选剩下的2天即可，有=60(种).
13.从5名男生和2名女生中选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有　　　种.
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从5名男生和2名女生中，选出3名代表的方法总数为=35，从5名男生和2名女生中，选出3名代表全是男生的方法数为=10，所以从5名男生和2名女生中选出至少包含1名女生的方法数为35-10=25.
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14.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有　　　种.
36
把4名学生分成3组有种方法，再把3组学生分配到3所学校有=36(种)保送方案.
15.某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有　　　条.
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拓广探究
126
要使路线最短，只能向东或向北走，途中不能向西或向南走.因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有=126(种)走法，故从A地到B地的最短路线共有126条.
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16.如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.
(1)以这10个点(不包括A，B)中的3个点为
顶点作三角形可作出多少个？其中含点C1
的有多少个？
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可分三种情况处理：
①在C1，C2，…，C6这六个点中任取三点构成
一个三角形，有个；
②在C1，C2，…，C6这六个点中任取一点，D1，D2，D3，D4这四个点中任取两点构成一个三角形，有个；
③在C1，C2，…，C6这六个点中任取两点，D1，D2，D3，D4这四个点中任取一点构成一个三角形，有个.
所以共有++=116(个).
其中含点C1的三角形有=36(个).
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(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
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构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，
因此可分三种情况处理：
①在C1，C2，…，C6这六个点中任取四点构成
一个四边形，有个；
②在C1，C2，…，C6这六个点中任取三点，D1，D2，D3，D4，A，B这六个点中任取一点构成一个四边形，有个；
③在C1，C2，…，C6这六个点中任取两点，D1，D2，D3，D4，A，B这六个点中任取两点构成一个四边形，有个.
所以共有++=360(个).6.2.3　组　合
6.2.4　组合数
第1课时　组合与组合数
［学习目标］　1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.掌握组合数公式及性质的应用，会用组合知识解决一些简单的组合问题.
一、组合概念的理解
问题1　从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题是排列问题吗？
知识梳理
组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素　　　　　　　　，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
例1　(1)(多选)下列四个问题中，属于组合问题的是 (　　)
A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D.将3本相同的书分给10人中的3人，每人1本
(2)从2，3，4，5四个数中任取2个数作为对数式logab的底数与真数，试写出得到的所有对数；若从四个数中任取2个数相乘，试写出所有的乘积.
反思感悟　判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题.
跟踪训练1　(1)下列各事件中，属于组合问题的是 (　　)
A.从3名教师中，选出2名分别去北京、上海学习
B.从10名司机中选出4名，分配到4辆汽车上
C.某同学从4门课程中选修2门
D.从13位同学中任选出两位担任学习委员、体育委员
(2)写出从a，b，c，d，e五个元素中任取两个不同元素的所有组合；
二、利用组合数公式化简、求值与证明
问题2　类比排列数，请写出组合数的概念.
问题3　我们前面学习了排列和组合的关系，请利用这种关系，用排列数表示组合数.
知识梳理
(1)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的　　　　　　　　　　　　　，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号　　　　　　表示.
(2)组合数公式：
==　　　　　　　　或=　　　　　　　　(n，m∈N*，且m≤n).
(3)规定：=1.
(4)性质1：=　　　　　　　　　　，
性质2：=+.
例2　(1)+等于 (　　)
A.25 B.30 C.35 D.40
(2)若=，则+++…+的值为 (　　)
A.45 B.55 C.120 D.165
反思感悟　(1)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件n≥m.求出方程或不等式的解后，要进行检验.
(2)合理选用组合数的两个性质=，=-能起到简化运算的作用，需熟练掌握.
跟踪训练2　(1)(多选)下列等式正确的是 (　　)
A.若=，则n=8
B.=+
C.++=7
D.7-4=0
(2)计算：++++++=　　　　.
三、组合数的简单应用
例3　从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.
(1)如果4人中男生、女生各选2人，那么有多少种选法？
(2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
(3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
(4)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
反思感悟　解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题.与两个基本原理的应用有关的问题，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏.
跟踪训练3　一个口袋内装有7个白球和1个黑球.
(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
1.知识清单：
(1)组合与组合数的定义.
(2)组合数的计算与证明.
(3)组合数的简单应用.
2.方法归纳：公式法、间接法.
3.常见误区：分不清“排列”还是“组合”.
1.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 (　　)
A.种 B.种
C.种 D.30种
2.若=36，则n的值为 (　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
3.学生可从本年级开设的6门选修课中任意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，则不同的选法有 (　　)
A.200种 B.400种 C.100种 D.300种
4.从10名大学毕业生中选3人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的选法种数为 (　　)
A.28 B.49 C.56 D.85
答案精析
问题1　从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，不同的选法有：甲乙、甲丙、乙丙，共3种；由于只需将选出的2名同学作为一组，不需要考虑顺序，不是排列问题.
知识梳理
作为一组
例1　(1)CD　［A，B与顺序有关，是排列问题，而C，D与顺序无关，是组合问题.］
(2)解　得到的对数有log23，log24，log25，log32，log34，log35，log42，log43，log45，log52，log53，log54，共12个，
所有的乘积有2×3=6，2×4=8，2×5=10，3×4=12，3×5=15，4×5=20，共6个.
跟踪训练1　(1)C　［从3名教师中，选出2名分别去北京、上海学习与顺序有关，是排列问题；从10名司机中选出4名，分配到4辆汽车上与顺序有关，是排列问题；某同学从4门课程中选修2门，与顺序无关，是组合问题；从13位同学中任选出两位担任学习委员、体育委员与顺序有关，是排列问题.］
(2)解　从a，b，c，d，e五个元素中任取两个不同元素的所有组合有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
问题2　从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
问题3　“从n个不同元素中取出m个元素的排列数”可以看作由以下两个步骤得到：
第1步，从n个不同元素中取出m个元素作为一组，设共有x种不同的取法；
第2步，将取出的m个元素作全排列，共有种不同的排法.
根据分步乘法计数原理，有=x·，即x=.
知识梳理
(1)所有不同组合的个数　　
(2)　　(4)
例2　(1)B　［+=+=10+20=30.］
(2)D　［因为=，
则m+m+2=22，解得m=10，
故+++…+
=+++…+=++…+
=++…+=…=+==165.］
跟踪训练2　(1)BCD　［对于A，由=，
得3n+6=4n-2或3n+6+4n-2=18，
解得n=2或n=8(舍去)，A不正确；
对于B，由组合数的性质知B正确；
对于C，++=1+3+3=7，C正确；
对于D，7-4=7×-4×
=140-140=0，D正确.］
(2)490
解析　++++++=++++++-5=-5
=-5=-5=490.
例3　解　(1)4人中男生和女生各选2人，共有×=10×6=60(种)选法.
(2)除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，则男生中的甲和女生中的乙必须在内共有=21(种)选法.
(3)方法一　(直接法)男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，包含两种情况，第一种情况：甲和乙都在内，有=21(种)选法，第二种情况：甲、乙只有1人在内，有=70(种)选法，则男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内共有21+70=91(种)选法.
方法二　(间接法)男生中的甲和女生中的乙都不在内，共有=35(种)选法，则可得男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内共有-=126-35=91(种)选法.
(4)方法一　(直接法)如果4人中必须既有男生又有女生，可以按含有女生的人数分成三类：1男3女；2男2女；3男1女.则4人中必须既有男生又有女生共有++=20+60+40=120(种)选法.
方法二　(间接法)如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，再去掉只有男生和只有女生的情况，故共有--=120(种)选法.
跟踪训练3　解　(1)从口袋内的8个球中取出3个球，
取法种数是==56.
(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是==21.
(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是==35.
随堂演练
1.B　［三张票没区别，从10人中选3人即可，即.］
2.C　［∵=36，∴=36，
即n2-n-72=0，∴(n-9)(n+8)=0.
∵n∈N*，∴n=9.］
3.A　［从6门选修课中任意选择3门有种方法，从5种课外活动小组中选择2种有种方法，由分步乘法计数原理得=20×10=200(种)，所以不同的选法有200种.］
4.B　［依题意，满足条件的选法种数为+=49.］

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