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第六章
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第2课时
排列、组合的综合应用
1.掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法.
2.理解排列、组合中的多面手问题、分组分配等问题.
学习目标
一、有限制条件的排列、组合问题
二、多面手问题
课时对点练
三、分组、分配问题
随堂演练
内容索引
一
有限制条件的排列、组合问题
　已知8件不同的产品中有3件次品，现对它们一一进行测试，直至找到所有次品.
(1)若在第5次测试时找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？
例 1
若在第5次检测出最后一件次品，则前4次中有2件次品2件正品，第5次为次品.
则不同的测试方法共有=720(种).
(2)若至多测试5次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试方法？
检测3次可测出3件次品，不同的测试方法有=6(种)；
检测4次可测出3件次品，不同的测试方法有=90(种)；
检测5次测出3件次品，分为两类：一类是恰好第5次测到最后一件次品，一类是前5次测到的都是正品，不同的测试方法共有+=840(种).
所以共有6+90+840=936(种)测试方法.
(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数.
(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏.
反
思
感
悟
有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类
　(1)某校文艺部有7名同学，其中高一年级3名，高二年级4名.从这7名同学中随机选3名组织校文艺汇演，则两个年级都至少有1名同学入选的选法种数为
A.12 B.30 C.34 D.60
跟踪训练 1
√
分两种情况：①高一年级选1人，高二年级选2人，共有=18(种)选法；②高一年级选2人，高二年级选1人，共有=12(种)选法，共有18+12=30(种)选法.
(2)由0，1，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的五位数，其中含有2，3的五位数的个数为
A.120 B.240 C.408 D.960
若五位数中含有0，则共有个数；若五位数中不含0，则共有个数，
则共有+=408(个)五位数.
√
二
多面手问题
　某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？
例 2
由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.
方法一　分两类.
第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2+1=3(种)选法.此时共有6×3=18(种)选法.
第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则教日语的有2种选法，此时有1×2=2(种)选法.
所以由分类加法计数原理知，共有18+2=20(种)不同的选法.
方法二　设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语.
第一类：甲入选.
(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×2=2(种)选法；
(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×6=6(种)选法.
故甲入选的不同选法共有2+6=8(种).
第二类：甲不入选，可分两步：
第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法.由分步乘法计数原理知，有6×2=12(种)不同的选法.
综上，共有8+12=20(种)不同的选法.
解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理.
反
思
感
悟
　某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则共有多少种不同的选法？
跟踪训练 2
分三类：第一类，选出的4名钳工中无“多面手”，
此时选法有=75(种)；
第二类，选出的4名钳工中有1名“多面手”，
此时选法为=100(种)；
第三类，选出的4名钳工中有2名“多面手”，
此时选法为=10(种).
由分类加法计数原理得，共有75+100+10=185(种)不同的选法.
三
分组、分配问题
　 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组2本(平均分组)；
例 3
每组2本，均分为3组的分组种数为==15.
角度1　不同元素分组、分配问题
(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；
一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为=20×3=60.
(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组).
一组4本，另外两组各1本的分组种数为==15.
反
思
感
悟
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.
“分组”与“分配”问题的解法
　将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列方法的种数.
(1)每个盒子都不空；
例 4
先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有=10(种)放法.
角度2　相同元素分配问题
(2)恰有一个空盒子.
恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，由分步乘法计数原理得，共有·=40(种)放法.
反
思
感
悟
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此方法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有种方法.可描述为(n-1)个空中插入(m-1)块隔板.
相同元素分配问题的处理策略
　(1)某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传肾脏日的主题：“尽快行动，尽快预防”，则不同的分配方案有　　　种.(用数字作答)
跟踪训练 3
90
·=90(种).
(2)将12枝相同的鲜花放入编号为1，2，3，4的花瓶中，要求每个花瓶中的鲜花的数量不小于其编号数，则不同的放法种数为　　　.
10
先给每个花瓶放入数量与其编号数相同的鲜花，则还剩2枝鲜花.这2枝鲜花可以放在1个或2个花瓶中，
所以不同的放法共有+=10(种).
1.知识清单：
(1)有限制条件的排列、组合问题.
(2)多面手问题.
(3)分组、分配问题.
2.方法归纳：分类讨论、插空法、隔板法、均分法.
3.常见误区：分类不当；平均分组理解不到位.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是
A.30 B.60 C.120 D.240
√
先将4个熟悉道路的人平均分成两组，有种，再将余下的6人平均分成两组，有
=60(种).
2.空间中有10个点，无三点共线，其中有5个点在同一个平面内，其余点无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为
A.205 B.110 C.204 D.200
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4
√
方法一　可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则可构成四面体的个数为+++=205.
方法二　从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为-=205.
3.某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在一层乘坐电梯上楼，其中恰有2人乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有　　种.(用数字作答)
1
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由题意得，不同的乘坐方式有=36(种).
36
4.某校从8名教师中选派4名去某个偏远地区支教，其中甲和乙不能都去，则不同的选派方案共有　　　种.(用数字作答)
1
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4
方法一　由于“甲和乙不能都去”，故要分三类完成：
第一类，甲去乙不去，有种选派方案；
第二类，乙去甲不去，有种选派方案；
第三类，甲、乙都不去，有种选派方案.
故共有++=55(种)不同的选派方案.
方法二　从8名教师中任意选派4名的方法数中去掉甲、乙都去的方法数，得到不同的选派方案共有-=55(种).
55
课时对点练
五
1.甲、乙两人计划从A，B，C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有
A.3种 B.6种 C.9种 D.12种
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基础巩固
√
本题用排除法，甲、乙两人从A，B，C三个景点中各选两个游玩，共有·=9(种)，但两人所选景点不能完全相同，所以排除3种完全相同的选择，故共有6种选法.
2.假如某大学给我市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为
A.30 B.21 C.10 D.15
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√
用“隔板法”.在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有=15(种)分配方法.
3.若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，则不同的分组方法种数有
A. B.C. D.
√
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此题为平均分组问题，有种分法.
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4.已知直线a，直线b，且a∥b，a上有5个点，b上有4个点，则以这九个点为顶点的三角形的个数为
A.+ B.(+)(+)
C.-9 D.-
√
可以分为两类：a上取两点，b上取一点，则可构成三角形的个数为；a上取一点，b上取两点，则可构成三角形的个数为
+.
5.从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为
A.300 B.216 C.180 D.162
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依题意知，可以分两类：
第一类，不取0，从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为=72；
第二类，取数字0，取2和4中的一个数字，再取2个奇数，组成无重复数字的四位数有
=108(个).
由分类加法计数原理，得组成没有重复数字的四位数共有72+108=
180(个).
6.如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个顶点作为一组.其中可以构成三角形的组数为
A.208 B.204 C.200 D.196
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任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3；二是4条竖线上的3个点，其组数为4；三是4条对角线上的3个点，其组数为4-3-8=200.
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7.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有　　　种.(用数字作答)
甲传第一棒，乙传最后一棒，共有种方法.乙传第一棒，甲传最后一棒，共有种方法.丙传第一棒，共有·种方法.由分类加法计数原理得，共有++·=96(种)方法.
96
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8.某地区安排A，B，C，D，E五名同志到三个地区开展消防安全宣传活动，每个地区至少安排一人，且A，B两人安排在同一个地区，C，D两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法共有　　　种.
30
①将5人分为3组，要求A，B两人在同一组而C，D不在同一组，有+(-1)=5(种)分组方法；
②将分好的3组全排列，安排到三个地区，
有=6(种)安排方法；
由分步乘法计数原理，则有5×6=30(种)不同的分配方法.
9.高二年级某班要准备一个节目在学校艺术节里表演，报名参加的同学中有5人只会唱歌，2人只会跳舞，另外还有1人既会唱歌又会跳舞，现在节目需要2人唱歌，2人跳舞，不同的选人方案共有多少种？
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不同的选人方案可分为3类，
既会唱歌又会跳舞的人不选有=10(种)，
既会唱歌又会跳舞的人选去唱歌有=5(种)，
既会唱歌又会跳舞的人选去跳舞有=20(种)，
由分类加法计数原理得10+5+20=35，
所以不同的选人方案共有35种.
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10.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求：
(1)5名同学站成一排，有多少种不同的方法？
有=120(种)不同的方法.
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(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？
5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，则先将甲、乙捆绑，看成一个整体，有种方法；
再将甲、乙看成整体(不考虑甲乙内部排列)，与戊排列，有种方法；
最后利用插空法，将丙、丁插入3个空隙中，有种方法.
故有=24(种)不同的方法.
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(3)将5名同学分配到三个班，每班至少1人，共有多少种不同的分配方法？
按人数分配方式分类：
①3，1，1，有=60(种)方法；
②2，2，1，有=90(种)方法.
故共有60+90=150(种)分配方法.
11.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有
A.8种 B.14种 C.20种 D.116种
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综合运用
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按照甲是否在天和核心舱划分，
①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲、乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有·=6(种)安排方案；
②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有·=8(种)安排方案，
根据分类加法计数原理，共有6+8=14(种)安排方案.
12.甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A，B，C三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去B企业，乙不去C企业，则不同的派遣方案共有
A.42种 B.30种 C.24种 D.18种
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若甲、乙去同一企业，则甲、乙只能去B企业，剩下的4人平均分去两个企业，共有×=6(种)派遣方案；
若甲、乙不去同一企业，分两步，第一步：先给甲、乙两人选同伴，有种，
第二步：将这三组分去三个企业，因为甲去B企业，乙不去C企业，所以共有1种分法，由分步乘法计数原理可得共有×1=12(种)派遣方案，
所以不同的派遣方案共有6+12=18(种).
13.有16个相同的玩具球全部发给6名同学，每名同学至少发两个，则不同的发放方法有　　　种.
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每位同学先发1个，剩下的10个玩具球有9个间隙，插入5块板子分成6份，所以不同的发放方法有=126(种).
126
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14.已知不定方程x1+x2+x3+x4=12，则不定方程正整数解的组数为　　　.
165
问题相当于将12个完全相同的小球放入4个不同的盒子，且每个盒子中至少放入1个小球，使用“隔板法”得不定方程正整数解的组数为
=165.
15.(多选)某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A，B，C三家企业开展“面对面”义诊活动，每名医生只能到一家企业工作，每家企业至少派1名医生，则下列结论正确的是
A.所有不同分派方案共43种
B.所有不同分派方案共36种
C.若甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种
D.若甲、乙不能安排到同一家企业，则所有不同分派方案共30种
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拓广探究
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由题意，所有不同分派方案共·=36(种)，故A错误，B正确；
对于C，甲必须到A企业，
若A企业有两人，则将其余三人安排到三家企业，每家企业一人，
则不同分派方案有=6(种)，
若A企业只有一人，则不同分派方案有=6(种)，
所以所有不同分派方案共6+6=12(种)，故C正确；
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对于D，若甲、乙安排到同一家企业，
则将剩下的两人安排到另外两家企业，每家企业一人，
则有=6(种)不同的分派方法，
所以若甲、乙不能安排到同一家企业，则所有不同分派方案共36-6=30(种)，故D正确.
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16.设有99本不同的书(用排列数、组合数作答).
(1)分给甲、乙、丙3人，甲得96本，乙得2本，丙得1本，共有多少种不同的分法？
甲得96本，有方法种；乙得2本，有方法种；丙得1本，有方法种.不同的分法共有种.
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(2)分给甲、乙、丙3人，甲得93本，乙、丙各得3本，共有多少种不同的分法？
与(1)类似，不同的分法共有种.
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(3)平均分给甲、乙、丙3人，共有多少种不同的分法？
不同的分法共有种.
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(4)分给甲、乙、丙3人，一人得96本，一人得2本，一人得1本，共有多少种不同的分法？
先把99本不同的书分成3份，一份96本，一份2本，一份1本；再将甲、乙、丙3人全排列，这是因为3人中谁都有得到96本、2本、1本的可能.不同的分法共有(种.
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(5)分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，共有多少种不同的分法？
99本不同的书，分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，3人中，谁都有得到93本的可能.不同的分法共有种.
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(6)分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，共有多少种不同的分法？
99本不同的书，分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，3份的数量互不相同.不同的分法共有种.
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(7)平均分成3份，共有多少种不同的分法？
99本不同的书，平均分成3份，每份33本.本问题是典型的平均分组问题，要排除重复.不同的分法共有种.
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(8)分成3份，一份93本，另两份各3本，共有多少种不同的分法？
99本不同的书，分成3份，一份93本，另两份各3本，两份3本的有重复，不同的分法共有种.6.2.3　组　合
6.2.4　组合数
第2课时　排列、组合的综合应用
［学习目标］　1.掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法.2.理解排列、组合中的多面手问题、分组分配等问题.
一、有限制条件的排列、组合问题
例1　已知8件不同的产品中有3件次品，现对它们一一进行测试，直至找到所有次品.
(1)若在第5次测试时找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？
(2)若至多测试5次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试方法？
反思感悟　有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类
(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数.
(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏.
跟踪训练1　(1)某校文艺部有7名同学，其中高一年级3名，高二年级4名.从这7名同学中随机选3名组织校文艺汇演，则两个年级都至少有1名同学入选的选法种数为 (　　)
A.12 B.30 C.34 D.60
(2)由0，1，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的五位数，其中含有2，3的五位数的个数为 (　　)
A.120 B.240 C.408 D.960
二、多面手问题
例2　某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？
反思感悟　解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理.
跟踪训练2　某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则共有多少种不同的选法？
三、分组、分配问题
角度1　不同元素分组、分配问题
例3　6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组2本(平均分组)；
(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；
(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组).
反思感悟　“分组”与“分配”问题的解法
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.
(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.
角度2　相同元素分配问题
例4　将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列方法的种数.
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子.
反思感悟　相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此方法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有种方法.可描述为(n-1)个空中插入(m-1)块隔板.
跟踪训练3　(1)某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传肾脏日的主题：“尽快行动，尽快预防”，则不同的分配方案有　　　　种.(用数字作答)
(2)将12枝相同的鲜花放入编号为1，2，3，4的花瓶中，要求每个花瓶中的鲜花的数量不小于其编号数，则不同的放法种数为　　　.
1.知识清单：
(1)有限制条件的排列、组合问题.
(2)多面手问题.
(3)分组、分配问题.
2.方法归纳：分类讨论、插空法、隔板法、均分法.
3.常见误区：分类不当；平均分组理解不到位.
1.登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是 (　　)
A.30 B.60 C.120 D.240
2.空间中有10个点，无三点共线，其中有5个点在同一个平面内，其余点无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为 (　　)
A.205 B.110 C.204 D.200
3.某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在一层乘坐电梯上楼，其中恰有2人乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有　　　　种.(用数字作答)
4.某校从8名教师中选派4名去某个偏远地区支教，其中甲和乙不能都去，则不同的选派方案共有　　　　种.(用数字作答)
答案精析
例1　解　(1)若在第5次检测出最后一件次品，则前4次中有2件次品2件正品，第5次为次品.
则不同的测试方法共有=720(种).
(2)检测3次可测出3件次品，不同的测试方法有=6(种)；
检测4次可测出3件次品，不同的测试方法有=90(种)；
检测5次测出3件次品，分为两类：一类是恰好第5次测到最后一件次品，一类是前5次测到的都是正品，不同的测试方法共有+=840(种).
所以共有6+90+840=936(种)测试方法.
跟踪训练1　(1)B　［分两种情况：①高一年级选1人，高二年级选2人，共有=18(种)选法；②高一年级选2人，高二年级选1人，共有=12(种)选法，共有18+12=30(种)选法.］
(2)C　［若五位数中含有0，则共有个数；若五位数中不含0，则共有个数，
则共有+=408(个)五位数.］
例2　解　由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.
方法一　分两类.
第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2+1=3(种)选法.此时共有6×3=18(种)选法.
第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则教日语的有2种选法，此时有1×2=2(种)选法.
所以由分类加法计数原理知，共有18+2=20(种)不同的选法.
方法二　设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语.
第一类：甲入选.
(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×2=2(种)选法；
(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×6=6(种)选法.
故甲入选的不同选法共有2+6=8(种).
第二类：甲不入选，可分两步：
第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法.由分步乘法计数原理知，有6×2=12(种)不同的选法.
综上，共有8+12=20(种)不同的选法.
跟踪训练2　解　分三类：第一类，选出的4名钳工中无“多面手”，
此时选法有=75(种)；
第二类，选出的4名钳工中有1名“多面手”，
此时选法为=100(种)；
第三类，选出的4名钳工中有2名“多面手”，
此时选法为=10(种).
由分类加法计数原理得，共有75+100+10=185(种)不同的选法.
例3　解　(1)每组2本，均分为3组的分组种数为==15.
(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为=20×3=60.
(3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为==15.
例4　解　(1)先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有=10(种)放法.
(2)恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，由分步乘法计数原理得，共有·=40(种)放法.
跟踪训练3　(1)90
解析　·=90(种).
(2)10
解析　先给每个花瓶放入数量与其编号数相同的鲜花，则还剩2枝鲜花.这2枝鲜花可以放在1个或2个花瓶中，
所以不同的放法共有+=10(种).
随堂演练
1.B　［先将4个熟悉道路的人平均分成两组，有种，再将余下的6人平均分成两组，有种，然后这四个组自由搭配还有种，故最终分配方法有=60(种).］
2.A　［方法一　可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则可构成四面体的个数为+++=205.
方法二　从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为-=205.］
3.36
解析　由题意得，不同的乘坐方式有=36(种).
4.55
解析　方法一　由于“甲和乙不能都去”，故要分三类完成：
第一类，甲去乙不去，有种选派方案；
第二类，乙去甲不去，有种选派方案；
第三类，甲、乙都不去，有种选派方案.
故共有++=55(种)不同的选派方案.
方法二　从8名教师中任意选派4名的方法数中去掉甲、乙都去的方法数，得到不同的选派方案共有-=55(种).

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